初中一次函數(shù)典型應(yīng)用題

1、次函數(shù)用題近幾年來，各地的中考題中越來越多地出現(xiàn)了與函數(shù)有關(guān)的經(jīng)濟(jì)型考試題，這種類型的試題，由于條件多，題目長，很多考生無法下手，打不開思路，在考場上出現(xiàn)了僵局，在這里，我特舉幾例，也許對你有所幫助。例1已知雅美服裝廠現(xiàn)有 A種布料70米，B種布料52米，現(xiàn)計(jì)劃用這兩種布 料生產(chǎn)M, N兩種型號(hào)的時(shí)裝共80套。已知做一套M型號(hào)的時(shí)裝需要 A種布料米， B種布料米，可獲利潤45元；做一套N型號(hào)的時(shí)裝需要 A種布料米，B種布料米， 可獲利潤 50 元。若設(shè)生產(chǎn) N 種型號(hào)的時(shí)裝套數(shù)為x ，用這批布料生產(chǎn)這兩種型號(hào)的時(shí)裝所獲總利潤為 y 元。（ 1 ）求 y 與 x 的函數(shù)關(guān)系式，并求出自變量的取值

2、范圍；（ 2 ）雅美服裝廠在生產(chǎn)這批服裝中，當(dāng) N 型號(hào)的時(shí)裝為多少套時(shí)，所獲利潤最大？最大利潤是多少？例 2 某市電話的月租費(fèi)是20 元，可打 60 次免費(fèi)電話（每次3 分鐘） ，超過 60次后，超過部分每次元。（ 1 ）寫出每月電話費(fèi) y （元）與通話次數(shù)x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2 ）分別求出月通話50 次、 100 次的電話費(fèi)；（ 3）如果某月的電話費(fèi)是元，求該月通話的次數(shù)。例 3 荊門火車貨運(yùn)站現(xiàn)有甲種貨物 1530 噸，乙種貨物 1150 噸，安排用一列貨車將這批貨物運(yùn)往廣州，這列貨車可掛A、 B 兩種不同規(guī)格的貨廂 50 節(jié)，已知用一節(jié)A型貨廂的運(yùn)費(fèi)是萬元，用一節(jié)B型貨廂的運(yùn)費(fèi)是

3、萬元。（1）設(shè)運(yùn)輸這批貨物的總運(yùn)費(fèi)為y （萬元），用A型貨廂的節(jié)數(shù)為x （節(jié)），試寫出 y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式；（ 2 ）已知甲種貨物 35 噸和乙種貨物 15 噸，可裝滿一節(jié)A 型貨廂，甲種貨物 25 噸和乙種貨物 35 噸可裝滿一節(jié)B 型貨廂，按此要求安排A、 B 兩種貨廂的節(jié)數(shù)，有哪幾種運(yùn)輸方案？請你設(shè)計(jì)出來。（ 3） 利用函數(shù)的性質(zhì)說明， 在這些方案中， 哪種方案總運(yùn)費(fèi)最少？最少運(yùn)費(fèi)是多少萬元？例 4 某工廠現(xiàn)有甲種原料360 千克，乙種原料290 千克，計(jì)劃利用這兩種原料生產(chǎn)A、B兩種產(chǎn)品，共50件。已知生產(chǎn)一件 A種產(chǎn)品，需用甲種原料 9千克、 乙種原料3千克，可獲利潤700

4、元；生產(chǎn)一件B種產(chǎn)品，需用甲種原料 4千克、 乙種原料 10 千克，可獲利潤 1200 元。（ 1 ） 按要求安排A、 B 兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)件數(shù)， 有哪幾種方案？請你設(shè)計(jì)出來；（ 2）設(shè)生產(chǎn)A、 B 兩種產(chǎn)品獲總利潤為 y （元） ，生產(chǎn) A 種產(chǎn)品 x 件，試寫出y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并利用函數(shù)的性質(zhì)說明（1）中哪種生產(chǎn)方案獲總利潤 最大？最大利潤是多少？例 5 某地上年度電價(jià)為元，年用電量為 1 億度。本年計(jì)劃將電價(jià)調(diào)至元之間，經(jīng)測算，若電價(jià)調(diào)至x元，則本年度新增用電量y （億度）與（x 0.4）（元）成反比例，又當(dāng)x =時(shí)，y=。（1）求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；（2）若每度電的成本價(jià)為元

5、，則電價(jià)調(diào)至多少元時(shí)，本年度電力部門的收益將比上年度增加20%?收益=用電量X （實(shí)際電價(jià) 一成本價(jià)）例6為加強(qiáng)公民的節(jié)水意識(shí)，某城市制定了以下用水收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)：每戶每月用水未超過7立方米時(shí)，每立方米收費(fèi)元并加收元的城市污水處理費(fèi)， 超過7立方米 的部分每立方米收費(fèi)元并加收元的城市污水處理費(fèi)，設(shè)某戶每月用水量為x （立方米），應(yīng)交水費(fèi)為y （元）（1）分別寫出用水未超過7立方米和多于7立方米時(shí)，y與x之間的函數(shù)關(guān) 系式；（2）如果某單位共有用戶 50戶，某月共交水費(fèi)元，且每戶的用水量均未超過10立方米，求這個(gè)月用水未超過 7立方米的用戶最多可能有多少戶？例7遼南素以“蘋果之鄉(xiāng)”著稱，某鄉(xiāng)組織 20

6、輛汽車裝運(yùn)三種蘋果42噸到外地銷售。按規(guī)定每輛車只裝同一種蘋果，且必須裝滿，每種蘋果不少于2車。（1）設(shè)用x輛車裝運(yùn)a種蘋果，用y輛車裝運(yùn)B種蘋果，根據(jù)下表提供的信息求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求 x的取值范圍；（2）設(shè)此次外銷活動(dòng)的利潤為 W（百元），求W與x的函數(shù)關(guān)系式以及最大 利潤，并安排相應(yīng)的車輛分配方案。蘋果品種ABC每輛汽車運(yùn)載量（噸）2每噸蘋果獲利 （百元）685解：（1）由題意得：2行 2.1y 2（20 x y） 42化簡得：y 2x 20當(dāng) y=0 時(shí)，x = 101< x v 10答：y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y 2x 20 ；自變量x的取值范圍是：1vx V 10

7、的整數(shù)。由題意得：W 2.2 6x 2.1 8y 2 5 （20 x y）= 3.2x 6,8y 200=3.2x 6.8（ 2x 20） 200=10.4x 336 W與x之間的函數(shù)關(guān)系式為：y= 10.4x 336W隨x的增大而減小二當(dāng)x = 2時(shí)，W有最大值，最大值為：W最大值104 2 336 =（百元）當(dāng) x=2 時(shí)，y 2x 20 =16, 20 x y=2答：為了獲得最大利潤，應(yīng)安排 2輛車運(yùn)輸A種蘋果，16輛車運(yùn) 輸B種蘋果，2輛車運(yùn)輸C種蘋果。同學(xué)們，從以上幾例的解答過程中，你學(xué)到了解決這類問題的基本思路和方 法嗎？小結(jié)：確定函數(shù)解析式，求函數(shù)值次確定自變量取值范圍實(shí)印問題數(shù)

8、學(xué)問題方案設(shè)計(jì)：利用不等式或不等函式組及題意方案決策：數(shù)最優(yōu)方案：利用一次函數(shù)的性應(yīng)用題例析一次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，設(shè)計(jì)一次函數(shù)模型解決實(shí)際問題，備受各地命題者的青睞.本文采擷幾例中考試題加以評析，供參考一、圖象型 例1 （2003年廣西）在抗擊“非5典”中，某醫(yī)藥研究所開發(fā)了一種預(yù)一3防“非典”的藥品.經(jīng)試驗(yàn)這種藥品21,5的效果得知：當(dāng)成人按規(guī)定劑量服用該藥后1小時(shí)時(shí)，血液中含藥量最高，達(dá)到每毫升5微克，接著逐步衰減，至 8小時(shí)時(shí)血液中含藥量為每毫升微克每毫升血液中含藥量y（微克）隨時(shí)間x（小時(shí)）的變化如圖所示.在成人按規(guī)定劑量服藥后:(1)分別求出x<1, x>l

9、時(shí)y與x之間的函數(shù)關(guān)系式;(2)如果每毫升血液中含藥量為 2微克或2微克以上，對預(yù)防“非典”是 有效的，那么這個(gè)有效時(shí)間為多少小時(shí)？解析 本題涉及的背景材料專業(yè)性很強(qiáng)，但只要讀懂題意，用我們學(xué)過的函數(shù)知識(shí)是不難解答的.題目的主要信息是由函數(shù)圖象給出的，圖象是由兩條 線段組成的折線，可把它看成是兩個(gè)一次函數(shù)圖象的組合(1)當(dāng) x< 1 時(shí)，設(shè) y=kix.將(1 , 5)代入，得 ki=5.,.y=5x.kb=H當(dāng)x>1時(shí)，設(shè)y=k2x+b.以(1 , 5) , (8 ,代入，得匚 亍，* 112(2)以 y=2 代入 y=5x，得 5 ;11以y=2代入¥=一亍裂，亍，得

10、x2=7.-23-1 = 7- -=6- .故這個(gè)有效時(shí)間為§小時(shí).注：題中圖像是已知條件的重要組成部分，必須充分利用 二、預(yù)測型例2 (2002年遼寧省)隨著我國人口增長速度的減慢，小學(xué)入學(xué)兒童數(shù)量有所減少，下表中的數(shù)據(jù)近似地呈現(xiàn)了某地區(qū)入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，試用你所學(xué)的函數(shù)知識(shí)解決下列問題：(1)求入學(xué)兒童人數(shù)y(人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系式；(2)利用所求函數(shù)關(guān)系式，預(yù)測該地區(qū)從哪一年起入學(xué)兒童的人數(shù)不超過1000 人?年份(x)200020012002入學(xué)兒童人數(shù)(y)252023302140解析建立反比例函數(shù)，一次函數(shù)或二次函數(shù)模型，考察哪一種函數(shù)能較k好地描述該地區(qū)入

11、學(xué)兒童人數(shù)的變化趨勢，這就要討論.若設(shè)(k >0),在三點(diǎn)(2000, 2520), (2001, 2330), (2002, 2140)中任選一點(diǎn)確定 k 值后，易見另兩點(diǎn)偏離曲線較遠(yuǎn)，故反比例函數(shù)不能較好地反映入學(xué)兒童人數(shù)的變化趨 勢，從而選用一次函數(shù).(1)設(shè)y=kx+b (k 乎 0),將(2000, 2520)、(2001 , 2330)代入，得故 y=-190x+382520.又因?yàn)?y=-190x+382520 過點(diǎn) (2002 ， 2140) ， 所以 y=-190x+382520 能較好地描述這一變化趨勢.所求函數(shù)關(guān)系式為 y=-190x+382520.（2） 設(shè) x

12、年時(shí)，入學(xué)兒童人數(shù)為 1000人，由題意得-190x+382520=1000.解得 x=2008. 所以，從 2008 年起入學(xué)兒童人數(shù)不超過1000 人 .注：從數(shù)學(xué)的角度去分析，能使我們作出的預(yù)測更準(zhǔn)確 . 本題也可構(gòu)造二次函數(shù)模型來描述這一變化趨勢.三、決策型例 3 （2003 年甘肅省 ） 某工廠生產(chǎn)某種產(chǎn)品， 每件產(chǎn)品的出廠價(jià)為 1 萬元，其原材料成本價(jià)（ 含設(shè)備損耗等） 為萬元， 同時(shí)在生產(chǎn)過程中平均每生產(chǎn)一件產(chǎn)品有 1 噸的廢渣產(chǎn)生. 為達(dá)到國家環(huán)保要求，需要對廢渣進(jìn)行脫硫、脫氮等處理 . 現(xiàn)有兩種方案可供選擇.方案一： 由工廠對廢渣直接進(jìn)行處理， 每處理 1 噸廢渣所用的原料費(fèi)

13、為萬元，并且每月設(shè)備維護(hù)及損耗費(fèi)為 20 萬元 .方案二：工廠將廢渣集中到廢渣處理廠統(tǒng)一處理. 每處理 1 噸廢渣需付萬元的處理費(fèi) .（1） 設(shè)工廠每月生產(chǎn) x 件產(chǎn)品，每月利潤為y 萬元，分別求出用方案一和方案二處理廢渣時(shí)， y 與 x 之間的函數(shù)關(guān)系式 （ 利潤=總收入- 總支出 ） ；(2) 如果你作為工廠負(fù)責(zé)人，那么如何根據(jù)月生產(chǎn)量選擇處理方案，既可達(dá)到環(huán)保要求又最合算.解析 先建立兩種方案中的函數(shù)關(guān)系式，然后根據(jù)月生產(chǎn)量的多少通過分類討論求解.(1)y 1= ；y2=(2)若 yi>y2,則>，解得 x>400；若y產(chǎn)y2,則=,解得x=400;若 yyy2,則v,

14、解得 xv 400.故當(dāng)月生產(chǎn)量大于 400 件時(shí)，選擇方案一所獲利潤較大；當(dāng)月生產(chǎn)量等于 400 件時(shí)， 兩種方案利潤一樣； 當(dāng)月生產(chǎn)量小于400 件時(shí)， 選擇方案二所獲利潤較大.注：在處理生產(chǎn)實(shí)踐和市場經(jīng)濟(jì)中的一些問題時(shí)，用數(shù)學(xué)的眼光來分辨，會(huì)使我們作出的決策更合理.四、最值型例 4 (2003 年江蘇省揚(yáng)州市) 楊嫂在再就業(yè)中心的支持下， 創(chuàng)辦了“潤揚(yáng)”報(bào)刊零售點(diǎn)，對經(jīng)營的某種晚報(bào)，楊嫂提供了如下信息 .買進(jìn)每份元，賣出每份元；一個(gè)月(以30天計(jì))內(nèi)，有20天每天可以賣出200份，其余10天每天 只能賣出120份.一個(gè)月內(nèi)，每天從報(bào)社買進(jìn)的報(bào)紙份數(shù)必須相同，當(dāng)天賣不掉的報(bào)紙, 以每份元退

15、回給報(bào)社.(1)填表：一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn)該種晚報(bào)的份數(shù)100150當(dāng)月利潤(單位：元)(2)設(shè)每天從報(bào)社買進(jìn)這種晚報(bào) x份(120&X0200)時(shí)，月利潤為y元，試 求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式，并求月利潤的最大值.解析(1)由題意，當(dāng)一個(gè)月每天買進(jìn)100份時(shí)，可以全部賣出，當(dāng)月利潤為300元；當(dāng)一個(gè)月內(nèi)每天買進(jìn) 150份時(shí)，有20天可以全部賣完，其余10 天每天可賣出120份，剩下30份退回報(bào)社，計(jì)算得當(dāng)月利潤為390元.(2)由題意知，當(dāng)120& x<200時(shí)，全部賣出的20天可獲利潤：20元)；其余10天每天賣出120份，剩下(x-120)份退回報(bào)社，10天可獲利潤：10=-x+240（元）.月利潤為y=2x-x+240=x+240(120Wx0200).由一次函數(shù)的性質(zhì)知，當(dāng)x=200時(shí)，y有最大值，為y=200+240=440(元).注：對于一次函數(shù)y=kx+b,當(dāng)自變量x在某個(gè)范圍內(nèi)取值時(shí)，函數(shù)值 y 可取最大(或最小)值，這種最值問題往往用來解決“成本最省”、“利潤最 大”等方面的問題.五、學(xué)科結(jié)合型例5 (2002年南京市)聲音在空氣中傳播的速度 y(m/s)(簡稱音速)是氣溫 x(C)的一次函數(shù).下表列出了一組不同氣溫時(shí)的音速：1 -氣溫x( C