江蘇省泰興市高中數(shù)學(xué) 第3章 不等式 3.4.1 基本不等式的證明2教案 蘇教版必修5

1、3.4.1基本不等式的證明（2）教學(xué)目標(biāo)：一、知識與技能1進(jìn)一步掌握基本不等式；2學(xué)會推導(dǎo)并掌握均值不等式定理；3會運(yùn)用基本不等式求某些函數(shù)的最值，求最值時(shí)注意一正二定三等四同4使學(xué)生能夠運(yùn)用均值不等式定理來研究函數(shù)的最大值和最小值問題；基本不等式在證明題和求最值方面的應(yīng)用二、過程與方法通過幾個(gè)例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值三、情感、態(tài)度與價(jià)值觀引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實(shí)事求是、理論與實(shí)際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德教學(xué)重點(diǎn)：均值不等式定理的證明及應(yīng)用教學(xué)難點(diǎn)：等號成立的條件及解題中的轉(zhuǎn)化技巧教學(xué)方法：先讓學(xué)生回顧兩個(gè)重要不等式

2、，然后由兩個(gè)具體問題入手讓學(xué)生分組討論得到兩個(gè)最值定理（其證明可由學(xué)生完成），然后通過一些例題來講解如何利用最值定理求最值，并讓學(xué)生從中體味出如何創(chuàng)設(shè)情境用定理教學(xué)過程：一、問題情境提問：我們上一節(jié)課已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩個(gè)重要的不等式，請同學(xué)們回憶一下，這兩個(gè)重要不等式敘述的內(nèi)容是什么，“等號”成立的條件是什么？學(xué)生回答：1如果2如果,是正數(shù)，那么老師總結(jié)：我們稱的算術(shù)平均數(shù)，稱的幾何平均數(shù)，成立的條件是不同的：前者只要求,都是實(shí)數(shù)，而后者要求,都是正數(shù)二、學(xué)生活動(dòng)提問：生答：有，最大值為4問題2：如何求出最大值的呢，何時(shí)取到最大值的生答：，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“”問題3：如果將問題1中條件改為，那么有無最值

3、呢？生答：有最小值4當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到問題4：請同學(xué)們分組討論能否由問題1及問題3推廣至更一般的結(jié)論出來，學(xué)生討論完后，在學(xué)生回答的基礎(chǔ)上得出以下最值定理三、建構(gòu)數(shù)學(xué)最值定理：已知都是正數(shù)， 如果積是定值，那么當(dāng)時(shí)，和有最小值；如果和是定值，那么當(dāng)時(shí)，積有最大值證明：， ，當(dāng) (定值)時(shí)， ，上式當(dāng)時(shí)取“”， 當(dāng)時(shí)有；當(dāng) (定值)時(shí)， ，上式當(dāng)時(shí)取“”當(dāng)時(shí)有說明：最值定理是求最值的常用方法，但應(yīng)注意以下幾點(diǎn)：最值的含義（“”取最小值，“”取最大值）； 用基本不等式求最值必須具備的三個(gè)條件：一“正”、二“定”、三“相等”函數(shù)式中各項(xiàng)必須都是正數(shù);函數(shù)式中含變數(shù)的各項(xiàng)的和或積必須是常數(shù)時(shí)才能用最值定理

4、求最值四、數(shù)學(xué)運(yùn)用1例題例1 （1）求 的最值，并求取最值時(shí)的的值解 ，于是，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，等號成立，的最小值是，此時(shí)（2）若上題改成，結(jié)果將如何？解 ，于是，從而，的最大值是，此時(shí)例2 （1）求的最大值，并求取最大值時(shí)的的值（2）求的最大值，并求取最大值時(shí)的值解（1），則，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號當(dāng)時(shí)，取得最大值4（2）0<x<2，0<x2<4，當(dāng)且僅當(dāng)，即當(dāng)例3已知是正實(shí)數(shù)，若，求的最小值解是正實(shí)數(shù)， ，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等號，當(dāng)時(shí)，取最小值變題：若，求的最小值解，例4求下列函數(shù)的值域:（1）；（2）解（1），（2），當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，歸納：用均值不等式解決此類問題時(shí)，應(yīng)按

5、如下步驟進(jìn)行：(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時(shí)一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；(4) 寫出正確答案.2.練習(xí)（1）已知，求的最大值并求相應(yīng)的值（2）已知，求的最大值，并求相應(yīng)的值（3）已知，求函數(shù)的最大值，并求相應(yīng)的值（4）已知求的最小值，并求相應(yīng)的值五、要點(diǎn)歸納與方法小結(jié)：1用基本不等式求最值必須具備的三個(gè)條件：一“正”、二“定”、三“相等”，當(dāng)給出的函數(shù)式不具備條件時(shí)，往往通過對所給的函數(shù)式及條件進(jìn)行拆分、配湊變形來創(chuàng)造利用基本不等式的條件進(jìn)行求解；2運(yùn)用基本不等式求最值常用的變形方法有：（1）運(yùn)用拆分和配湊的方法變成和式和積式；（2）配湊出和為定值；（3）配湊出積為定值；（4）將限制條件整體代入一般說來，和式形式存在最小值，湊積為常數(shù)；積的形式存在最大值，湊和為常數(shù)，要注意定理及其變形的應(yīng)用6edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3191f2351dd815ff33d4435f3756edbc3