機(jī)械制圖平面的投影及相對(duì)位置

1、1 1三峽大學(xué)三峽大學(xué)1.4 1.4 平面的投影平面的投影一、平面的表示法一、平面的表示法a ab bc ca a b b c c 不在同一直線不在同一直線上的三個(gè)點(diǎn)上的三個(gè)點(diǎn)a ab bc ca a b b c c a ab bc ca a b b c c d dd d 兩平行直線兩平行直線a ab bc ca a b b c c 兩相交直線兩相交直線*a ab bc ca a b b c c 1 1、用幾何元素表示平面、用幾何元素表示平面直線及線外一點(diǎn)直線及線外一點(diǎn)2 2三峽大學(xué)三峽大學(xué)2.2.跡線表示法跡線表示法( (見(jiàn)書(shū)本見(jiàn)書(shū)本P33)P33) 空間平面與投影面的交線空間平面與投影面的

2、交線叫平面的跡線。叫平面的跡線。 平面平面P P與與H H面的交線為面的交線為水平跡線水平跡線P PH H，與，與V V面的交線為面的交線為正面正面跡線跡線P PV V，與，與W W面的交線為面的交線為側(cè)面跡線側(cè)面跡線P PW W。3 3三峽大學(xué)三峽大學(xué)平行平行垂直垂直傾斜傾斜實(shí)形性實(shí)形性類似性類似性積聚性積聚性 平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性平面對(duì)一個(gè)投影面的投影特性二、平面的投影二、平面的投影平面平面/投影面投影面投影反映實(shí)形面投影反映實(shí)形面平面平面投影面投影面投影積聚成直線投影積聚成直線平面平面投影面投影面投影類似原平面投影類似原平面4 4三峽大學(xué)三峽大學(xué) 各種位置平面的投影各種位置平面的投

3、影( (三類七種情況三類七種情況) )投影面垂直面投影面垂直面 投影面平行面投影面平行面一般位置平面一般位置平面特殊位置平面特殊位置平面垂直于某一投影面，垂直于某一投影面，傾斜于另兩個(gè)投影面傾斜于另兩個(gè)投影面平行于某一投影面，平行于某一投影面，垂直于另兩個(gè)投影面垂直于另兩個(gè)投影面與三個(gè)投影面都傾斜與三個(gè)投影面都傾斜 鉛垂面鉛垂面(H) 正垂面正垂面(V)側(cè)垂面?zhèn)却姑?W) 水平面水平面(/H) 正平面正平面(/V) 側(cè)平面?zhèn)绕矫?/W)5 5三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWHPPH 鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：1. abc積聚為一條線，積聚為一條線， 與與OX、 OYH的夾角反映的夾角反映 、 角；角

4、； 2 .a b c 、 a b c 為為 ABC的類似形；的類似形；ABCacbababbaccc1 1） 投影面垂直面的投影投影面垂直面的投影6 6三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWHQQV正垂面正垂面 投影特性：投影特性：1. a b c 積聚為一條線，與積聚為一條線，與OX、 OZ的夾角反映的夾角反映、 角；角； 2.abc、a b c 為為 ABC的類似形。的類似形。ababbacccAcCabB7 7三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWHSWS側(cè)垂面?zhèn)却姑嫱队疤匦裕和队疤匦裕?、 a b c 積聚為一條線，積聚為一條線， 與與OYW 、 OZ 的夾角反映的夾角反映、角角；2 、 abc、 a b c 為為 AB

5、C的類似形。的類似形。CabABcabbbaaccc8 8三峽大學(xué)三峽大學(xué)abca c b c b a 類似性類似性類似性類似性積聚性積聚性鉛垂面鉛垂面投影特性：投影特性：1.在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影在它垂直的投影面上的投影積聚成直線。該直線與投影軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。軸的夾角反映空間平面與另外兩投影面夾角的大小。2.另兩個(gè)投影面上的投影有類似性。另兩個(gè)投影面上的投影有類似性。是什么位置是什么位置的平面？的平面？投影特征投影特征：一斜兩類似：一斜兩類似9 9三峽大學(xué)三峽大學(xué)VWH水平面水平面投影特性：投影特性： 1.a b c /OX、 a b

6、c /OYW，分別分別積聚為直線積聚為直線; 2 .水平投影水平投影abc反映反映 ABC實(shí)形實(shí)形。 CABabcbacabccabbbaacc2 2） 投影面平行面的投影投影面平行面的投影1010三峽大學(xué)三峽大學(xué)正平面正平面VWH投影特性：投影特性： 1.abc/OX 、 a b c /OZ，分別分別積聚為直線；積聚為直線； 2 .正面投影正面投影a b c 反映反映 ABC實(shí)形。實(shí)形。 cabbacbcabacabcbcaCBA1111三峽大學(xué)三峽大學(xué)投影特性：投影特性： 1.abc/OYY、 a b c /OZ，分別分別積聚為直線；積聚為直線； 2.側(cè)平面投影側(cè)平面投影a b c 反映反

7、映 ABC實(shí)形。實(shí)形。 側(cè)平面?zhèn)绕矫鎂WHabbbacccabcbacabcCABa1212三峽大學(xué)三峽大學(xué)a b c a b c abc積聚性積聚性積聚性積聚性實(shí)形性實(shí)形性水平面水平面投影特性：投影特性：1.在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。在它所平行的投影面上的投影反映實(shí)形。2.另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸另兩個(gè)投影面上的投影分別積聚成與相應(yīng)的投影軸平行的直線。平行的直線。投影特征投影特征：兩線一實(shí)形：兩線一實(shí)形1313三峽大學(xué)三峽大學(xué)一般位置平面一般位置平面投影特性投影特性 1. abc 、 a b c 、 a b c 均為均為 ABC的類似形；的類似形； 2.不反映不

8、反映 、 、 的真實(shí)角度。的真實(shí)角度。 abcbacababbaccbacCAB3 3） 一般位置平面的投影（一般位置平面的投影（三類似三類似）1414三峽大學(xué)三峽大學(xué)的水平面R。 過(guò)直線AB的正垂面P；過(guò)點(diǎn)C的正平面Q；過(guò)直線DE 2.用有積聚性的跡線表示下列平面:QHRV例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過(guò)直線例：用有積聚性的跡線表示下列平面：過(guò)直線AB的的正垂面正垂面P；過(guò)點(diǎn)；過(guò)點(diǎn)C的正平面的正平面Q；過(guò)直線；過(guò)直線DE的水平面的水平面R。ababPVPH1515三峽大學(xué)三峽大學(xué) 5.已知平面圖形的兩個(gè)投影，求作第三個(gè)投影，并判斷平面的空間位置。三角形是 面a)平面圖形是 面b)平面圖形

9、是 面c)bac水平水平正垂正垂側(cè)垂側(cè)垂投影面平行面投影面平行面: :兩線一實(shí)形兩線一實(shí)形投影面垂直面投影面垂直面: :一斜兩類似一斜兩類似1616三峽大學(xué)三峽大學(xué)在平面內(nèi)取在平面內(nèi)取直線的方法直線的方法 定理一定理一若一直線過(guò)平面上的若一直線過(guò)平面上的兩點(diǎn)，則此直線必在兩點(diǎn)，則此直線必在該平面內(nèi)。該平面內(nèi)。定理二定理二若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)，若一直線過(guò)平面上的一點(diǎn)，且平行于該平面上的另一且平行于該平面上的另一直線，則此直線在該平面直線，則此直線在該平面內(nèi)。內(nèi)。平面上取任意直線平面上取任意直線三、平面上的直線和點(diǎn)三、平面上的直線和點(diǎn)1717三峽大學(xué)三峽大學(xué)abcb c a abcb c a d

10、 mnn m d例例1 1：已知平面由直線：已知平面由直線ABAB、ACAC所確定，試在平所確定，試在平面內(nèi)任作一條直線。面內(nèi)任作一條直線。解法一解法一解法二解法二根據(jù)定理二根據(jù)定理二根據(jù)定理一根據(jù)定理一有無(wú)數(shù)解。有無(wú)數(shù)解。1818三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例2 2：在：在平面平面ABCABC內(nèi)內(nèi)作一條水平線，使其到作一條水平線，使其到H H面面的距離為的距離為10mm10mm。n m nm10c a b cab 唯一解！唯一解！1919三峽大學(xué)三峽大學(xué) 平面上取點(diǎn)平面上取點(diǎn)若點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則此點(diǎn)一定在該平面上。若點(diǎn)在平面內(nèi)的任一直線上，則此點(diǎn)一定在該平面上。即：點(diǎn)在線上，則點(diǎn)在面上。即：點(diǎn)

11、在線上，則點(diǎn)在面上。2020三峽大學(xué)三峽大學(xué) 先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助先找出過(guò)此點(diǎn)而又在平面內(nèi)的一條直線作為輔助線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。線，然后再在該直線上確定點(diǎn)的位置。例例1 1：已知：已知K K點(diǎn)在平面點(diǎn)在平面ABCABC上，求上，求K K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。bacc a k b k 面上取點(diǎn)的方法：面上取點(diǎn)的方法：首先面上取線首先面上取線abcab k c d kd利用平面的積聚性求解利用平面的積聚性求解通過(guò)在面內(nèi)作輔助線通過(guò)在面內(nèi)作輔助線(細(xì)實(shí)線細(xì)實(shí)線)求解求解2121三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例2 2 已知已知 ABCABC給定一平面給定一平面, ,試判斷

12、點(diǎn)試判斷點(diǎn)D D是否屬于該平面。是否屬于該平面。d dabcabcee點(diǎn)點(diǎn)D不屬于平面不屬于平面ABCd dabcabcee點(diǎn)點(diǎn)D屬于平面屬于平面ABC2222三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例3 3：作出三角形：作出三角形ABCABC平面內(nèi)三角形平面內(nèi)三角形DEFDEF的水平投影。的水平投影。d de e求線先找兩已知點(diǎn)，求線先找兩已知點(diǎn)，求點(diǎn)先找已知線。求點(diǎn)先找已知線。aabccbf fefd12122323三峽大學(xué)三峽大學(xué)四、相互垂直的兩直線的投影特性四、相互垂直的兩直線的投影特性 兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)兩直線同時(shí)平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上的，在該投影面上的投影反映直角。投影反映直角。 兩

13、直線中有一條平行兩直線中有一條平行于某一投影面時(shí)，在該投影面上于某一投影面時(shí)，在該投影面上的投影反映直角。的投影反映直角。 兩直線均為一般位置直線時(shí)兩直線均為一般位置直線時(shí)，在三個(gè)投，在三個(gè)投影面上的投影不一定反映直角。影面上的投影不一定反映直角。直角投影直角投影定理定理a c b abc.即要在投影圖中畫(huà)垂直或判斷即要在投影圖中畫(huà)垂直或判斷垂直，必須有投影面平行線。垂直，必須有投影面平行線。小結(jié)2424三峽大學(xué)三峽大學(xué)一、各種位置平面的投影特性一、各種位置平面的投影特性 一般位置平面（三類似）一般位置平面（三類似） 投影面垂直面（一斜兩類似）投影面垂直面（一斜兩類似） 投影面平行面（兩線一實(shí)

14、形）投影面平行面（兩線一實(shí)形）三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。三個(gè)投影為邊數(shù)相等的類似多邊形。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。在其垂直的投影面上的投影積聚成直線。 另外兩個(gè)投影為類似多邊形。另外兩個(gè)投影為類似多邊形。 在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形。在其平行的投影面上的投影反映實(shí)形。 另外兩個(gè)投影積聚為直線。另外兩個(gè)投影積聚為直線。ababbacccabbbaacccbbaaccbac2525三峽大學(xué)三峽大學(xué)二、平面上的點(diǎn)與直線二、平面上的點(diǎn)與直線(P27-30)(P27-30) 平面上的點(diǎn)平面上的點(diǎn) 一定位于平面內(nèi)的某條直線上一定位于平面內(nèi)的某條直線上. . 平面上的直線（平面上的直線

15、（求線先找已知點(diǎn)求線先找已知點(diǎn)） 過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。過(guò)平面上的兩個(gè)點(diǎn)。 過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。過(guò)平面上的一點(diǎn)并平行于該平面上的某條直線。ddabcabcee2626三峽大學(xué)三峽大學(xué)1.5 1.5 直線與平面及兩平面的相對(duì)位置直線與平面及兩平面的相對(duì)位置相對(duì)位置包括相對(duì)位置包括平行、相交（垂直）。平行、相交（垂直）。一、平行問(wèn)題一、平行問(wèn)題 直線與平面平行直線與平面平行 平面與平面平行平面與平面平行 直線與平面平行直線與平面平行定理定理: 若一直線平行于平面上的某一直線，若一直線平行于平面上的某一直線，則該直線與此平面必平行。則該直線與此平面必平行。即：將線面即：將線面/ /

16、 ，轉(zhuǎn)化為線線，轉(zhuǎn)化為線線/2727三峽大學(xué)三峽大學(xué) 直線與平面平行直線與平面平行當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時(shí)，直線的投影當(dāng)直線與特殊位置平面相平行時(shí)，直線的投影平行平行于于平面的具有平面的具有積聚性積聚性的同面投影，如圖。的同面投影，如圖。gg/2.2.當(dāng)直線與平面都為特殊情況且平行時(shí)，直線與平面當(dāng)直線與平面都為特殊情況且平行時(shí)，直線與平面的的積聚性投影積聚性投影在同面投影上。在同面投影上。特殊情況：特殊情況：2828三峽大學(xué)三峽大學(xué)例例1 1：過(guò)：過(guò)A A點(diǎn)作平面平行于線段點(diǎn)作平面平行于線段BCBC。bbcccaaXOdd 作圖：作圖：ad/bcad/bc，ad/bcad/bc故，故，BC

17、/BC/平面平面DAFDAF分析：分析：線線線線/，則線面則線面/；過(guò)；過(guò)A A點(diǎn)點(diǎn)做直線做直線AD/BCAD/BC。ff可過(guò)可過(guò)A A點(diǎn)任意點(diǎn)任意作直線作直線AFAF2929三峽大學(xué)三峽大學(xué)n a c b m abcmn有無(wú)數(shù)解有無(wú)數(shù)解分析分析: :過(guò)過(guò)M M點(diǎn)作點(diǎn)作一條一條/平面內(nèi)平面內(nèi)的任意直線的的任意直線的直線直線, ,即得即得. .例例2 2：過(guò)：過(guò)M M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MNMN平行于平面平行于平面ABCABC。3030三峽大學(xué)三峽大學(xué)正平線正平線c c b b a a m m a abc cm mn n唯一解唯一解n n 分析分析: :在平面在平面ABCABC內(nèi)作一條正平內(nèi)作一條正

18、平線線,MN/,MN/此正平線此正平線, ,即得即得. .例例3 3：過(guò)：過(guò)M M點(diǎn)作直線點(diǎn)作直線MNMN平行于平行于V V面和平面面和平面ABCABC。3131三峽大學(xué)三峽大學(xué) 若一平面上的若一平面上的兩相交直線兩相交直線對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的對(duì)應(yīng)平行于另一平面上的兩相兩相交直線交直線，則這兩平面相互平行。，則這兩平面相互平行。 若兩若兩投影面垂直面投影面垂直面相互平相互平行，則它們行，則它們具有積聚性具有積聚性的那組的那組投影必相互平行投影必相互平行。f h abcdefha b c d e c f b d e a abcdef2. 2. 兩平面平行兩平面平行/3232三峽大學(xué)三峽大學(xué) 2

19、.判別下列平面與平面是否平行。a)b) 平行平行舉例例例 判斷下列兩平面是否平行判斷下列兩平面是否平行不平行不平行3333三峽大學(xué)三峽大學(xué)直線與平面相交直線與平面相交平面與平面相交平面與平面相交 直線與平面相交直線與平面相交( (實(shí)物實(shí)物) ) 直線與平面相交，其直線與平面相交，其交點(diǎn)交點(diǎn)是直線與平面的是直線與平面的共有點(diǎn)，且交共有點(diǎn)，且交點(diǎn)點(diǎn)是直線與平面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的是直線與平面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)。分界點(diǎn)。要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題： 求求直線與平面的直線與平面的交點(diǎn)。交點(diǎn)。 判別兩者之間的相互遮擋的判別兩者之間的相互遮擋的可見(jiàn)性?？梢?jiàn)性。 我們只討論直線與平面中至少我們只討論直線與平面中

20、至少有一個(gè)元素處于特殊位有一個(gè)元素處于特殊位置的情況置的情況（直線特殊或者平面特殊）。（直線特殊或者平面特殊）。二、相交問(wèn)題二、相交問(wèn)題3434三峽大學(xué)三峽大學(xué)（1 1）. .直線與平面相交（平面為特殊位置）直線與平面相交（平面為特殊位置）VHPHPABCacbkNKM3535三峽大學(xué)三峽大學(xué)abcmnc n b a m 1.1.空間空間及投影分析及投影分析 平面平面ABCABC是一鉛垂面，其水平投是一鉛垂面，其水平投影積聚成一條直線，該直線與影積聚成一條直線，該直線與mnmn的交的交點(diǎn)即為點(diǎn)即為K K點(diǎn)的水平投影。點(diǎn)的水平投影。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見(jiàn)性（判別可見(jiàn)性（V V面）面） 由水平投

21、影可知，由水平投影可知，KNKN段在平面段在平面ABCABC前，故正面投影上前，故正面投影上k k n n 為可見(jiàn)。為可見(jiàn)。再根再根據(jù)據(jù): :交點(diǎn)是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)交點(diǎn)是可見(jiàn)與不可見(jiàn)的分界點(diǎn)，求得求得k k m m 上一段不可見(jiàn)。上一段不可見(jiàn)。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。還可通過(guò)重影點(diǎn)判別可見(jiàn)性。k 1 (2 )2.2.作圖作圖k21抓住交點(diǎn)是共抓住交點(diǎn)是共有點(diǎn)的特點(diǎn)有點(diǎn)的特點(diǎn)例：求直線例：求直線MNMN與平面與平面ABCABC的交點(diǎn)的交點(diǎn)K K并判別可見(jiàn)性并判別可見(jiàn)性3636三峽大學(xué)三峽大學(xué)（2 2） 直線為特殊位置直線為特殊位置3737三峽大學(xué)三峽大學(xué)km(n)bm n c b a ac

22、 直線為特殊位置直線為特殊位置1.1.空間及投影分析空間及投影分析 直線直線MNMN為鉛垂線，其水平為鉛垂線，其水平投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)投影積聚成一個(gè)點(diǎn)，故交點(diǎn)K K的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。的水平投影也積聚在該點(diǎn)上。 求交點(diǎn)求交點(diǎn) 判別可見(jiàn)性（判別可見(jiàn)性（V V面）面）用重影點(diǎn)判斷用重影點(diǎn)判斷 點(diǎn)點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位于平面上，在前；點(diǎn)位位于于MNMN上，在后。故上，在后。故k k 2 2 為不可見(jiàn)為不可見(jiàn)。1 (2 )k 212.2.作圖作圖用面上取點(diǎn)法用面上取點(diǎn)法3838三峽大學(xué)三峽大學(xué)兩平面相交兩平面相交( (實(shí)物實(shí)物) ) 兩平面相交其交線為直線，兩平面相交其交線為直線，交線是

23、交線是兩平面的兩平面的共有線，共有線，同時(shí)同時(shí)交線上的點(diǎn)交線上的點(diǎn)都是兩平面的都是兩平面的共有點(diǎn)，交線共有點(diǎn)，交線是兩平面可見(jiàn)與是兩平面可見(jiàn)與不可見(jiàn)的不可見(jiàn)的分界線。分界線。要討論的問(wèn)題：要討論的問(wèn)題： 求兩平面的交線求兩平面的交線方法：方法： 確定兩平面的確定兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)。兩個(gè)共有點(diǎn)。 確定確定一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。一個(gè)共有點(diǎn)及交線的方向。 只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況（即只討論兩平面中至少有一個(gè)處于特殊位置的情況（即兩種情況：一個(gè)平面處于特殊，兩個(gè)平面都處于特殊）。兩種情況：一個(gè)平面處于特殊，兩個(gè)平面都處于特殊）。 判別兩平面之間的相互遮擋的判別兩平面之間的相互遮擋的

24、可見(jiàn)性?？梢?jiàn)性。3939三峽大學(xué)三峽大學(xué)（1 1）兩平面都為特殊平面）兩平面都為特殊平面4040三峽大學(xué)三峽大學(xué)可通過(guò)正面投影直可通過(guò)正面投影直觀地進(jìn)行判別。觀地進(jìn)行判別。abcdefc f db e a m (n )1.1.空間及投影分析空間及投影分析 平面平面ABCABC與與DEFDEF都為都為正垂面正垂面，它們的正面投影都積聚成直線。它們的正面投影都積聚成直線。交線必為一條正垂線交線必為一條正垂線。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性（判別可見(jiàn)性（H H面）面）2.2.作圖作圖 從正面投影上可看出，在從正面投影上可看出，在交線左側(cè)，平面交線左側(cè)，平面ABCABC在上，其在上，其水平投影可見(jiàn)。水平投

25、影可見(jiàn)。nm例例1 1：求兩平面的交線：求兩平面的交線MNMN，并判別可見(jiàn)性。，并判別可見(jiàn)性。4141三峽大學(xué)三峽大學(xué)VH（2 2）. . 其中一平面為特殊平面其中一平面為特殊平面FBACEHabcMNmnP4242三峽大學(xué)三峽大學(xué)b c f h a e abcefh1.1.空間及投影分析空間及投影分析 平面平面EFHEFH是一水平面，它的正是一水平面，它的正面投影有積聚性。面投影有積聚性。a a b b 與與e e f f hh的交點(diǎn)的交點(diǎn)m m 、 b b c c 與與efef h h 的交的交點(diǎn)點(diǎn)n n , ,即為兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)的即為兩平面的兩個(gè)共有點(diǎn)的正面投影，故正面投影，故m m n n 是是MNMN的正面投的正面投影影。 求交線求交線 判別可見(jiàn)性判別可見(jiàn)性(H(H面面) ) m m n n bb在在efhefh上面，上面，故水平投影故水平投影mnbmnb可見(jiàn)，其他可見(jiàn)可見(jiàn)，其他可見(jiàn)性可根據(jù)投影特點(diǎn)得出