大學數(shù)學用基礎

1、大學數(shù)學應用基礎大學數(shù)學應用基礎 實用高等數(shù)學實用高等數(shù)學第四節(jié)第四節(jié) 常用經(jīng)濟函數(shù)及其經(jīng)濟分析中的導數(shù)常用經(jīng)濟函數(shù)及其經(jīng)濟分析中的導數(shù)一一.成本函數(shù)與收入函數(shù)成本函數(shù)與收入函數(shù)二二.邊際成本、邊際收入、邊際利潤邊際成本、邊際收入、邊際利潤首頁首頁上頁上頁下頁下頁 生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為生產(chǎn)某種產(chǎn)品的數(shù)量為q時的總成本時的總成本（所需的全部費用）（所需的全部費用）首頁首頁上頁上頁下頁下頁 在企業(yè)的經(jīng)營活動中，經(jīng)營者的經(jīng)營效益取決于該企業(yè)的成本支出、收入以及二者關于產(chǎn)量的變化率諸因素本講主要研究導數(shù)在成本函數(shù)和收入函數(shù)中的應用1）定義域：一切非負實數(shù)一切非負實數(shù) 2）總成本分：固定成本固定成本（如

2、廠房、設備、保險費、 管理人員工資、廣告費等） 可變成本可變成本（原材料費、能源消耗費、 工人工資、包裝費等）.3)成本函數(shù)是單調(diào)增加函數(shù)，因為生產(chǎn)的產(chǎn)品 更新?lián)Q代越多，成本越高.( )c q1.成本函數(shù)成本函數(shù) ：一、成本函數(shù)與收入函數(shù)一、成本函數(shù)與收入函數(shù)首頁首頁上頁上頁下頁下頁4) 圖像特點： a圖像構(gòu)成:有時 圖像由彼此孤立的點組成；（如圖3-11）,因為產(chǎn)量q只能是整數(shù)，如汽車或電視機等。 ( )cc q而有時 的圖像可能是一條連續(xù)曲線（如圖3-12）因為產(chǎn)量q可以連續(xù)變化，如糖、煤、水、電等.( )cc qb圖像升降特點:總成本函數(shù)的圖像叫總成本曲線,它從左往右是上升的,與c軸的交

3、點的縱坐標(縱截距)為 (固定成本)0c首頁首頁上頁上頁下頁下頁 企業(yè)售出某種產(chǎn)品的數(shù)量為企業(yè)售出某種產(chǎn)品的數(shù)量為q q時所獲得時所獲得的全部收入的全部收入2.收入函數(shù)收入函數(shù) ：( )r q( )r q( )r q1 1） 為單調(diào)增加函數(shù)因售出量為單調(diào)增加函數(shù)因售出量q q越多，收入越多，收入 越大。越大。prpq2) 如果價格 是常數(shù)，那么收入=價格數(shù)量，即： 。3)圖像特點：通過原點的直線，如圖3-13但在現(xiàn)實經(jīng)濟生活中，實際上，當產(chǎn)量q的值增大時，產(chǎn)品可能充斥市場，從而造成價格下落，r的圖像如圖3-14 首頁首頁上頁上頁下頁下頁 生產(chǎn)一定數(shù)量的產(chǎn)品的總收入與總成本之差就叫做它的總利潤,

4、記作l，利潤=收入-成本，即l=r-c 3.利潤函數(shù)利潤函數(shù) ：( )l q首頁首頁上頁上頁下頁下頁二、邊際成本、邊際收入、邊際利潤函數(shù)二、邊際成本、邊際收入、邊際利潤函數(shù)案例：哪家公司更精明：案例：哪家公司更精明：從長沙開往邵陽的長途車即將出發(fā)無論哪個公司的車，票價均為75元個匆匆趕來的乘客見一家國有公司的車上尚有空位,要求以50元上車,被拒絕了.他又找到一家也有空位的私人公司的車,售票員二話沒說,收了50元允許他上車了.哪家公司的行為更理性呢? 分析：分析：私人公司允許這名乘客用50元享受75元的運輸服務，當然虧了，但如果用邊際分析法分析，私人公司的確比國有公司精明。 “邊際”這個詞可以理

5、解為“增加的”的意思，“邊際量”也就是“增量”的意思。說得確切一些，自變量的增量為1個單位時，因變量的增量就是邊際量例如,生產(chǎn)要素(自變量)增加1個單位,產(chǎn)量(因變量)的增量為2個單位,首頁首頁上頁上頁下頁下頁因變量改變的這2個單位就是邊際產(chǎn)量.邊際分析法就是分析自變量變動1個單位時,因變量會變動多少的方法. 在本案例中,當我們考慮是否讓這名乘客以50元的票價上車時,實際上我們應該考慮的是邊際成本邊際成本和邊際收入邊際收入這兩個概念.邊際成本是增加1名乘客(自變量)所增加的成本.在本案例中,增加這1名乘客,所需磨損的汽車、汽油費、工作人員工資和過路費等無需增加，對汽車來說多拉1個人少拉1個人都

6、一樣，所增加的成本僅僅是發(fā)給這個乘客的食物和飲料，假設這些東西值10元，邊際成本也就是10元邊際收入是增加1名乘客（自變量）所增加的收入在這個案例中，增加這一名乘客增加收入50元,邊際收入就是50元.因為邊際收入大于邊際成本,所以讓這名乘客上車是合算的. 首頁首頁上頁上頁下頁下頁歸納歸納: 邊際邊際是指自變量增加1個單位時,因變量的增量(即邊際量邊際量). 邊際分析法邊際分析法就是分析自變量變動1個單位時,因變量會變動多少的方法.用數(shù)學方法描述如下:設函數(shù) 可導.根據(jù)導數(shù)和微分的定義,有 ( )f x0( )limxyfxx 因此，當 很小時，有 。于是 x( )yfxx()( )( )yf

7、xxf xfxx 特別地， 1x 當 時，有 。 ( ) 1( )yfxfx ( )yf x( )fx這就是說，當自變量增加1個單位時,函數(shù)的增量近似地等于其導數(shù)值.因此,通常我們把函數(shù) 的導數(shù) 稱為邊際函數(shù)邊際函數(shù). 首頁首頁上頁上頁下頁下頁222|3|12xxyx3yx2x 例如，例如，函數(shù) ，在點 處的邊際函數(shù)值為 ，2x xy它表示當 時， 改變個單位， 改變12個單位1.邊際成本邊際成本( )cc qq( )c qq總成本函數(shù) （ 為產(chǎn)量）的導數(shù) ，稱為產(chǎn)量為 單位時的邊際成本( )c qq( )c q 經(jīng)濟意義：邊際成本 表示當產(chǎn)量為 時，再生產(chǎn)個單位產(chǎn)品時總成本將改變 個單位 .

8、邊際需求邊際需求 ( )qq pp( )q pp 需求函數(shù) （ 為價格）的導數(shù) ，稱為價格為 單位時的邊際需求首頁首頁上頁上頁下頁下頁( )q pp( )q p 經(jīng)濟意義：邊際需求 表示當價格為 時，價格再上漲個單位，需求量將改變個 單位邊際收入（收益）邊際收入（收益）( )rr qq( )r qq 總收入函數(shù) （ 為產(chǎn)量）的導數(shù) ，稱為產(chǎn)量為 單位時的邊際收入( )r qq( )r q 經(jīng)濟意義：邊際收入 表示當銷售量為 時，再多銷售個單位產(chǎn)品時總收入將改變個 單位 邊際利潤邊際利潤( )ll qq( )l qq 總利潤函數(shù) （ 為產(chǎn)量）的導數(shù) ，稱為產(chǎn)量為 單位時的邊際利潤 由于總利潤為總

9、收入與總成本之差，即有首頁首頁上頁上頁下頁下頁( )( )( )l qr qc q上式兩邊求導，得( )( )( )l qr qc q即邊際利潤等于邊際收入與邊際成本之差即邊際利潤等于邊際收入與邊際成本之差( )l qq( )l q 經(jīng)濟意義：邊際利潤 表示當產(chǎn)量為 時，再生產(chǎn)個單位產(chǎn)品時總利潤將改變個 單位首頁首頁上頁上頁下頁下頁最大利潤最大利潤( )rr q( )cc q 問題：已知總收入函數(shù) 及總成本函數(shù) ，如何求出最大利潤？ 對利潤函數(shù) 在給定的區(qū)間上求最值而最大（或最?。├麧櫽锌赡茉趨^(qū)間端點和區(qū)間內(nèi)部取得但是，若事先能斷言最大（或最?。├麧欀荒茉趨^(qū)間內(nèi)部取得，且利潤函數(shù)l在區(qū)間內(nèi)部只

10、有唯一的駐點，則可斷言，最大（或最?。├麧櫾谠擖c取得lrc這表明在生產(chǎn)這表明在生產(chǎn)1千升基礎上再多生產(chǎn)千升基礎上再多生產(chǎn)1升，需成本升，需成本1元；在生產(chǎn)元；在生產(chǎn)4千升基礎上再多生產(chǎn)千升基礎上再多生產(chǎn)1升，僅需成本升，僅需成本075元，這表明：產(chǎn)量越高，成本越低元，這表明：產(chǎn)量越高，成本越低首頁首頁上頁上頁下頁下頁【例【例1】某商品產(chǎn)量為某商品產(chǎn)量為 （千升）時的成本函數(shù)（千升）時的成本函數(shù)為為 （千元），其中（千元），其中 ，求求 時的邊際成本，并給以適當?shù)慕?jīng)濟解時的邊際成本，并給以適當?shù)慕?jīng)濟解釋釋x( )34c xx05x1,4x 3( )2mccxx解：解： 邊際成本函數(shù)邊際成本函數(shù)1

11、x 1.5mc 4x 0.75mc 當當 時，時， ；當；當 時，時，首頁首頁上頁上頁下頁下頁( )l xx2( )2505l xxx10,25,30 x 例例2 2 某企業(yè)生產(chǎn)一種產(chǎn)品，每天的總利潤 （元）與產(chǎn)量 （噸）之間的函數(shù)關系為 ，求 時的邊際利潤，并給以適當?shù)慕?jīng)濟解釋解解 邊際利潤函數(shù) ( )250 10mll xx25x (25)0l 當 時， （元）；它表明在每天生產(chǎn)25噸的基礎上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤沒有變化，這1噸產(chǎn)量并沒有產(chǎn)生利潤10 x (10)150l 當 時， （元）；它表明在每天生產(chǎn)10噸的基礎上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤將增加150元 當 時， （元）；它表明在每天

12、生產(chǎn)30噸的基礎上，再多生產(chǎn)1噸，總利潤將要減少50元 30 x (30)50l 從本題可以看出：并非生產(chǎn)的產(chǎn)品數(shù)量越多，利潤就越高首頁首頁上頁上頁下頁下頁【例【例3】設總收入和總成本設總收入和總成本(以元為單位以元為單位)分別由下分別由下列兩式給出：列兩式給出：其中其中 求獲得最大利潤時求獲得最大利潤時 的數(shù)量，的數(shù)量，怎樣的生產(chǎn)水平將獲得最小利潤？怎樣的生產(chǎn)水平將獲得最小利潤？ 2( )50.003,( )300 1.1r qqq c qq01000qq2( )50.003(300 1.1 )l qqqq2( )3.90.003300l qqq( )3.90.006l qq( )0l q650q 所以所以 時有最大利潤，時有最大利潤， 時有最小利潤時有最小利潤 650q 0q (650)967.59l(0)300l (1000)600l( )( )( )l qr qc q解解: 因為總利潤因為總利潤 ，所以，所以即即:所以所以令令，得，得因為因為首頁首頁上頁上頁下頁下頁課外作業(yè)：課外作業(yè)：p89 習題習題3-4 1、3題題 p89 習題3-4 2題 課堂練習課堂練習 ： cx2( )900100 xcc x.某產(chǎn)品總成本 （元）為產(chǎn)量 （個）的函數(shù) 求生產(chǎn)10