幾種高程擬合方法的精度分析課件

1、LOGO報(bào)告人：張暉報(bào)告人：張暉日期：日期：2012年年12月月3日日幾種高程擬合方法比較幾種高程擬合方法比較關(guān)鍵詞關(guān)鍵詞：大地高 正常高 二次曲面法 多面函數(shù)法摘要摘要 GPS平面測量數(shù)據(jù)由于其高精度的特性已在測繪領(lǐng)域到了廣泛的應(yīng)用。如何有效利用其高程信息，把大地高轉(zhuǎn)化為正常高，直接為測繪行業(yè)服務(wù)是一個非常實(shí)際且有意義的課題。針對目前GPS高程擬合的研究現(xiàn)狀，本文主要討論GPS點(diǎn)位成面狀分布時的兩種擬合方法，即對二次曲面法和多面函數(shù)法比較。 目錄目錄GPS高程擬擬合基本理論論二次曲面法擬擬合多面函數(shù)數(shù)法擬擬合實(shí)實(shí)例分析總結(jié)總結(jié)分析GPS高程擬合基本理論高程擬合基本理論v 高程基準(zhǔn)面：高程基準(zhǔn)

2、面是地面點(diǎn)的高程起算面，即水準(zhǔn)零點(diǎn)。v 測量中主要涉及三個高程基準(zhǔn)面：地球的物理表面大地水準(zhǔn)面，地球的數(shù)學(xué)表面參考橢球面，還有一個抽象的曲面似大地水準(zhǔn)面。v 高程系統(tǒng)：與三個高程基準(zhǔn)面相對應(yīng)有三個常用的高程系統(tǒng)，正高高程系統(tǒng)、大地高高程系統(tǒng)、似大地高高程系統(tǒng)。v 目前我國所用的高程系統(tǒng)為似大地高高程系統(tǒng)而GPS高程是大地高高程系統(tǒng)。由于參考橢球面與似大地水準(zhǔn)面不重合。大地高與正常高之間就存在一個高程異常。如下圖所示GPS高程擬合的基本理論高程擬合的基本理論v 正常高與大地高之間的關(guān)系為：v 因此求出高程異常進(jìn)而求的正常高，建立似大地水準(zhǔn)面的過程就是GPS高程擬合的過程。HH 高程異常9210a

3、aaa，二次曲面法高程擬合二次曲面法高程擬合 v 曲面擬合法： 當(dāng)GPS點(diǎn)布設(shè)成一定區(qū)域面時，可以用數(shù)學(xué)曲面擬合法求定待定點(diǎn)的正常高。其原理是:根據(jù)測區(qū)中已知點(diǎn)的平面坐標(biāo)x、y(或大地坐標(biāo)B、L)和高程異常值，用數(shù)值法擬合，擬合出測區(qū)似大地水準(zhǔn)面，再內(nèi)插出待求點(diǎn)的高程異常，從而求出待求點(diǎn)的正常高。v 多項(xiàng)式曲面擬合： 多項(xiàng)式曲面擬合法是近年來使用的主要擬合方法，其中二次多項(xiàng)式曲面擬合最為常見。多項(xiàng)式曲面擬合的一般模型為:v 式中 為模型的待定參數(shù)。v 當(dāng)控制點(diǎn)為n個，所取的項(xiàng)數(shù)為n項(xiàng)時，則存在如下方程組矩陣:.3928273625423210yaxyayxaxayaxyaxayaxaaXA二次

4、曲面法高程擬合二次曲面法高程擬合v 其中v 通過高斯消元法求出模型參數(shù)A，然后求出未知點(diǎn)的高程異常值，進(jìn)而求出正常高 。 110n110naaaA211121112000111nnnxyxxyxxyxXH二次曲面法高程擬合二次曲面法高程擬合v 當(dāng)控制點(diǎn)個數(shù)多于多項(xiàng)式的項(xiàng)數(shù)時，為了充分利用己知數(shù)據(jù)，通常會采用最小二乘法擬合。v 設(shè)點(diǎn)的高程異常 與其平面坐標(biāo) 存在以下關(guān)系式：v 其中其中 v 根據(jù)最小二乘原理可求： 帶入模型公式可求出未知點(diǎn)的高程異常，進(jìn)而求出正常高。yx,0 XAV110nvvvVNoImageNoImage211121112000111nnnxyxxyxxyxX110naaaA

5、002010n01)(TTXXXA二次曲面法高程擬合二次曲面法高程擬合v 在工程中應(yīng)用較多的是二次曲面法擬合，其數(shù)學(xué)模型為：v 在求模型參數(shù)時需要至少6個已知點(diǎn)的高程異常值。NoImage25423210yaxyaxayaxaa多面函數(shù)法高程擬合多面函數(shù)法高程擬合v 多面函數(shù)擬合曲面的方法是美國Hardy教1977年提出的，其理論基礎(chǔ)是，任何一個圓滑的數(shù)學(xué)曲面總可以用一系列有規(guī)則的數(shù)學(xué)表面的綜合，以任意精度逼近。v GPS高程多面函數(shù)擬合法就是把擬合區(qū)域的高程異常，用多個曲面高度逼近，建立數(shù)學(xué)模型，借此可以求得未知點(diǎn)的高程異常，然后根據(jù)GPS所求的大地高來計(jì)算常規(guī)基準(zhǔn)下的正常高。v 一個數(shù)學(xué)表

6、面上點(diǎn) 的函數(shù)值 可表達(dá)成),(yx),(),(1iiujjyxyxQayx),(yx多面函數(shù)法高程擬合多面函數(shù)法高程擬合v 式中， 為待定系數(shù)； 是x和y的二次核函數(shù)，其中核心在 處，可由二次式的和確定，故稱多面函數(shù)；x, y為待求點(diǎn)的坐標(biāo)， 為已知點(diǎn)坐標(biāo)。v 其矩陣形式為:v 根據(jù)最小二乘原理可知其模型參數(shù)： v 將模型參數(shù)代入函數(shù)模型可得高程異常值，進(jìn)而求出未知點(diǎn)的正常高。v 常用的核函數(shù)有正雙曲面和倒雙曲面兩種，其函數(shù)模型如下：v 正雙曲面： 其中 稱為光滑因子，當(dāng)其值為0時，正雙曲面退化為圓錐面。v 倒雙曲面：ja),(iiyxyxQ),(iiyxiiyx,0 AQV01)(TTQQ

7、QA2122)()(iiyyxxQ2122)()(iiyyxxQ多面函數(shù)法高程擬合多面函數(shù)法高程擬合v 高程擬合的精度評定指標(biāo)v 內(nèi)符合精度： 根據(jù)參與計(jì)算的己知點(diǎn)的高程異常值 和計(jì)算后得到的高程異常值 用 求得殘差值，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度v 外符合精度： 同樣根據(jù)參與檢核的己知點(diǎn)的高程異常值 和計(jì)算后得到的高程異常值 用 求得殘差值，按下式計(jì)算GPS水準(zhǔn)的內(nèi)符合精度i0i0iiiv1nVV0iiiv0ii1nVVM多面函數(shù)法高程擬合多面函數(shù)法高程擬合v 內(nèi)符合精度與外符合精度都是從點(diǎn)的統(tǒng)計(jì)角度出發(fā)的，可以說是一種相對意義上的絕對精度評定。垂直數(shù)據(jù)因參考基準(zhǔn)的不同，會有不同的系統(tǒng)偏

8、差，所以在某種意義上相對精度的評定更有說服力。水準(zhǔn)限差注：L為已知點(diǎn)與檢核點(diǎn)的距離（單位：公里）測量等級測量等級 允許的最大限差（允許的最大限差（mm）三等幾何水準(zhǔn)測量 四等幾何水準(zhǔn)測量普通幾何水準(zhǔn)測量 L20L12L30實(shí)例分析實(shí)例分析v 右圖為某中型城市的城市控制網(wǎng)，圖中共有37個GPSE級控制點(diǎn)。為了研究GPS擬合原理，對以上所有控制點(diǎn)都進(jìn)行了三等水準(zhǔn)測量，并應(yīng)用穩(wěn)健估計(jì)進(jìn)行粗差探測，未發(fā)現(xiàn)粗差。v 為了保證試驗(yàn)數(shù)據(jù)的可靠性，其具體數(shù)據(jù)見下表。實(shí)例分析實(shí)例分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)表（部分）序號序號X坐標(biāo)坐標(biāo)Y坐標(biāo)坐標(biāo)大地高大地高正常高正常高高程異常高程異常1-9230.899-30277.67911

9、.8793.4938.3862-10589.011-26223.53614.337 5.7578.5803-8775.220-23280.82713.1734.500 8.6734-7666.317-19160.95512.2633.3978.8665-11649.851-36495.57411.5923.430 8.1616-8129.317-33611.14113.3445.1348.2107-4334.088-33564.44012.8174.610 8.2078295.107-32024.10411.8213.5978.22593802.651-31147.31313.0304.776

10、8.25410-11790.336-21649.388 12.5873.8088.77811-7892.980-26803.83912.3133.7558.558實(shí)例分析實(shí)例分析v 續(xù)表序號序號X坐標(biāo)坐標(biāo)Y坐標(biāo)坐標(biāo)大地高大地高正常高正常高高程異常高程異常122078.745 -38769.45612.0974.1737.92513-9337.283 -39433.37911.9313.9258.00514-14355.472 -39856.99711.4673.4218.04615-17115.063 -49101.97211.5793.8847.69516-18538.802 -52552.

11、99713.4035.8357.56917-15219.401 -53448.17312.377 4.8527.52518 -12601.594 -53833.91211.3813.9067.47519-12173.846 -29772.27611.2502.8228.42820-4986.383 -37421.71111.3663.3328.034實(shí)例分析實(shí)例分析v 使用 1、7、9、10、11、13、16、17、18、19、20、22、25、26、27、28、31、33 、34、36 共 20 個均勻分布的控制點(diǎn)應(yīng)作為已知點(diǎn)，2、3、4、5、6、8、12、14、15作為檢核點(diǎn)分別用二次曲面

12、法和多面函數(shù)法進(jìn)行擬合計(jì)算，其分析結(jié)果如下表： 數(shù)據(jù)擬合分析序號序號 已知高程異常已知高程異常 擬合值擬合值 殘差值殘差值 二次曲面 錐面 倒雙曲面 二次 錐面 倒雙曲面 2 8.580 8.549 8.536 8.624 -0.031 -0.043 0.045 3 8.673 8.626 8.759 8.773 -0.047 0.086 0.100 4 8.866 8.726 9.559 8.380 -0.140 0.693 -0.487 5 8.161 8.213 8.048 8.198 0.052 -0.114 0.037 6 8.210 8.290 8.177 8.279 0.080

13、-0.033 0.069 8 8.225 8.253 8.174 8.359 0.028 -0.051 0.13412 7.899 7.901 8.551 7.568 0.002 0.627 -0.35714 8.046 8.107 7.896 8.044 0.061 -0.150 -0.00215 7.695 7.732 7.563 7.716 0.037 -0.133 0.021外符合精度 實(shí)例分析實(shí)例分析v 當(dāng)核函數(shù)為錐面函數(shù)時C取1，當(dāng)核函數(shù)為到雙曲面時 取10000，以下是這三種擬合模型的殘差圖。2實(shí)例分析實(shí)例分析v 當(dāng)選取1、7、9、10、11、13、19、20、22、26、28、33、34、36這14個點(diǎn)作為已知點(diǎn)進(jìn)行二次曲面擬合時其精度如下表：序號序號 二次曲面擬合殘差（二次曲面擬合殘差（14點(diǎn)）點(diǎn)） 二次曲面擬合殘差（二次曲面擬合殘差（20點(diǎn)）點(diǎn)）2 -0.050 -0.031 3 0.002 -0.047 4 -0.062 -0.140