用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征-標(biāo)準(zhǔn)差

1、2.2.2 用樣本的數(shù)字特征估用樣本的數(shù)字特征估計(jì)總體的數(shù)字特征計(jì)總體的數(shù)字特征實(shí)際問題：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中實(shí)際問題：有兩位射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊測試中 各射靶各射靶10次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：次，每次命中的環(huán)數(shù)如下：甲：甲：乙：乙： 如果你是教練如果你是教練,你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)你應(yīng)當(dāng)如何對這次射擊作出評價(jià)?如果是一如果是一次選拔考核，你應(yīng)該如何做選擇？次選拔考核，你應(yīng)該如何做選擇？計(jì)算可得計(jì)算可得77乙甲x，x兩人射擊兩人射擊 的平均成績是一樣的的平均成績是一樣的. .那么兩個(gè)人的水平就沒那么兩個(gè)人的水平就沒有什么差異嗎有什么差異嗎? ?45678910環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率

2、0.10.20.3(甲甲)456789 100.10.20.30.4環(huán)數(shù)環(huán)數(shù)頻率頻率(乙乙)甲成績比較甲成績比較分散分散, ,乙成乙成績相對集中績相對集中思思 考考 ：什么樣的指標(biāo)可以反映一組數(shù)據(jù)：什么樣的指標(biāo)可以反映一組數(shù)據(jù) 變化范圍的大小？變化范圍的大小？ 極差最大值最小值極差最大值最小值 極差：極差： 一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差一組數(shù)據(jù)的最大值與最小值的差極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)極差越大，數(shù)據(jù)越分散，越不穩(wěn)定定極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定極差越小，數(shù)據(jù)越集中，越穩(wěn)定極差體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的離散程度極差體現(xiàn)了數(shù)據(jù)的離散程度甲的環(huán)數(shù)極差甲的環(huán)數(shù)極差=10-4=6=10-4=6乙的環(huán)數(shù)極差乙的環(huán)

3、數(shù)極差=9-5=4. =9-5=4. 極差對極差對極端值極端值非常敏感，在一定程度上表非常敏感，在一定程度上表明樣本數(shù)據(jù)的的明樣本數(shù)據(jù)的的波動(dòng)情況波動(dòng)情況 但極差只能反映一組數(shù)據(jù)中但極差只能反映一組數(shù)據(jù)中兩個(gè)極端值兩個(gè)極端值之間之間的差異情況，對其他數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不敏感，的差異情況，對其他數(shù)據(jù)的波動(dòng)情況不敏感，到底是到底是A A組還是組還是B B組數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定呢？有必要重組數(shù)據(jù)更加穩(wěn)定呢？有必要重新找一個(gè)對新找一個(gè)對整組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況整組數(shù)據(jù)波動(dòng)情況更敏感的指標(biāo)更敏感的指標(biāo) 考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最考察樣本數(shù)據(jù)的分散程度的大小，最常用的統(tǒng)計(jì)量是常用的統(tǒng)計(jì)量是).,2,1(nixxix。x

4、xxxxin的距離是的距離是到到表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)表示這組數(shù)據(jù)的平均數(shù)假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是假設(shè)樣本數(shù)據(jù)是,.,21 標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種標(biāo)準(zhǔn)差是樣本平均數(shù)的一種平均距離平均距離，一般用一般用s表示表示 于是樣本數(shù)據(jù)于是樣本數(shù)據(jù)x1，x2，xn，到到x的平均的平均距離是距離是12|nxxxxxxsn平均距離平均距離標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差由于上式含有絕對值，運(yùn)算不太方便，由于上式含有絕對值，運(yùn)算不太方便，因此，通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差因此，通常改用如下公式來計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)差22212()()()nxxxxxxsn 考慮一個(gè)容量為考慮一個(gè)容量為2的樣本的樣本:.2,2,121221xxaxxxx記其樣本的標(biāo)準(zhǔn)差

5、為標(biāo)準(zhǔn)差的幾何意義標(biāo)準(zhǔn)差的幾何意義221xx 1x2xa 標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差用來衡量一批數(shù)據(jù)的用來衡量一批數(shù)據(jù)的波動(dòng)大小波動(dòng)大小(即即這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小這批數(shù)據(jù)偏離平均數(shù)的大小).標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍是什么?標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本的樣本數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)數(shù)據(jù)有什么特點(diǎn)?標(biāo)準(zhǔn)差是怎樣表現(xiàn)數(shù)據(jù)的離標(biāo)準(zhǔn)差是怎樣表現(xiàn)數(shù)據(jù)的離散程度的散程度的?標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍標(biāo)準(zhǔn)差的取值范圍: 0,+)標(biāo)準(zhǔn)差為標(biāo)準(zhǔn)差為0的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù)的樣本數(shù)據(jù)都等于樣本平均數(shù).標(biāo)準(zhǔn)差表現(xiàn)為：標(biāo)準(zhǔn)差表現(xiàn)為：標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)的離散程度就越大；反之，標(biāo)準(zhǔn)差越大，表明數(shù)據(jù)的離散程度就越大；反之，標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明

6、各數(shù)據(jù)的離散程度就越小。標(biāo)準(zhǔn)差越小，表明各數(shù)據(jù)的離散程度就越小。它用來描述樣本數(shù)據(jù)的離散程度。在實(shí)際應(yīng)用它用來描述樣本數(shù)據(jù)的離散程度。在實(shí)際應(yīng)用 中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為中，標(biāo)準(zhǔn)差常被理解為穩(wěn)定性穩(wěn)定性。標(biāo)準(zhǔn)差的作用標(biāo)準(zhǔn)差的作用:例題分析例題分析例例1 1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)說明他們的異同點(diǎn). .(1) 5(1) 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5；(2) 4(2) 4，4 4，4 4，5 5，5 5，5 5，6 6，6 6，6 6；(3) 3(3) 3，3 3，4 4，4 4，5 5，6 6，6 6，7 7

7、，7 7；(4) 2(4) 2，2 2，2 2，2 2，5 5，8 8，8 8，8 8，8.8.例題分析例題分析例例1 1 畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，畫出下列四組樣本數(shù)據(jù)的條形圖，說明他們的異同點(diǎn)說明他們的異同點(diǎn). .(1) 5(1) 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5，5 5；(2) 4(2) 4，4 4，4 4，5 5，5 5，5 5，6 6，6 6，6 6；O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （1）50 xs=O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2

8、3 4 5 6 7 8 （2）50. 82xs=頻率頻率1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 O O51. 49xs=1.01.00.80.80.60.60.40.40.20.2頻率頻率1 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 O O52. 83xs=O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （1）50 xs=O O頻率頻率1.00.80.60.40.21 2 3 4 5 6 7 81 2 3 4 5 6 7 8 （2）50.

9、82xs= 對于城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù)對于城市居民月均用水量樣本數(shù)據(jù)，其平均數(shù) =1.973 =1.973 ，標(biāo)準(zhǔn)差，標(biāo)準(zhǔn)差s=0.868.s=0.868.在這在這100100個(gè)數(shù)據(jù)中，個(gè)數(shù)據(jù)中，落在區(qū)間（落在區(qū)間（ -s-s， +s+s）=1.105=1.105，2.8412.841外的有外的有2828個(gè)；個(gè)；落在區(qū)間（落在區(qū)間（ -2s-2s， +2s+2s）=0.237,3.709=0.237,3.709外的只有外的只有4 4個(gè)；個(gè)；落在區(qū)間（落在區(qū)間（ -3s-3s， +3s+3s）=-0.631=-0.631，4.5774.577外的有外的有0 0個(gè)個(gè). .xxxxxx

10、x一般地一般地, ,對于一個(gè)正態(tài)總體對于一個(gè)正態(tài)總體( , ),( , ),數(shù)據(jù)落在區(qū)間數(shù)據(jù)落在區(qū)間( )( )、( )( )、( )( )內(nèi)內(nèi)的百分比分別為的百分比分別為68.3%68.3%、95.4%95.4%、99.7%99.7%，這個(gè)原理，這個(gè)原理在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有著廣泛的應(yīng)用（參考教材在產(chǎn)品質(zhì)量控制中有著廣泛的應(yīng)用（參考教材P79“P79“閱讀與思考閱讀與思考”）. . 2, 2 ,2 3 ,3 .)()()(1222212xxxxxxnsn從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差從數(shù)學(xué)的角度考慮，人們有時(shí)用標(biāo)準(zhǔn)差的平方的平方s s2 2_ _-方差來代替標(biāo)準(zhǔn)作為測量樣本方差來代替標(biāo)準(zhǔn)作為

11、測量樣本數(shù)據(jù)分散程度的工具。數(shù)據(jù)分散程度的工具。（09 重慶重慶高考高考）從一堆蘋果中任取從一堆蘋果中任取5只，稱得它們的只，稱得它們的質(zhì)量如下（單位：克）質(zhì)量如下（單位：克）125125，124124， 121121， 123123， 127127則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差則該樣本標(biāo)準(zhǔn)差s （克）（用數(shù)字作答）（克）（用數(shù)字作答） 【解析】【解析】樣本平均數(shù)樣本平均數(shù)1(125 124 121 123 127)1245x 則樣本方差則樣本方差2222221(1313 )4,5sO所以所以2s 同步同步練習(xí)練習(xí)例例2 甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為甲乙兩人同時(shí)生產(chǎn)內(nèi)徑為25.40mm的一種零的一種零件件.為了對兩

12、人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比為了對兩人的生產(chǎn)質(zhì)量進(jìn)行評比,從他們生產(chǎn)的從他們生產(chǎn)的零件中各抽出零件中各抽出20件件,量得其內(nèi)徑尺寸如下量得其內(nèi)徑尺寸如下(單位單位:mm)甲 25.46, 25.32, 25.45, 25.39, 25.36 25.34, 25.42, 25.45, 25.38, 25.42 25.39, 25.43, 25.39, 25.40, 25.44 25.40, 25.42, 25.35, 25.41, 25.39乙 25.40, 25.43, 25.44, 25.48, 25.48 25.47, 25.49, 25.49, 25.36, 25.34 25.33, 25.43

13、, 25.43, 25.32, 25.47 25.31, 25.32, 25.32, 25.32, 25.48 從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看從生產(chǎn)的零件內(nèi)徑的尺寸看,誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高誰生產(chǎn)的質(zhì)量較高?解解:用計(jì)算器計(jì)算可得用計(jì)算器計(jì)算可得:25.401,25,406;0.037,0.068xxss甲乙甲乙 從樣本平均數(shù)看,甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑比乙生產(chǎn)的更接近內(nèi)徑標(biāo)準(zhǔn)(25.40mm),但是差異很小; 從樣本標(biāo)準(zhǔn)差看,由于。，。，ss乙的高一些甲生產(chǎn)的零件的質(zhì)量比于是可以作出判斷比乙的穩(wěn)定程度高得多因此甲生產(chǎn)的零件內(nèi)徑乙甲12,nx xxx2s12,nxb xbxbxb2s12,nax axaxax22

14、a s12,naxb axbaxbaxb22a s如果數(shù)據(jù)如果數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，方差為方差為（1 1）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為，方差仍為，方差仍為 （2 2）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為，方差為，方差為 （3 3）新數(shù)據(jù)）新數(shù)據(jù)的平均數(shù)為的平均數(shù)為 ，方差為方差為 ，則，則方差的運(yùn)算性質(zhì)：方差的運(yùn)算性質(zhì)：拓展與延伸2 2. .一組數(shù)據(jù)中一組數(shù)據(jù)中, ,每一個(gè)數(shù)都減去每一個(gè)數(shù)都減去80,80,得到一組新得到一組新數(shù)據(jù)數(shù)據(jù), ,若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是若求得新數(shù)據(jù)的平均數(shù)是1.2,1.2,方差是方差是4.4,4.4,則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別為則原來數(shù)據(jù)的平均數(shù)和方差分別

15、為( )( )(A)81.2,4.4(A)81.2,4.4(B)78.8,4.4(B)78.8,4.4(C)81.2,84.4(C)81.2,84.4(D)78.8,75.6(D)78.8,75.6同步同步練習(xí)練習(xí)A 隨堂練習(xí)隨堂練習(xí)C A 3.3.下列說法錯(cuò)誤的是下列說法錯(cuò)誤的是( )( )(A)(A)在統(tǒng)計(jì)里在統(tǒng)計(jì)里, ,把所需考察對象的全體叫作總體把所需考察對象的全體叫作總體(B)(B)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)一定大于這組數(shù)據(jù)中的每個(gè)數(shù)據(jù)(C)(C)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)從不同的角度描述了一組數(shù)據(jù)的集中趨勢據(jù)的集中趨勢(D)(D)一組數(shù)據(jù)的方差越大一組數(shù)據(jù)的方差越大, ,說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大說明這組數(shù)據(jù)的波動(dòng)越大【解析】【解析】選選B.B.平均數(shù)一定不大于這組數(shù)據(jù)中的最大值平均數(shù)一定不大于這組數(shù)據(jù)中的最大值. .B 小結(jié)小結(jié)1.1.用用樣本樣本的數(shù)字特征估計(jì)的數(shù)字特征估計(jì)總體總體的數(shù)字特征，的數(shù)字特征，是指用樣本的是指用樣本的眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差等等統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)總體相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)，估計(jì)總體相