復變函數第一章(2)復數的乘冪與方根課件

1、1.2 1.2 復數的乘冪與方根復數的乘冪與方根)(,212121212211 iiierrzzerzerz復數乘積的指數表達式2221221iierzzzrezzz 則特殊情況：,innnierzrez 則冪運算）：若推廣,(注:都成立。此公式對于任意整數 n)(1 .sincossincos棣莫弗公式ninin 時，特別地，當12 r)(inniee )(表示利用：將例sin,coscos311.2.1 1.2.1 復數的乘冪復數的乘冪解:sinRecoscos333i 333)sin(cossincosii kkkkic 3303)sin()(cos)sinsincos(sincosco

2、s322333 i2333sincoscoscos 65312)(ii ）（計算：例解:21 ikiArg241 )(421iei 51)(i 52)( 45ie23 ikiArg263 )(623iei 63)(i 6662ie 6531)(ii ）（66645522iiee)( 6522)( )(6645 ie4281ie 1.2.3 1.2.3 復數的方根復數的方根( (乘冪的逆運算乘冪的逆運算) )次方根，的為的復數稱滿足方程nzwnwzwn),(20 ?；蛴涀鱪nzz1 sincos ,sincosiwirz 設)sin(cosninwnn 則sinsin,coscosrnrnnn

3、sinsin,coscos, nnrn,2, 1,0,2kkn)sin(cosnkinkrzwnn22 ,102 knk)sin(cos00ninrwkn)2sin2(cos, 11ninrwkn)(sin)(cos,nninnrwnknn121211 )sin(cos,nninnrwnknn22 0122wninw)sin(cos 0w 2122 nnwninw)sin(cos1, 1 ,),2sin2(cosnoknkinkrznn個。次方根共有的）復數（nnz1注注: :個頂點。邊形的為半徑的圓內接正，個值就在以原點為圓心的幾何意義：nnrnznn)(2413i 計算：例解解: :因為)

4、sin(cos4421ii 所以41i 82 )sin(cos424424kik ),(3210 k即)sin(cos1616280iw )sin(cos169169281iw )sin(cos16171617282iw )sin(cos16251625283iw 四個根是內接于中心在原點,半徑為21/8的圓的正方形的四個頂點.820w2w1w3wxyi 11.3 1.3 平面點集平面點集 平面上以 z0為中心, d (任意的正數)為半徑的圓: |zz0|d 內部的點的集合稱為z0的鄰域鄰域, 而稱由不等式 0|zz0|d 所確定的點集為z0的去心鄰去心鄰域域.1.3.1 區(qū)域 設G為一平面點

5、集, z0為G中任意一點. 如果存在z0的一個鄰域, 該鄰域內的所有點都屬于G, 則稱z0為G的內點內點. 如果G內的每個點都是它的內點, 則稱G為開集開集 平面點集D稱為一個區(qū)域區(qū)域, 如果它滿足下列兩個條件:1) D是一個開集;2) D是連通連通的。就是說D中任何兩點都可以用完全屬于D 的一條折線連接起來.例4:201rzzr 圓環(huán)：0z1r2r0zr區(qū)域不是區(qū)域(不是開集)rzz 0|121 zzzzS點集不是區(qū)域(不連通)1z2z 如果一個區(qū)域可以被包含在一個以原點為中心的圓里面, 即存在正數 M,使區(qū)域 D的每個點z都滿足 |z|M1.3.2 1.3.2 曲線曲線 在數學上, 經常用

6、參數方程來表示各種平面曲線. 如果x(t)和y(t)是兩個連續(xù)的實變函數, 則方程組x=x(t), y=y(t), (atb)代表一條平面曲線, 稱為連續(xù)曲線. 如果令z(t)=x(t)+iy(t)則此曲線可用一個方程z=z(t) (atb)來代表. 這就是平面曲線的復數表示式.1.簡單曲線,簡單閉曲線 設C: z=z(t) (atb)為一條連續(xù)曲線, z(a)與z(b)分別為C的起點與終點. 對于滿足 at1b, at2b 的 t1與 t2, 當 t1t2而有 z(t1)=z(t2) 時, 點 z(t1)稱為曲線 C的重點. 沒有重點的連續(xù)曲線 C, 稱為簡單曲線或若爾當(Jardan)曲線

7、. 如果簡單曲線 C的起點與終點閉合, 即 z(a)=z(b) , 則曲線 C 稱為簡單閉曲線簡單閉曲線.)()(bzaz 簡單,閉)(az)(bz簡單,不閉)(az)(bz非簡單,不閉)()(bzaz 非簡單,閉2.光滑曲線,逐段光滑曲線的方程為設曲線C)(),()()(btatiytxtz 為光滑曲線。曲線連續(xù)且不全為零，則稱上，若在區(qū)間Ctytxa,b)( ),( 由幾段光滑曲線銜接而成的曲線稱為分段光滑曲線.同時為零，則假設)( ),( tytx不存在導數（斜率）)( )( txtydxdy 1.3.3 1.3.3 單連通區(qū)域單連通區(qū)域, ,多連通區(qū)域多連通區(qū)域為單連通區(qū)域；，則稱區(qū)域

8、的部分總屬于閉曲線，而曲線所圍成內任作一條簡單是平面上一區(qū)域，若在定義：設DDDD域）。多連通區(qū)域（復連通區(qū)不是單連通的區(qū)域稱為單連通域多連通域(一個整體)(帶有裂痕,漏洞)1.4 1.4 復變函數復變函數1.4.1復變函數的概念(實變函數在復數范圍內的推廣)是給定的復數集，設DwzDf復數 ).(Dzfwf 上的復變函數，記作為定義在則稱單值函數,多值函數5例3zw 定義在整個復平面上的多值函數zw arg 定義在除原點外整個復平面上的單值函數上的復變函數是定義在設Dzfw)( ivuwiyxz ,來確定的取值由則yxvu, ),(),(yxvvyxuu),(),()(yxivyxuzfw

9、)(zfw 復變函數一一對應 ),(),(yxvvyxuu二元實變函數對6例2zw 考察函數ivuwiyxz ,令則xyiyxiyxivu2222 )(對所對應的二元實變函數函數)(zfw xyvyxu222 ,7例兩類常見的復變函數nnzazazaazPn 2210)(次多項式函數為非負整數為復常數，其中，naaaaann)(,0210 )()(zQzP有理函數為多項式函數。其中，)(),(zQzP1.4.2 1.4.2 復變函數的幾何解釋復變函數的幾何解釋映照映照vuyxzfw,)(個變量涉及復變函數4 述函數的圖像。我們需要兩個平面去描平面。平面與稱為我們取兩個平面，分別wz,D)(0z

10、zfwz 內取一點的定義域平面上函數如果在 對應。平面上有相應的點在通過0wwzfw)( 與之對應。平面上有相應的點集時，取遍點集當GwDz幾何意義:）。之間的一種變換（映照點集平面上到平面上點集看作是復變函數GwDzzfw)( 平面z平面w0z0wDG)(zfw xyvu設函數 w = z2 = (x+iy)2 = x2y2+i2xy , 有 u = x2y2, v = 2xyxyOuvOz1z2w2z3w3w1123121ziziz 1231341wwiw Im0Re01zyzxz22Im201wxywuv1.5 1.5 初等函數初等函數介紹幾種常見的復變函數指數函數,對數函數,冪函數,三

11、角函數1.5.1 指數函數在復數范圍的推廣是實指數函數復指數函數xzee)(1的一些性質。保留許多實指數函數xe)(2xe實指數函數ze復指數函數xzeexz ,時當2121xxxxeee 2121zzzzeee xxedxde zzedzde ,iyxz 設iyxzee 則2121zzzzeee iyzxz 21,若iyxiyxzeeee iyiyeiydde )(iyz 若zzedzde iyiyieydde )()()(iyiyiedyddyed 22iyiyeedydi )(,)(iyeyg 設)()(ygygdyd 22滿足的微分方程得到 g(y)為常數BAyByAyg,sincos

12、)( 求得根據初始條件1000 eegi)(00sincosBA iiedydedydgyiyyiyy 000| )(|00cossinBA iBA , 1yiyeiysincos (歐拉公式)sin(cosyiyeeeeexiyxiyxz 復指數函數性質:xzee )(1),()(102 kkyeArgz21212zzzzeee )(zzedzde ikze23 )()sin()cos(kyikyex22 ze 為周期以周期性：ikez2振蕩電路系統(tǒng)應用電源sVwtVscos 電源交流電dtdILVIdtdVCRIVllccrr )Re(iwte此電路系統(tǒng)滿足疊加原則.電源電流)(tV1)(

13、tI1)(tV2)(tI2)()(tVtV21 )()(tItI21 )(tV復數形式)(tI)(RetV)(RetI當電路系統(tǒng)穩(wěn)定后,電路中的電壓,電流變化的頻率2w 最終與電源頻率相一致.為常數。流都具有形式各元件對應的電壓，電kkeiwt,對應的電流即可。只要計算電源iwteccIdtdVC 電容:ciwtcIdtekdC )(ccIiwCV 對應的等效電阻為iwCRc1 電感:dtdILVll lliwLIV 對應的等效電阻為iwLRl 整個電路的總電阻為:iwLiwCRiwCRReff 1ReseffiwtReI 要計算的電流：1.5.2 對數函數定義： :(0),wwez z若 滿

14、足,wuiv記：izreu ivuiviee erelnlnarg2uerurzvArgzzklnarg2wLnzzizklnarg2ln2zizi kzk i 多值性多值性lnlnargzziz-主值主值例如：iki2) 1arg(1ln) 1(Lnik) 12()(0 zzLnw則性質: 01201xzkixxzxzLn)(lnln)( 00 xzixxzxzlnlnlnikzeLnzezzLn22 ;)(證明:kizizikzizzLneeee22 arglnarglnziezarg z zzzeiArgeeLn ln)()ln(kyiex2 kizkiiyx22 21213zLnzLnzzLn )()(2121zLnzLnzzLn )(1.5.3 1.5.3 冪函數冪函數定義:zLnezw 為除去零以外的復數為復常數，其中，zxxxeelnln 為z的冪函數.性質：時，當n )arg(lnkiziznznLnneez2 zinnzinznezeeargargln 單值函數時，當n1 1arg21zkinnnnzzez.n值函數互為質數），時當nmn