二維形式的柯西不等式大全PowerPoint 演示文稿

1、.1.2設(shè)設(shè) 為任意實(shí)數(shù)為任意實(shí)數(shù). ., , ,a b c d()()2222abcd聯(lián)聯(lián) 想想.3思考解答思考解答變形變形你能簡(jiǎn)明地寫出這個(gè)定理的證明？你能簡(jiǎn)明地寫出這個(gè)定理的證明？.4二維形式的柯西不等式 定理1:(二維形式的柯西不等式) .,)()(,等號(hào)成立等號(hào)成立時(shí)時(shí)當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)則則都是實(shí)數(shù)都是實(shí)數(shù)若若bcadbdacdcbadcba22222 證明思路1：(代數(shù)證法)22222222222222)()()( )( :2bdacbcadbdaccbdadbcadcba證證明明 證明思路2：(構(gòu)造向量法).,),(),(兩兩邊邊平平方方后后得得證證利利用用則則設(shè)設(shè) bdacdcb

2、adcba2222什么時(shí)候“=”成立？.5 可以體會(huì)到，運(yùn)用柯西不等式，思路一步到可以體會(huì)到，運(yùn)用柯西不等式，思路一步到位，簡(jiǎn)潔明了！解答漂亮！位，簡(jiǎn)潔明了！解答漂亮！.6 另外由這兩個(gè)結(jié)論，你和以前學(xué)過(guò)的什么知識(shí)會(huì)有聯(lián)想.7容易得出等式根據(jù)二維形式的柯西不, 22222222dcbadcba |,|bdacbdac 2. |bdacdbca 2222|dcba 2222dcba:,以下不等式成立對(duì)于任何實(shí)數(shù)所以dcba, |bdacdcba 2222. |bdacdcba 2222?,.成立成立述不等式中的等號(hào)何時(shí)述不等式中的等號(hào)何時(shí)上上請(qǐng)同學(xué)考慮請(qǐng)同學(xué)考慮不等式不等式這也是兩個(gè)非常有用的這

3、也是兩個(gè)非常有用的.8三角不等式三角不等式.9111(,)P xy222(,)P xyO Oxy|-|12xx12|-|yy這個(gè)圖中有什么這個(gè)圖中有什么不等關(guān)系不等關(guān)系? ?O Oxy(,)111Pxy(,)222Pxy.10例例1分析分析 雖然可以作乘法展開上式的兩雖然可以作乘法展開上式的兩邊，然后在比較它們的大小。但如邊，然后在比較它們的大小。但如果注意到不等式的形式與柯西不等果注意到不等式的形式與柯西不等式的一致性，既可以避免繁雜了。式的一致性，既可以避免繁雜了。已知已知a,b為實(shí)數(shù)。為實(shí)數(shù)。試證試證(a4+b4)(a2+b2)(a3+b3).11證證 明明根據(jù)柯西不等式，有根據(jù)柯西不等

4、式，有(a4+b4)(a2+b2)(a2a+b2b)2=(a3+b3)2.12反思反思 在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，在證明不等式時(shí)，聯(lián)系經(jīng)典不等式，既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算既可以啟發(fā)證明思路，又可以簡(jiǎn)化運(yùn)算. .13 .,23322441babababa 證明證明為實(shí)數(shù)為實(shí)數(shù)已知已知例例.,雜的計(jì)算雜的計(jì)算就可以避免繁就可以避免繁式的一致性式的一致性形式與柯西不等形式與柯西不等不等式的不等式的注意到這個(gè)注意到這個(gè)但是如果但是如果它們它們?nèi)欢俦容^然而再比較開上式的兩邊開上式的兩邊法展法展可以作乘可以作乘雖然雖然分析分析 .,2332222244babbaababa 有根據(jù)柯西不等

5、式證明.,.,工具工具數(shù)學(xué)研究的有力數(shù)學(xué)研究的有力經(jīng)典不等式是經(jīng)典不等式是以以所所可以簡(jiǎn)化運(yùn)算可以簡(jiǎn)化運(yùn)算又又啟發(fā)證明思路啟發(fā)證明思路既可以既可以典不等式典不等式聯(lián)系經(jīng)聯(lián)系經(jīng)不等式時(shí)不等式時(shí)在證明在證明本例說(shuō)明本例說(shuō)明?,dcba中的中的式式別對(duì)應(yīng)柯西不等別對(duì)應(yīng)柯西不等個(gè)數(shù)分個(gè)數(shù)分中哪中哪例例41.141.354 6yxx求求函函數(shù)數(shù)的的最最大大值值. . 225 60.354 634565.yyxxxx 解解：函函數(shù)數(shù)定定義義域域?yàn)闉椋?，且且.15222.236,211.xyxy 已已知知求求證證 222236,1422311.23211.yxyxyxy證證明明：因因?yàn)闉?x2x所所以以因

6、因此此.16求特定函數(shù)的極值問(wèn)題求特定函數(shù)的極值問(wèn)題.17.18.19.20.21補(bǔ)充例題補(bǔ)充例題:.1,yb, 1的最小值的最小值求求且且已知已知例例yxxaRbayx 2min22222)()(.,)( )()(,1, :bayxbayxxayybxbaybxayxyxybxaRbayx 時(shí)時(shí)取取等等號(hào)號(hào)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)解解.22變式引申變式引申:.,94, 13222并并求求最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)的的最最小小值值求求若若yxyx )61,41(,2194614113232.32, 1312.2194, 1)32()11)(94(:222222222最最小小值值點(diǎn)點(diǎn)為為的的最最小小值值為為得

7、得由由時(shí)時(shí)取取等等號(hào)號(hào)即即當(dāng)當(dāng)且且僅僅當(dāng)當(dāng)由由柯柯西西不不等等式式解解yxyxyxyxyxyxyxyxyx .23課堂練習(xí)課堂練習(xí).24.25用柯西不等式證明不等式用柯西不等式證明不等式.26.27.28.29 探究點(diǎn)探究點(diǎn)4含參變量的柯西不等式的應(yīng)用含參變量的柯西不等式的應(yīng)用 【思路思路】 分離變量，再考慮如何運(yùn)用柯西不等式分離變量，再考慮如何運(yùn)用柯西不等式.30.31求函數(shù)求函數(shù) 的最大值的最大值 51102yxx 例例1.22231,49,.xyxy若求的最小值 并求最小值點(diǎn)引：引：的最大值求滿足設(shè)實(shí)數(shù)zyxSzyxzyx32, 332,222例例2.32.33.34 探究點(diǎn)探究點(diǎn)2用柯

8、西不等式證明不等式用柯西不等式證明不等式 【思路思路】利用常數(shù)利用常數(shù)“1”的代換，結(jié)合三元的均值不等的代換，結(jié)合三元的均值不等式或柯西不等式求解式或柯西不等式求解.35.36 5,5. 10,10.102 ,102. 52 ,52-A.) (,10,. 122 DCBbabaRba的的取取值值范范圍圍是是則則且且若若補(bǔ)充練習(xí)補(bǔ)充練習(xí)2536. 3625. 56. 65A.) (32, 1. 222DCByxyx的的最最小小值值是是那那么么已已知知 _1212. 3的的最最大大值值為為函函數(shù)數(shù) xxy_2, 623,. 422值值是是的的最最大大則則滿滿足足設(shè)設(shè)實(shí)實(shí)數(shù)數(shù)yxPyxyx _)1()1(, 1. 522的的最最小小值值是是則則若若bbaaba AB311225.37例例4.4.ABC之三邊長(zhǎng)為之三邊長(zhǎng)為4，5，6，P為三角形為三角形內(nèi)部一點(diǎn)內(nèi)部一點(diǎn)P，P到三邊的距離分別為到三邊的距離分別為x，y，z，求求x2+y2+z2的最小值。的最小值。 4 5 6 x y z D F E A B C P.382152654s解： ABC面積面