全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題集錦答案

1、2014全國(guó)各地中考數(shù)學(xué)壓軸題集錦答案(一)1.(北京模擬)已知拋物線 y= x2+ 2x+ m-2與y軸交于點(diǎn)A (0, 2m-7),與直線y= 2x 交于點(diǎn)B、C (B在C的右側(cè)).(1) 求拋物線的解析式；(2) 設(shè)拋物線的頂點(diǎn)為 E,在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)F,使得/ BFE =Z CFE，若 存在，求出點(diǎn)F的坐標(biāo)，若不存在，說明理由；(3) 動(dòng)點(diǎn)P、Q同時(shí)從原點(diǎn)出發(fā)，分別以每秒5個(gè)單位長(zhǎng)度、每秒 2 5個(gè)單位長(zhǎng)度的速 度沿射線OC運(yùn)動(dòng)，以PQ為斜邊在直線BC的上方作直角三角形 PMQ (直角邊分別平行于 坐標(biāo)軸)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒.若 PMQ與拋物線y=-x2 + 2x+ m-

2、2有公共點(diǎn)，求t的取值 范圍.解：(1)把點(diǎn) A (0, 2m-7)代入 y= -x2 + 2x+ m-2,得 m= 5 拋物線的解析式為 y= x2 + 2x+ 3y= x2+ 2x + 3X1 =(2 )由解得y= 2xy1= 23 B (羽,2羽),C (-羽，-2羽)/y = -x2+2x+ 3 = -( x- 1)2 + 4拋物線的對(duì)稱軸為 x= 1 設(shè) F (1, y) / BFE = Z CFE , tan/BFE = tan / CFE3 -1.3+ 1x2= , 3 y2= - 2,3當(dāng)占=1 八、解得當(dāng)占=1 八、F在點(diǎn)B上方時(shí)，=y-23y+23y= 6,.F (1, 6

3、)F在點(diǎn)B下方時(shí)，- =-23y-y-23解得y= 6 (舍去)滿足條件的點(diǎn) F的坐標(biāo)是F (1 , 6)(3)由題意，OP= 5t, OQ = 2.5t,.PQ= . 5t/ P、Q在直線直線 y= 2x上設(shè) P (x, 2x),貝U Q ( 2x, 4x) ( x v 0)x2+ 4x2= ,5t,. x= -1 P (-1, - 2t) , Q (-2t , - 4t) M ( - 2t , - 2t)當(dāng)M ( 2t , - 2t)在拋物線上時(shí)，有 2t= - 4t2-4t + 3解得t=131 (舍去負(fù)值)4當(dāng)P ( -1, -2t)在拋物線上時(shí)，有 2t =-12-2t+ 3 解得t

4、= , 3 (舍去負(fù)值) t的取值范圍是： 斗 < t < 32.(北京模擬)在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yi = ax2 + 3x+ c經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn) A (1, 2),與x軸相交于另一點(diǎn)B.(1 )求拋物線yi的解析式及B點(diǎn)坐標(biāo)；(2) 若將拋物線y1以x= 3為對(duì)稱軸向右翻折后，得到一條新的拋物線y2,已知拋物線y2與x軸交于兩點(diǎn)，其中右邊的交點(diǎn)為C點(diǎn).動(dòng)點(diǎn)P從0點(diǎn)出發(fā)，沿線段 0C向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，過P點(diǎn)作x軸的垂線，交直線 0A于D點(diǎn)，以PD為邊在PD的右側(cè)作正方形 PDEF . 當(dāng)點(diǎn)E落在拋物線y1上時(shí)，求0P的長(zhǎng)； 若點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)速度為每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度，同時(shí)線段 0C上另一點(diǎn)Q從

5、C點(diǎn)出發(fā)向0點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度，當(dāng) Q點(diǎn)到達(dá)0點(diǎn)時(shí)P、Q兩點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)過 Q點(diǎn)作x軸的 垂線，與直線 AC交于G點(diǎn)，以QG為邊在QG的左側(cè)作正方形 QGMN .當(dāng)這兩個(gè)正方形分別有一條邊恰好落在同一條直線上時(shí)，求解：(1 )拋物線y1 = ax2+ 3x+ c經(jīng)過原點(diǎn)及點(diǎn) A (1, 2)c= 2a = - 1-解得a+3+c= 2c= 0拋物線y1的解析式為y1= - x2+3x2令 y1 = 0,得-x + 3x = 0,解得 X1= 0, x2= 3 B (3, 0)(2 由題意，可得 C (6, 0)過A作AH丄x軸于H，設(shè)OP = a可得 ODPOAH , =牢=2OP O

6、H DP = 2OP=2a正方形 PDEF , E (3a, 2a) E (3a, 2a)在拋物線 屮=-x2 + 3x上27- 2a = -9a +9a,解得 a1= 0 (舍去)，a2= 9OP的長(zhǎng)為£設(shè)直線AC的解析式為y = kx+ b2 = k+ b0 = 6k+ b212解得k=匚，b =552 12直線AC的解析式為y=-學(xué)x +554 由題意，0P= t, PF = 2t, QC = 2t, GQ = t5當(dāng)EF與MN重合時(shí)，則OF + CN = 643t + 2t+ t = 6,30 t= 29當(dāng)EF與GQ重合時(shí)，則 OF + QC = 63t+2t=6，t=5當(dāng)D

7、P與MN重合時(shí)，則 OP + CN= 63019當(dāng)DP與GQ重合時(shí)，則OP+ CQ = 6 t + 2t = 6,. t= 23.(北京模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y= ax2 + bx+ 4 經(jīng)過 A ( 3, 0)、(4, 0)兩點(diǎn)，且與 y軸交于點(diǎn) C,點(diǎn)D在x軸的負(fù)半軸上，且 BD = BC.動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)出發(fā)，沿線段 AB以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的速度向點(diǎn) B移動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)C出發(fā)，沿線段CA以某一速度向點(diǎn) A移動(dòng).(1 )求該拋物線的解析式；(2) 若經(jīng)過t秒的移動(dòng)，線段 PQ被CD垂直平分，求此時(shí)t的值；(3) 該拋物線的對(duì)稱軸上是否存在一點(diǎn)M，使MQ +MA的值最??？若存

8、在，求出點(diǎn) M的 坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1 )拋物線y= ax2+ bx+ 4 經(jīng)過 A ( 3, 0)、B (4, 0)兩點(diǎn)9a3b+ 4= 016a + 4b + 4= 01 1解得 a = , b=所求拋物線的解析式為 y= - *x2 +43 3(2)連接DQ,依題意知 AP = t、 1 2 1拋物線y=-+ §x+ 4與y軸交于點(diǎn)C二 C (0, 4)又 A ( -3, 0, B (4, 0)可得 AC= 5, BC = 4 2, AB = 7/ BD = BC,. AD = AB BD = 7-4 2/ CD 垂直平分 PQ,. QD = DP,/ CDQ

9、= Z CDP / BD = BC,.Z DCB = / CDBZ CDQ = / DCB , DQ / BCAD _ DQAB = BC AD DP7-4 返 DPAB = BC，廣=4.2 解得 DP = 4 2 - 32 , AP = AD + DP = y線段PQ被CD垂直平分時(shí),17 t的值為-7(3)設(shè)拋物線y= - 3x2 + 3x+ 4的對(duì)稱軸x= 2與x軸交于點(diǎn)E3 32-由于點(diǎn)A、B關(guān)于對(duì)稱軸x= 對(duì)稱，連接BQ交對(duì)稱軸于點(diǎn) M則 MQ +MA = MQ + MB，即 MQ + MA = BQ當(dāng)BQ丄AC時(shí)，BQ最小，此時(shí)Z EBM = / ACO3 tan Z EBM =

10、 tanZ ACO =44，解得 ME = 211M (2，.在拋物線的對(duì)稱軸上存在一點(diǎn)M (7；, 21)，使得MQ + MA的值最小4.(北京模擬)如圖，在 Rt ABC中，Z C= 90° AC = 6, BC = 8動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)， 沿ACT CBt BA邊運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)P在AC、CB、BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒 3、4、5個(gè)單位.直 線I從與AC重合的位置開始，以每秒 彳個(gè)單位的速度沿 CB方向移動(dòng)，移動(dòng)過程中保持 I / AC,且分別與CB、AB邊交于點(diǎn)E、F .點(diǎn)P與直線I同時(shí)出發(fā)，設(shè)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 t秒， 當(dāng)點(diǎn)P第一次回到點(diǎn) A時(shí)，點(diǎn)P和直線I同時(shí)停止運(yùn)動(dòng).(1 )當(dāng)t=

11、秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)E重合；當(dāng)t =秒時(shí)，點(diǎn)P與點(diǎn)F重合；(2) 當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，將 PEF繞點(diǎn)E逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使得點(diǎn) P的對(duì)應(yīng)點(diǎn)P'落在 EF上，點(diǎn)F的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為F',當(dāng)EF丄AB時(shí)，求t的值；(3) 作點(diǎn)P關(guān)于直線EF的對(duì)稱點(diǎn)Q,在運(yùn)動(dòng)過程中，若形成的四邊形PEQF為菱形，求t的值；(4) 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，設(shè) PEF的面積為S,直接寫出S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式及 S的最 大值.解：(1)3;B提示：在 Rt ABC 中，/ C = 90° AC= 6, BC = 8備用圖I 2 2AC 3BC AB =6 + 8= 10，二 sinB= - , cosB =*AB 5

12、AB當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)E重合時(shí)，點(diǎn) P在CB邊上，CP = CE AC = 6，點(diǎn)P在AC、CB邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為 2秒，CP= 4( t-2)4 4CE =亍， 4( t-2) = ，解得 t= 3當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)F重合時(shí)，點(diǎn) P在BA邊上，BP= BF4AC 33、4、5個(gè)單位 AC = 6, BC= 8,點(diǎn)P在AC、CB、BA邊上運(yùn)動(dòng)的速度分別為每秒點(diǎn)P在AC、CB邊上運(yùn)動(dòng)的時(shí)間共為 4秒，BF = BP= 5( t-4)CE = 4 *t , BE= 8 - ft在 Rt BEF 中，= cosB BF45( t-4)4，解得t =(2)由題意，/ PEF = Z M

13、EN/ EF / AC，Z C = 90° / BEF = 90° Z CPE = Z PEF/ EN 丄AB，.Z B= Z MEN Z CPE = Z B， tanZ CPE= tanBtan Z CPE = CP，tanB=ACBC CECP4， CP = |ce4 AP = 3t (Ov t v 2)，CE= t， CP= 6-3t 當(dāng)點(diǎn)P在AC邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)易知四邊形POEC為矩形， OE = PC1 pc = 1ef2443/ ° 4TCE = 3t, BE= 8 -t, EF = BE，tanB= -( 8- §t) = 6-11 6- 6 3

14、t= ( 6-1)，解得 t =2 5 當(dāng)點(diǎn)P在CB邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，P、E、Q三點(diǎn)共線，不存在四邊形 當(dāng)點(diǎn)P在BA邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，則點(diǎn) P在點(diǎn)B、F之間4BE 5,c 45B520 BP = 5(t- 4) , PF = BF- BP= 10- |t- 5(t- 4) = 30-號(hào) t33/ POF = Z BEF = 90° PO / BE,：/ OPF = Z B在 Rt POF 中,OFPF=si nB12(6 -1)2030 - 3t5，解得30B BE = 8 -彳， BF = oSB = ?8 - 3t)= 10-3t當(dāng)t= 6或t= 3時(shí)，四邊形pEQF為菱形-ft2 + 4t

15、 ( 0W t W 2)34 2t2- 12t + 24 ( 2V t W 3)3(4) S=- 312+ 12t- 24 (3V t W 4)3t2 -28t+ 72 ( 4V t W)38 2-3t2 + 28t-72(V tW 6)S的最大值為5.(北京模擬)在等腰梯形 ABCD中，AB / CD , AB= 10, CD = 6, AD= BC = 4 點(diǎn)P從 點(diǎn)B出發(fā)，沿線段BA向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，速度為每秒 2個(gè)單位，過點(diǎn) P作直線BC的垂線 PE，垂足為E.設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒).(1 )Z A=:；(2) 將厶PBE沿直線PE翻折，得到 PB'E，記 PB'E

16、與梯形ABCD重疊部分的面積為 S, 求S與t之間的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值；(3) 在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在以點(diǎn)D、P、B '為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形或等腰三 角形？若存在，求出t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.解：(1) 60°(2) / A = / B= 60° PB= PB' pb'b是等邊三角形PB = PB = BB = 2t, BE = B E= t, PE = 3t當(dāng)0 v t < 2時(shí), i ，i 廠 V3 2S= Spb e = 2 B E PE= 2 t , 3t=當(dāng)2v t < 4時(shí)S= SPB E - SF

17、B C = _23t2- -43( 2t-4)2= - -2 t2 + 4 3t- 4 3當(dāng)4 v t < 5時(shí)設(shè)PB、PE分別交 DC于點(diǎn)G、H，作GK丄PH于K/ PB B 是等邊三角形，/ B PB = 60°=/ A PG / AD，又 DG / AP四邊形APGD是平行四邊形 PG = AD = 4/ AB / CD , / GHP = / BPH1/ GPH = / BPH = -/ B PB= 30° 2 / GHP = / GPH = 30°, PG = GH = 41 GK = PG = 2, PK = KH = PG cos30°

18、;= 2 3 ph = 2PK = 4 31 1 S= SPGH = 2PH GK = 2X4 ,3x 2= 4 3綜上得，S與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：于t2 (0v t< 2)S- -t2 + 4 3t-4 3( 2 v t< 4)4 .3 ( 4v t W 5)(3) 若/ DPB '= 90°/ B PB= 60°, / DPA= 30°又/ A= 60° / ADP = 90° AP = 2AD, 10-2t= 8,. t = 1備用圖P若/ PDB = 90°作DM丄AB于M , DN丄BB于N則 AM =

19、 2, DM = 2 3, NC = 3, DN = 3 3PM = | 10-2-2t| = | 8-2t|NB = | 3+4 2t| = |7-2t|DP2= DM 2+ PM2= ( 2 3)2 + ( 8-2t)2= ( 8-2t) 2 + 12DB ,2= DN2 + NB = (3 3)2 + (7 - 2t)2= ( 7-2t) 2 + 27/ DP2 + DB '2 = B P2( 8-2t)2 + 12+ ( 7-2t)2 + 27= ( 2t)2解得 t, = 15+2 73 > 5 (舍去)，t2= 15-2 73若/ DB P= 90° 貝U

20、DB，2 + B 'P2= DP2( 7 - 2t)2 + 27+ ( 2t)2= (8 - 2t)2 + 12解得t1 = - 1 (舍去)，t2= 0 (舍去)存在以點(diǎn)D、P、B '為頂點(diǎn)的三角形為直角三角形，此時(shí) 若 DP = B 'P,則(8-2t)2 + 12= ( 2t)219解得t= 19若 B D = B 'P,則(7-2t)2 + 27= ( 2t)21或t=叮319解得t=號(hào)若 DP = DB '，則(8- 2t)2 + 12= ( 7- 2t) 2 + 27解得t= 0 （舍去）pB存在以點(diǎn)D、p、B為頂點(diǎn)的三角形為等腰三角形，此時(shí)

21、 t= 或t = 7 a6.（北京模擬）已知二次函數(shù)y=-mx2 + 3mx-2的圖象與x軸交于點(diǎn)A（ 2衍,0）、點(diǎn)B, 與y軸交于點(diǎn)C.（1、求點(diǎn)B坐標(biāo)；（2、點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)以每秒1個(gè)單位的速度沿線段 CO向O點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，到達(dá)點(diǎn) O后停止運(yùn) 動(dòng)，過點(diǎn)P作PQ/ AC交OA于點(diǎn)Q,將四邊形PQAC沿PQ翻折，得到四邊形 PQA C 設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t. 當(dāng)t為何值時(shí)，點(diǎn) A'恰好落在二次函數(shù) y= - fmx2 + 3mx- 2圖象的對(duì)稱軸上； 設(shè)四邊形PQA C '落在第一象限內(nèi)的圖形面積為S,求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并求出 S的最大值.解：(1、將 A (2 ,3, 0、代

22、入 y=-fmx2 + 3mx-2 得 0= - fmx ( 2 .3)2 + 3m x 2 . 3- 2，解得 口二呼12令 y= 0，得$x + . 3x 2 = 0,解得：xi= 3, X2= 2 3 B ( 3, 0)(2)由 y= -x2 + ,3x 2，令 x= 0，得 y = 2 C (0, 2)12 庁 c1 /3 廠 21-y = + ,3x-2=-( x 23) + 43二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為直線x= 2 , 3過A'作A H丄OA于H在 Rt AOC 中，T OC = 2, OA = 2 3/ OAC = 30° / OCA = 60°:丄 P

23、QA = 150° / A QH = 60° AQ= A Q= 2QHT點(diǎn)A'在二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸上3OQ + QH= 2 , 3. 3 2 解得QH =才OQ + 2QH = 2,3 AQ =3, CP= 1 -1 = 1分兩種情況：i)當(dāng)0vtw 1時(shí)，四邊形PQA C '落在第一象限內(nèi)的圖形為等腰三角形DQ = A Q = 3tA'H = AQ sin60 = V3t二=3t2 2t屮24 t,1 e 3S= SA DQ = 2 3t qt =當(dāng)0v t w i時(shí)，S隨t的增大而增大 當(dāng)t= i時(shí)，S有最大值屯嚴(yán)4qaDii)當(dāng)1 v t v

24、 2時(shí)，四邊形PQAC '落在第一象限內(nèi)的圖形為四邊形EOQAS 四邊形 EOQA '= S 梯形 PQA C ' S OPQ S PC E =2 3 23(2 t)2于(2 t)2責(zé) =瀘 + 4 3t 23 一+ 4 3t-2 3 =-竽(t J)2445且1v 8 v 2,.當(dāng)t= 8時(shí)，S有最大值5 5誓 3,A S的最大值是罟5 457.（北京模擬）已知梯形 ABCD中，AD / BC,/ A= 120 ° E 是2 2AB的中點(diǎn)，過 E點(diǎn)作射線EF / BC,交CD于點(diǎn)G, AB、AD的長(zhǎng)恰好是方程 x -4x+ a + 2a+ 5 = 0的兩個(gè)相

25、等實(shí)數(shù)根，動(dòng)點(diǎn) P、Q分別從點(diǎn)A、E出發(fā)，點(diǎn)P以每秒1個(gè)單位長(zhǎng)度的 速度沿AB由A向B運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 EF由E向F運(yùn)動(dòng)，設(shè)點(diǎn)P、 Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t (秒).(1) 求線段AB、AD的長(zhǎng)；(2) 當(dāng)t > 1時(shí)，求 DPQ的面積S與時(shí)間t之間的函數(shù)關(guān)系式；(3) 是否存在厶DPQ是直角三角形的情況，如果存在，求出時(shí)間t;如果不存在，請(qǐng)說明 理由.解：(1)由題意， = 42-4( a2+ 2a+ 5) = -4( a + 1) 2= 0 a = 1原方程可化為x2 4 + 4 = 0,解得 X1 = x2= 2AB = AD = 2PM丄DA交DA的延長(zhǎng)線于M(2)作

26、AH丄BC于H，交EG于O, DK丄EF于K ,/ AD / BC,/ A= 120° AB= AD = 2:丄 B= 60° AH = 3B HC/ E 是 AB 中點(diǎn)，且 EF / BC,. AO = DK =/ AP = t, PM = £2T t > 1,.點(diǎn)P在點(diǎn)E下方延長(zhǎng)FE交PM于S,設(shè)DP與EF交于點(diǎn)N則ps=界-2/ AD / BC, EF / BC,. EF / ADENPEENt-1AD=PA , 2=tEN =2( t- 1) "t，2( t- 1)QN= 2t-t S= 2(2t-嚀)(竊中 + /)=許-* +子即S=寧

27、t2-于t +寧(t > 1)1 1(3)由題意，AM = t,. DM = 2 + t DP2= DM 2+ PM 2= ( 2 + 2"t)2 + (屮)t2 + 2t+ 4又 DQ2= DK2+ KQ2=(于)2 + (2t- 2 - 2)2 = 4t2- 10t+ 7PQ2= PS2 + SQ2=(爭(zhēng)寧)2 + ( 2t+ 羅)2= 7t2-4t + 1 若/ PDQ = 90° 貝U DP 2+ DQ2= PQ2 t2+2t+4 + 4t2 10t + 7 = 7t2 4t + 1解得t= 6 1 （舍去負(fù)值） 若/ DPQ = 90° 貝U PD

28、2+ PQ2= DQ2 t2+2t+4 + 7t2 4t+ 1= 4t2 10t + 7解得t=厚1 （舍去負(fù)值） 若/ DQP = 90° 貝U DQ2 + PQ2= PD2 4t2 10t + 7+ 7t24t+ 1 = t2 + 2t + 4解得t= 4±r5綜上所述，存在 DPQ是直角三角形的情況，此時(shí)t= 6 1, t=¥ 1, t = 4±-6&(天津模擬)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，直y=- x+ 4 2交x軸于點(diǎn)A，交y軸于點(diǎn)B 在 線段0A上有一動(dòng)點(diǎn)P,以每秒 2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度由點(diǎn) 0向點(diǎn)A勻速運(yùn)動(dòng)，以0P為邊 作正方形OPQM

29、交y軸于點(diǎn)M ,連接QA和QB,并從QA和QB的中點(diǎn)C和D向AB作垂 線，垂足分別為點(diǎn) F和點(diǎn)E.設(shè)P點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為t秒，四邊形 CDEF的面積為S1,正方 形OPQM與四邊形CDEF重疊部分的面積為 S2.(1 )直接寫出A點(diǎn)和B點(diǎn)坐標(biāo)及t的取值范圍；(2) 當(dāng)t= 1時(shí)，求0的值；(3) 試求S2與t的函數(shù)關(guān)系式(4) 直接寫出在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過程中，點(diǎn)C和點(diǎn)D所走過的路程之和.解：（1） A （4 述,0）、B （ 0, 4羽），0W t < 4（2 ）過Q作QH丄AB于H/ C、D分別是QA和QB的中點(diǎn)1 1 CD / AB, CD = |aB=扌x4 2x 2= 4/ CF 丄AB,

30、 DE 丄 AB, CF / DE四邊形CDEF是平行四邊形又 CF丄AB，四邊形 CDEF是矩形/ CF 丄AB, QH 丄 AB, CF / QH1又T C是QA中點(diǎn)， CF = QH連接OQ正方形 OPQM， / 1= Z 2, OP = PQ = QM = MO/ OA = OB , PA = MB Rt QPA也Rt QMB , QA= QB,Z PQA = Z MQB/ QH 丄 AB，：丄 3 = Z 4:丄 1+Z MQB + Z 3 = 180° a 0、Q、H 三點(diǎn)共線 QH = OH OQ t = 1,點(diǎn)p的運(yùn)動(dòng)速度為每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度 OP = 2,a OQ =

31、 2又 OA= 4 2,a OH = 4 QH = OH OQ = 4 2= 2,a CF = 1-Si = CD CF = 4 x 1 = 4(3)當(dāng)點(diǎn)Q落在AB上時(shí)，OQ丄AB, QOA是等腰直角三角形 t = 2 2- 2= 2當(dāng) OW t W 2 時(shí)，S2= 0當(dāng)點(diǎn)E落在QM上，點(diǎn)F落在PQ上時(shí)， CFK和厶DEG都是等腰直角三角形過C作CT丄PQ于T則 CT = 1ap = |(4 2 2t)=于(4 t) CF = 2CT = 4 t連接OQ,分別交AB、CD于N、R則 ON= -22OA =4 2= 4/ OP = ,2t, OQ = 2t,A QN = 2t 41CF = gQ

32、N = t 2 4 1= t 2,a t = 3當(dāng)2v t W 3時(shí)，重疊部分為等腰梯形 GHIK QGK和厶QHI都是等腰直角三角形/ QN = 2t 4, RN= CF = t 2, QR= t 2 GK = 2QR= 2t4, HI = 2QN = 4t 81 1 S2= 2 GK + HI ) RN= 2(2t-4 + 4t 8)( t 2) = 3( t 2)當(dāng)3V t W 4時(shí)，重疊部分為六邊形GHEFIK易知 Rt CIK 也 Rt DHG , GH = KI = 2CT= , 2( 4t) S2= S矩形 cdef 2Sacik = CD CF KI CT=4( t 2) ,2

33、(4t)令(綜上得S2關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為：4 t) = t2+ 12t 24S2 =0 (0 W t W 2)3( t 2)2 (2V tW 3)t2 + 12t 24 (3V tW 4)(4)提示:點(diǎn)C和點(diǎn)D走過的路程分別為以 OP為邊的正方形的對(duì)角線的一半89.(上海模擬)如圖，正方形 ABCD中，AB = 5,點(diǎn)E是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，CE = BC,連 接BD 動(dòng)點(diǎn)M從B出發(fā)，以每秒 2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 BD向D運(yùn)動(dòng)；動(dòng)點(diǎn)N從E出發(fā), 以每秒2個(gè)單位長(zhǎng)度的速度沿 EB向B運(yùn)動(dòng)，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)后另一點(diǎn) 也停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒，過M作BD的垂線MP交BE于P .

34、(1 )當(dāng)PN= 2時(shí)，求運(yùn)動(dòng)時(shí)間t;(2) 是否存在這樣的 匚使厶MPN為等腰三角形？若存在，求出 t的值；若不存在，請(qǐng)說 明理由；(3) 設(shè)厶MPN與厶BCD重疊部分的面積為 S,直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式和函數(shù)的定義 域.解：(1 )正方形 ABCD ,/ DBC = 45 / MP丄DB , BMP是等腰直角三角形/ BM = 2t,. BP = 2BM = 2t又 PN= 2, NE = 2t當(dāng) Ov t v時(shí)，BP + PN + NE = BE 2t + 2 + 2t = 10,. t = 2當(dāng) v t v 5 時(shí)，BP PN + NE = BE 2t 2 + 2t = 10,.

35、t = 3(2)過 M作MH丄BC于H則厶 NQCs nmh ,QC _ MHCN = HN2QCt5t 2t5 2t = 10 t 2t 3 io 3t令 QC y,貝U y=5t-2t210 3t整理得 2t2 ( 3y + 5)t+ 10y 0 t 為實(shí)數(shù)， (3y+ 5) 2 4x 2x10y >0即 9y2 50y + 25 > 0，解得 y > 5 (舍去)或 y < 5線段QC長(zhǎng)度的最大值為£(3 )當(dāng) 0v t v 時(shí) / MPN / DBC + / BMP 45° + 90°= 135 / MPN 為鈍角， MN >

36、 MP , MN > PN 若 PM PN,貝U ,2t 10 4t解得 t 7( 4 2)BN C P/ MNP >Z MBP = Z MPB,. MP > MN 若 MN = PN,則Z PMN = Z MPN = 45°Z MNP = 90°,即 MN 丄 BP BN = NP, BP= 2BN10 2t = 2( 10-2t)，解得 t =3若 PM = PN/ PN = BP-BN = BP-( BE NE) = BP+ NE BE5 2t= 2t+ 2t 10,解得 t = 7( 4 + 2)5105當(dāng) t= 7( 4 2) , t= -3-

37、, t= -(4 + .2)時(shí)， MPN 為等腰三角形8t3- 50t2 + 75t20 6t(0 v t v)5t 25(V tv 5)ADB N C P10. (重慶模擬)如圖，已知 ABC是等邊三角形，點(diǎn) O是AC的中點(diǎn)，OB = 12,動(dòng)點(diǎn)P 在線段AB上從點(diǎn)A向點(diǎn)B以每秒.3個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒.以點(diǎn)P為頂 點(diǎn)，作等邊厶PMN，點(diǎn)M , N在直線OB上，取OB的中點(diǎn)D，以O(shè)D為邊在 AOB內(nèi)部作 如圖所示的矩形 ODEF，點(diǎn)E在線段AB 上.(1) 求當(dāng)?shù)冗呟蘌MN的頂點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到與點(diǎn)O重合時(shí)t的值；(2) 求等邊 PMN的邊長(zhǎng)(用含t的代數(shù)式表示)；(3) 設(shè)等邊 P

38、MN和矩形ODEF重疊部分的面積為 S,請(qǐng)直接寫出S與t的函數(shù)關(guān)系式及 自變量t的取值范圍；(4) 點(diǎn)P在運(yùn)動(dòng)過程中，是否存在點(diǎn)M，使得 EFM是等腰三角形？若存在，求出對(duì)應(yīng)的t的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.CAC解：(1)當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)O重合時(shí) ABC、 PMN是等邊三角形， O為AC中點(diǎn) Z AOP = 30°, Z APO = 90°/ OB = 12,二 AO= 4 ,3= 2AP= 2 . 3tA解得t= 21當(dāng)t= 2時(shí)，點(diǎn)M與點(diǎn)0重合(2) 由題設(shè)知/ ABM = 30° AB = 8/3, AP=J3t PB = 8 3- 3t, PM = PB tan

39、30 = 8-1 即等邊 PMN的邊長(zhǎng)為8-12 ,3t + 6 ,3 (OW t w 1)2 3t2+ 6 3t + 4 3 (1 V t W 2)(3) S= #2 +10 3 (2 V t w 4)C2 3t2 20 3t + 50 3 ( 4V t W 5)0 (5Vtw 8)提示: 當(dāng)0W t w 1時(shí)，PM經(jīng)過線段AF設(shè)PM交AF于點(diǎn)J, PN交EF于點(diǎn)G,則重疊部分為直角梯形 FONG/ AP = 3t, AJ= 2 3t, JO = 4 3 2 3tMO = 4 2t, ON = 8t ( 4 2t) = 4 + t作GH丄ON于H則 GH = FO = 2 3, HN = 2

40、, FG = OH = 4 +1 2 = 2 +11 - S= S 梯形 FONG = 2( FG + ON) FO1=2( 2 + t +4+1) 2 3 = 2,3t + 6 3C 當(dāng)1V t w 2時(shí)，PM經(jīng)過線段FO設(shè)PM交EF于點(diǎn)I，則重疊部分為五邊形IJONGFJ= AJ AF = 2 ,3t 2 .3, FI = 2t 21 - S= S 梯形 fong Safij = 2y 3t + 6呂3 ( 23t 2，3)( 2t 2) =2 . 3t2+ 6 3t+ 4.3 當(dāng)2V t w 4時(shí)，PN經(jīng)過線段ED設(shè)PN交ED于點(diǎn)K，則重疊部分為五邊形IMDKG /AP = 3t, PE

41、= 4 .3 ,3tIG = GE = 4 t, EK = 4 .3 . 3t KD = 2 3 (4,3 3t) = . 3t 2 3, DN = t 2 - S= s 梯形 IMNG Sa KDN=1( 4 t + 8t) 2 3 1( ,3t 2 ,3)( t 2)=黃 + 10.3當(dāng)4V t w 5時(shí)，PM經(jīng)過線段ED 設(shè)PM交ED于點(diǎn)R,則重疊部分為 RMD /AP = 3t, EP= 3t 4 .3ER = 2EP= 2 ,3t 8 3 RD = 2 3 ( 2 3t 8 3) = 10 ,3 2 . 3tACACAMD = 10 2t S= Srmd = 2（ 10-2t）（ 1

42、0 3- 2 3t）=2 3t2-20 3t+ 50 3當(dāng)5v t w 8時(shí)，S= 0（4）T MN = BN = PN= 8-1, MB = 16- 2t 若FM = EM,貝U M為OD中點(diǎn)OM = 3/ OM + MB = OB , 3+ 16-2t= 12 -1 = 若 FM = FE = 6,貝y OM = 62- （23）2= 2 6 / OM + MB = OB , 2 6+ 16-2t = 12 -1 = 2+ 若EF = EM = 6,點(diǎn)M在OD或DB上則 DM =62- （23）2 = 2 6 DB + DM = MB 或者 DB - DM = MB 6 + 2 6 = 1

43、6-2t或 6-2 ,6= 16-2t -1 = 5 6或 t =6ACACC11. (浙江某校自主招生)如圖，正方形 OABC的頂點(diǎn)O在坐標(biāo)原點(diǎn)，且 OA邊和AB邊所3 425在直線的解析式分別為 y= x和y= - 4 x+ § .(1 )求正方形 OABC的邊長(zhǎng)；(2)現(xiàn)有動(dòng)點(diǎn)P、Q分別從C、A同時(shí)出發(fā)，點(diǎn)P沿線段CB向終點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)，速度為每秒1 個(gè)單位，點(diǎn)Q沿折線At Ot C向終點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，速度為每秒k個(gè)單位，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為2秒.當(dāng) k為何值時(shí)，將厶CPQ沿它的一邊翻折，使得翻折前后的兩個(gè)三角形組成的四邊形為菱形？(3 )若正方形以每秒 5個(gè)單位的速度沿射線 AO下滑，直至頂點(diǎn)B

44、落在x軸上時(shí)停止下滑.設(shè)3正方形在x軸下方部分的面積為 S,求S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出相應(yīng)自變量 t的取值范圍.綜上所述，當(dāng)t=、2 + .6、5- .6、5+ ,6時(shí)， MEF是等腰三角形3解：（1）聯(lián)立4 25y= - 3x+ yx= 4解得y= 3 A (4, 3), OA = j42+ 32 = 5正方形OABC的邊長(zhǎng)為5(2)要使 CPQ沿它的一邊翻折，翻折前后的兩個(gè)三角形組成的 四邊形為菱形，根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)，只需CPQ為等腰三角形即可當(dāng)t = 2秒時(shí)點(diǎn)P的速度為每秒1個(gè)單位， CP= 2分兩種情況：當(dāng)點(diǎn)Q在OA上時(shí)，T PQ > BA> PC ,只存在一點(diǎn)

45、 Q,使QC = QP1作 QN丄CP 于 N,貝U CN = -CP = OQ = 1BPQO4 - QA = 5 1= 4, k= 22當(dāng)點(diǎn)Q在OC上時(shí)，同理只存在一點(diǎn) Q,使CP= CQ = 28 OQ + OA = 10 2 = 8,. k= 42綜上所述，當(dāng)t = 2秒時(shí)，以所得的等腰三角形 CPQ沿底邊翻折,翻折后得到菱形的 k值為2或4(3)當(dāng)點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)O時(shí)，t= 3A當(dāng)Ov t w 3時(shí)，設(shè)O'C'交x軸于點(diǎn)D DO '= 4t則 tan/DOO '= 4，即 D°,=4， OO 5t3t S= J DO OO = 2 - ft

46、9;即=|ft2當(dāng)點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t=(5 x即寧| = 4當(dāng)3v t w 4時(shí)，設(shè)A B '交x軸于點(diǎn)E，_5,3 , 5t15TA O = 71 5,. A E=；A O=3 44-1， 一 1 5t 15550t 75 S= 2（A E+ 0 D） - A 0 =丁 + ；t） -5 = 505當(dāng)點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到x軸上時(shí)，t = (5 + 5x f)十3 = 7 當(dāng)4V t w 7時(shí)，設(shè)B C '交x軸于點(diǎn)F5t15/ a'e = B E= 5- 55435 5t4B F = |b E =35 5t3s= 52 235 5t435 5t325,2 175,625t

47、十t一241224綜上所述,S關(guān)于滑行時(shí)間t的函數(shù)關(guān)系式為:25 2 刃t(Ov tw 3)50t 758(3v tw 4)馬2十辺625241224(4 V t w 7)12. (浙江某校自主招生)如圖，正方形 ABCD的邊長(zhǎng)為8cm，動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)沿AB邊 以1cm/秒的速度向點(diǎn)B勻速移動(dòng)(點(diǎn)P不與點(diǎn)A、B重合)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)B出發(fā)沿折線BC CD以2cm/秒的速度勻速移動(dòng). 點(diǎn)P、Q同時(shí)出發(fā)，當(dāng)點(diǎn)P停止時(shí)，點(diǎn)Q也隨之停止.連 接AQ交BD于點(diǎn)E.設(shè)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t (秒).(1)當(dāng)點(diǎn)Q在線段BC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，點(diǎn) P出發(fā)多少時(shí)間后，/ BEP =Z BEQ ?(2 )設(shè)厶APE的面積為S (c

48、m2),求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出 t的取值范圍;(3)當(dāng)4v t V 8時(shí)，求 APE的面積為S的變化范圍.解(1) AP = xcm, BQ = 2xcm/ BEP = Z BEQ, BE = BE,/ PBE= Z QBE = 45 PBE QBE,： PB= BQ即 8 x = 2x,. x=3點(diǎn) P 出發(fā) 3秒后，Z BEP = / BEQ(2)當(dāng)Ov x w 4時(shí)，點(diǎn) Q在BC上，作 EN丄AB于N, EM丄BC于M/ AD / BC,AE _ ADEQ = BQ8 = 42x = x即 Ef=4, Aq=士盤=Af，- ne =野=光 S= 2aP - NE = 2x-2 2

49、8x4x2x十4BM QC4x2即 S 一- ( 0 v x W 4)x+ 4當(dāng)4v x v 8時(shí)，點(diǎn)Q在CD上，作QF丄AB于F，交BD于H則AQ =ADHQ8 _4_16-2x 8-x即AQ48-xAQ 8-x+412-x作EN丄AB于N ,則 F5=AQ3212-x S- Sp NE - S 鳥-込2212 - x 12-x16x即 S= 16x( 4v x v 8)(3)當(dāng)4v x v 8時(shí)，由S= 1ft，得12Sx 16 + S/ S > 0 , 16 + S> 0, a 4( 16 + S) v 12S v 8( 16+ S) 解得8v Sv 32 13.(浙江模擬)

50、如圖，菱形 ABCD的邊長(zhǎng)為6且/ DAB 60 °以點(diǎn)A為原點(diǎn)、邊 AB所 在直線為x軸且頂點(diǎn)D在第一象限建立平面直角坐標(biāo)系. 動(dòng)點(diǎn)P從點(diǎn)D出發(fā)沿折線D - C- B向終點(diǎn)B以每秒2個(gè)單位的速度運(yùn)動(dòng)，同時(shí)動(dòng)點(diǎn) Q從點(diǎn)A出發(fā)沿x軸負(fù)半軸以每秒1個(gè) 單位的速度運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn) P到達(dá)終點(diǎn)時(shí)停止運(yùn)動(dòng).設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t，直線PQ交邊AD于點(diǎn)E.(1 )求出經(jīng)過A、D、C三點(diǎn)的拋物線解析式；(2) 是否存在時(shí)刻t，使得PQ丄BD ?若存在，求出t值，若不存在，請(qǐng)說明理由；(3) 設(shè)AE長(zhǎng)為y,試求y與t之間的函數(shù)關(guān)系式；(4) 若F、G為DC邊上兩點(diǎn)，且點(diǎn) DF FG 1,試在對(duì)角線 DB上找一點(diǎn)

51、M、拋物線對(duì) 稱軸上找一點(diǎn)N，使得四邊形FMNG周長(zhǎng)最小并求出周長(zhǎng)最小值.GCDEQBx解：(1)由題意得：D ( 3, 3寸3)、C (9, 3質(zhì)) 設(shè)經(jīng)過A、D、C三點(diǎn)的拋物線解析式為 y ax2 + bx 把D、C兩點(diǎn)坐標(biāo)代入上式，得：GCDPEBxQ A9a+ 3b= 3 .381a + 9b= 3 3解得：a=-f, b =竽拋物線的解析式為：y= - fx2 +(2) 連接AC四邊形ABCD是菱形， AC丄BD若 PQ 丄 BD，貝U PQ/ AC當(dāng)點(diǎn)P在DC上時(shí)/ PC / AQ, PQ / AC ,四邊形 PQAC是平行四邊形 PC = AQ,即卩 6-2t = t, t =

52、2當(dāng)點(diǎn)P在CB上時(shí)，PQ與AC相交，此時(shí)不存在符合要求的(3) 當(dāng)點(diǎn)P在DC上，即卩OW t< 3時(shí)/ DP / AQ , DEPAEQ.DE DP 2t1 y = AQ = T = 2，y = 3AD = 2當(dāng)點(diǎn)P在CB上，即卩3v t w 6時(shí)/AE / BP,QEAs QPBS = QB，即y =丄12-2t = 6+112-2t y =TT綜上所述，y與t之間的函數(shù)關(guān)系式為：2(0W t w 3)y= 12-2t(3 v t W 6)6 -1作點(diǎn)F關(guān)于直線BD的對(duì)稱點(diǎn)F',由菱形對(duì)稱性知 F'在DA上，且DF = DF = 1G關(guān)于拋物線對(duì)稱軸的對(duì)稱點(diǎn) G',易求DG '= 4FG '交DB于點(diǎn)M、交對(duì)稱軸于點(diǎn) N，則點(diǎn)M、N即為.1，亞 ” 9HD = - , F 'H =無,HG = $(