北京四中中考數(shù)學(xué)專練總復(fù)習(xí)《二次函數(shù)》全章復(fù)習(xí)與鞏固—知識講解(基礎(chǔ))

1、學(xué)習(xí)必備歡迎下載二次函數(shù)全章復(fù)習(xí)與鞏固知識講解（基礎(chǔ)）【學(xué)習(xí)目標】1通過對實際問題情境的分析確定二次函數(shù)的表達式，并體會二次函數(shù)的意義；2會用描點法畫出二次函數(shù)的圖象，能從圖象上認識二次函數(shù)的性質(zhì)；3會根據(jù)公式確定圖象的頂點、開口方向和對稱軸( 公式不要求記憶和推導(dǎo)) ，并能解決簡單的實際問題；4會利用二次函數(shù)的圖象求一元二次方程的近似解.【知識網(wǎng)絡(luò)】【要點梳理】要點一、二次函數(shù)的定義一般地，如果是常數(shù)，那么叫做的二次函數(shù) .要點詮釋：如果 y=ax2 +bx+c(a,b,c 是常數(shù)， a0) ，那么數(shù)了，但 b、 c 可分別為零，也可以同時都為零要點二、二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)1. 二次函數(shù)由特

2、殊到一般，可分為以下幾種形式：y 叫做 x 的二次函數(shù)這里，當 a=0 時就不是二次函 a 的絕對值越 大，拋 物線的開口越小 .；，其中；. （以上式子a0）幾種特殊的二次函數(shù)的圖象特征如下：學(xué)習(xí)必備歡迎下載函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(軸 )(0，0)當時(軸 )(0， )開口向上(， 0)當時(， )開口向下()2. 拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點 .(1)的符號決定拋物線的開口方向：當時，開口向上；當時，開口向下；相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .(2)平行于軸 ( 或重合 ) 的直線記作. 特別地，軸記作直線.3. 拋物線 y ax 2bxc(a0) 中， a, b,

3、c 的作用：(1)決定開口方向及開口大小，這與中的完全一樣 .(2)和共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線的對稱軸是直線，故：時，對稱軸為軸；( 即、同號 ) 時，對稱軸在軸左側(cè)；( 即、異號 ) 時，對稱軸在軸右側(cè) .(3)的大小決定拋物線與軸交點的位置 .當時，拋物線與軸有且只有一個交點(0， )：，拋物線經(jīng)過原點；，與軸交于正半軸；，與軸交于負半軸 .以上三點中，當結(jié)論和條件互換時，仍成立. 如拋物線的對稱軸在軸右側(cè)，則.4. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：(1)一般式：（a0） . 已知圖象上三點或三對、的值，通常選擇一般式 .(2)頂點式：（a0） . 已知圖象的頂點或?qū)ΨQ軸，

4、通常選擇頂點式 .( 可以看成的圖象平移后所對應(yīng)的函數(shù).)學(xué)習(xí)必備歡迎下載(3)“交點式”：已知圖象與軸的交點坐標、，通常選用交點式：（a0） .( 由此得根與系數(shù)的關(guān)系：).要點詮釋：求拋物線2y ax bx（ a 0）的對稱軸和頂點坐標通常用三種方法：配方法、 公式法、 代入法，c這三種方法都有各自的優(yōu)缺點，應(yīng)根據(jù)實際靈活選擇和運用要點三、二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系函數(shù)，當時，得到一元二次方程，那么一元二次方程的解就是二次函數(shù)的圖象與x 軸交點的橫坐標 ，因此二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點情況決定一元二次方程根的情況 .(1)當二次函數(shù)的圖象與x 軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根

5、；(2)當二次函數(shù)的圖象與x 軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當二次函數(shù)的圖象與x 軸沒有交點，這時，則方程沒有實根 .通過下面表格可以直觀地觀察到二次函數(shù)圖象和一元二次方程的關(guān)系：的圖象方程有兩個相等實數(shù)解方程有兩個不等實數(shù)解方程沒有實數(shù)解的解要點詮釋：二次函數(shù)圖象與 x 軸的交點的個數(shù)由的值來確定 .(1)當二次函數(shù)的圖象與x 軸有兩個交點，這時，則方程有兩個不相等實根；(2)當二次函數(shù)的圖象與x 軸有且只有一個交點，這時，則方程有兩個相等實根；(3)當二次函數(shù)的圖象與x 軸沒有交點，這時，則方程沒有實根 .要點四、 利用 二次函數(shù)解決實際問題學(xué)習(xí)必備歡迎下載利用二次

6、函數(shù)解決實際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題. 在研究實際問題時要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實際意義.利用二次函數(shù)解決實際問題的一般步驟是：(1) 建立適當?shù)钠矫嬷苯亲鴺讼担?2) 把實際問題中的一些數(shù)據(jù)與點的坐標聯(lián)系起來；(3) 用待定系數(shù)法求出拋物線的關(guān)系式；(4) 利用二次函數(shù)的圖象及其性質(zhì)去分析問題、解決問題.要點詮釋：常見的問題：求最大 ( 小 ) 值( 如求最大利潤、最大面積、最小周長等 ) 、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等 . 解決這些實 際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系

7、，把實際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式 .【典型例題】類型一、求二次函數(shù)的解析式1已知二次函數(shù)的圖象經(jīng)過原點及點1 ,1 ，且圖象與x 軸的另一交點到原點的距離為1，24則該二次函數(shù)的解析式為_【答案】y1 x21 x 或 yx2x 33【解析】正確找出圖象與 x 軸的另一交點坐標是解題關(guān)鍵由題意知另一交點為(1 ，0)或(-1 ，0)因此所求拋物線的解析式有兩種設(shè)二次函數(shù)解析式為y ax2bxc c0,c0,則有1 1 a1 b c ，或1 1 a1 b c,442442abc 0abc0,a13a1,1解之 b，或 b1,3c0.c0因此所求二次函數(shù)解析式為y1x21x 或 y

8、x2x 33【點評 此題容易出錯漏解的錯誤舉一反三：【高清課程名稱：二次函數(shù)復(fù)習(xí)學(xué)習(xí)必備歡迎下載高清 ID 號：357019關(guān)聯(lián)的位置名稱（播放點名稱）： (1) - （ 2）問精講】【變式】 已知：拋物線y=x2+bx+c 的對稱軸為x=1，交 x 軸于點 A、 B(A 在 B 的左側(cè) ) ，且 AB=4，交 y 軸于點 C.求此拋物線的函數(shù)解析式及其頂點M的坐標 .【答案】 對稱軸x=1，且 AB=4拋物線與x 軸的交點為：A(-1 ， 0) ， B(3， 0)b1b=-22c=-31bc0 y=x 2-2x-3 為所求 ,x=1 時 y=- 4M(1， -4)對稱軸x=1，且 AB=4拋

9、物線與x 軸的交點為：A(-1 ， 0) ， B(3， 0)b1b=-221bc0c=-32為所求 ,y=x -2x-3x=1 時 y=-4， M(1， -4).類型二、根據(jù)二次函數(shù)圖象及性質(zhì)判斷代數(shù)式的符號2二次函數(shù)yax2bxc 的圖象如圖1 所示，反比例函數(shù)ya 與正比例函數(shù) y(b+c)xx在同一坐標系中的大致圖象可能是()【答案】 B；【解析】 由 y ax 2bxc的圖象開口向上得a 0，又b0 ， b 02a由拋物線與 y 軸負半軸相交得 c 0 a 0，ya的圖象在第一、三象限x b+c 0，y (b+c)x的圖象在第二、四象限學(xué)習(xí)必備歡迎下載同時滿足 ya(b c) x 圖象

10、的只有 B和 yx【點評】 由圖 1 得到 a、 b、 c 的符號及其相互關(guān)系，去判斷選項的正誤.類型三、數(shù)形結(jié)合3如圖所示是二次函數(shù)yax2bxc 圖象的 一部分，其對稱軸為直線x 1，若其與x 軸一交點為 (3 ， 0) ，則由圖象可知，不等式ax2bxc0 的解集是 _【思路點撥】根據(jù)拋物線的對稱性和拋物線與x 軸的交點A 的坐標可知，拋物線與x 軸的另一個交點的坐標，觀察圖象可得不等式ax2bxc0 的解集 .【答案】 x 3 或 x -1 ；【解析】 根據(jù)拋物線的對稱性和拋物線與x 軸的交點A(3 ，0) 知，拋物線與 x 軸的另一個交點為(-1 ，0) ，觀察圖象可知，不等式ax

11、2bxc0 的解集就是yax2bxc 函數(shù)值， y 0 時， x 的取值范圍當x 3 或 x -1 時， y 0，因此不等式ax2bxc0 的解集為x3 或 x-1 【 點 評 】 弄 清 a x2b xc 0 與 yax 2bxc 的 關(guān) 系 ， 利 用 數(shù) 形 結(jié) 合 在 圖 象 上 找 出 不 等 式ax2bxc0 的解集類型四、函數(shù)與方程4已知拋物線y1 x2 x c 與 x 軸沒有交點2求 c 的取值范圍；試確定直線ycx1 經(jīng)過的象限，并說明理由【答案與解析】（ 1）拋物線與x 軸沒有交點，0，即 1 2c 0，解得 c 12(2) c 1 ，直線 y= 1 x 1 隨 x 的增大

12、而增大，22 b=1，直線y= 1 x 1 經(jīng)過第一、二、三象限.2學(xué)習(xí)必備歡迎下載【點評】 拋物線 y1 x2xc 與 x 軸沒有交點， 0，可求 c 的取 值范圍 .2舉一反三：【變式 1】無論 x 為何實數(shù)，二次函數(shù)的圖象永遠在 x 軸的下方的條件是 ()ABCD【答案】 二次函數(shù)的圖象與 x 軸無交點，則說明 y=0 時，方程無解，即又圖象永遠在x 軸下方，則 答案：B【變式 2】對于二次函數(shù)，我們把使函數(shù)值等于 0 的實數(shù) x 叫做這個函數(shù)的零點，則二次函數(shù)(m 為實數(shù) ) 的零點的個數(shù)是 ()A1B 2C 0D 不能確定【答案】 當 y=0 時，即二次函數(shù)的零點個數(shù)是 2故選 B.

13、類型五、分類討論5已知點 A(1 ， 1) 在二次函數(shù)yx22axb 的圖象上(1) 用含 a 的代數(shù)式表示 b；(2) 如果該二次函數(shù)的圖象與 x 軸只有一個交點，求這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標【思路點撥】2求出 a(1) 將 A(1， 1) 代入函數(shù)解析式 (2) 由 b -4ac 0【答案與解析】(1) 因為點 A(1 ， 1) 在二次函數(shù) yx22ax b 的圖象上，所以11-2a+b ，所以 b2a(2) 根據(jù)題意，方程x22ax b0 有兩個相等的實數(shù)根，所以4a24b 4a28a 0 ，解得 a 0 或 a 2當 a 0 時， y x2，這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標是(0 ，0)

14、當 a 2 時， y x24x 4 (x2)2 ，學(xué)習(xí)必備歡迎下載這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(2 ，0) 所以，這個二次函數(shù)的圖象的頂點坐標為(0 ，0)或 (2 ，0)【點評】 二次函數(shù) yax2b c ( a0) 的圖象與x 軸只有一個交點時，方程ax 2bx c 0有兩個相等的實數(shù)根，所以b24ac 0類型六、二次函數(shù)與實際問題6為了擴大內(nèi)需，讓惠于農(nóng)民，豐富農(nóng)民的業(yè)余生活，鼓勵送彩電下鄉(xiāng)，國家決定對購買彩電的農(nóng)戶實行政府補貼規(guī)定每購買一臺彩電，政府補貼若干元，經(jīng)調(diào)查某商場銷售彩電臺數(shù) y( 臺 ) 與補貼款額 x( 元 ) 之間大致滿足圖 1 所示的一次函數(shù)關(guān)系隨著補貼款額 x 的

15、不斷增大，銷售量也不斷增大，但每臺彩電的收益 z( 元 ) 會相應(yīng)降低且 z 與 x 之間也大致滿足圖 2 所示的一次函數(shù)關(guān)系(1)在政府出臺補貼措施前，該商場銷售彩電的總收益額為多少元?(2)在政府補貼政策實施后， 分別求出該商場銷售彩電臺數(shù)y 和每臺家電的收益 z 與政府補貼款額 x之間的函數(shù)關(guān)系式；(3)要使該商場銷售彩電的總收益 ( 元 ) 最大，政府應(yīng)將每臺補貼款額x 定為多少 ?并求出總收益 的最大值【思路點撥】(2)依題意設(shè) y k1x+800， zk2x+200 分別將 (400 ， 1200) 和 (200 ，160) 代入兩式求出 k1、 k2；(3) 由題意 yz 【答案與解析】(1) 在政府出臺補貼措施前，該商場銷售家電的