矩陣秩與向量組秩的關(guān)系課件

1、第四節(jié)第四節(jié) 矩陣秩與向量組秩的關(guān)系矩陣秩與向量組秩的關(guān)系111212122212nnmmmnaaaaaaAmnaaa設(shè)是的矩陣設(shè)是的矩陣按行分塊得到按行分塊得到12mA 12,iiinaaaAi i i其中其中是 的第 行構(gòu)成的向量是 的第 行構(gòu)成的向量i =1,2,mi =1,2,m將該矩陣按列分塊得到將該矩陣按列分塊得到 12nA 12jjjmjaaa 其中其中 An是 的第j 列構(gòu)成的是 的第j 列構(gòu)成的向量 j =1,2,向量 j =1,2,稱為稱為A的行向量組的行向量組 1,mn1 1，稱為稱為A的列向量組的列向量組定義定義9 矩陣矩陣A的行向量組的秩成為的行向量組的秩成為A的行秩

2、，的行秩，A的列向量組的秩稱為的列向量組的秩稱為A的的列秩。列秩。矩陣矩陣A的秩與其行秩和列秩有的秩與其行秩和列秩有什么關(guān)系呢？什么關(guān)系呢？先看一個(gè)例子先看一個(gè)例子112231 0000 1000 00100 000010 00000ababBb 此矩陣為具有此矩陣為具有4個(gè)非零行的個(gè)非零行的B-型矩陣型矩陣 4R B 顯然顯然B的列向量組的列向量組1246,線性無(wú)關(guān)，并且線性無(wú)關(guān)，并且311225112233aabbb 故故1246,是是B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。B的列秩的列秩B的秩的秩r一般的，對(duì)有一般的，對(duì)有r個(gè)非零行的個(gè)非零行的B-型階梯型階梯型矩陣，有型矩陣，

3、有B的列秩的列秩B的秩的秩4引理引理 設(shè)矩陣設(shè)矩陣A經(jīng)過(guò)行初等變換化為經(jīng)過(guò)行初等變換化為B，分別記為：分別記為：12(,.,)nA 12,.,nB 之間有完全相同的線性關(guān)系，即之間有完全相同的線性關(guān)系，即則則A的列向量組與的列向量組與B的列向量組的列向量組1122.0nnxxx當(dāng)且僅當(dāng)當(dāng)且僅當(dāng)1122.nnxxx0證證 因?yàn)榫仃囈驗(yàn)榫仃嘇經(jīng)過(guò)行初等變換化為經(jīng)過(guò)行初等變換化為B，A的列向量組與的列向量組與B的列向量組等的列向量組等價(jià)，也就是說(shuō)齊次線性方程組價(jià)，也就是說(shuō)齊次線性方程組AX=0 與與BX=0同解，即同解，即有相同的線性相關(guān)性。有相同的線性相關(guān)性。于是知列向量組于是知列向量組 12,.

4、,n 與與12,.,n 1122.nnxxx0同解同解1122.nnxxx0與與定理定理5 矩陣的秩等于它的行秩，也等矩陣的秩等于它的行秩，也等于它的列秩。于它的列秩。證證 設(shè)矩陣設(shè)矩陣 ijm naA()rrAB是與之對(duì)應(yīng)的是與之對(duì)應(yīng)的B-型陣型陣設(shè)設(shè)A的的r階非零子式階非零子式 0rD下證下證A的列向量組的秩為的列向量組的秩為rrD所在的所在的r列構(gòu)成的列構(gòu)成的 mr矩陣為矩陣為 12,.,rB 顯然顯然( )rrB即即B的的r個(gè)列向量線性個(gè)列向量線性無(wú)關(guān)，而無(wú)關(guān)，而A的任意的任意r+1 列所構(gòu)成的矩列所構(gòu)成的矩陣的秩小于等于陣的秩小于等于 ()rrA所以所以A的任意的任意r+1列向量線性

5、相關(guān)，因此，列向量線性相關(guān)，因此，B的的r個(gè)列向個(gè)列向量為矩陣量為矩陣A的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。的列向量組的極大無(wú)關(guān)組。所以所以 A的列秩等于的列秩等于r。故：故： A的秩的秩=A的行秩的行秩=A的列秩的列秩()()TrrAA的列向量組，又的列向量組，又TA因?yàn)橐驗(yàn)锳的行向量組就是的行向量組就是例例1 設(shè)向量組設(shè)向量組121, 2,5, 3,4, 1, 2,3,TT 35,4, 19,15,T410, 1,16, 15T 求該向量組的極大無(wú)關(guān)組，并把求該向量組的極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量由極大無(wú)關(guān)組線性表示。其余向量由極大無(wú)關(guān)組線性表示。 解：解： 以以1234, 為列構(gòu)造矩陣為列構(gòu)造矩陣A，并

6、利用初等，并利用初等行行變換把變換把A化成行簡(jiǎn)化型階梯矩陣化成行簡(jiǎn)化型階梯矩陣B1451007142102244660153045213141253145102141521916331515rrrrrr A231711,22151451007142102244660153045rrr 14510012301230123324214510012300000000rrrr 1241032012300000000rr 1032012300000000B所以所以( )( )2rrAB故列向量組的故列向量組的 秩為秩為2，即列向量，即列向量組的極大無(wú)關(guān)組含有組的極大無(wú)關(guān)組含有2個(gè)向量，顯然，個(gè)向量，顯然

7、， 121,0,0,0,0,1,0,0TT為矩陣為矩陣B的列向量組的極大無(wú)關(guān)組的列向量組的極大無(wú)關(guān)組則則121, 2,5, 3,4, 1, 2,3TT 是向量組是向量組1234, 的極大無(wú)關(guān)組，且顯然有的極大無(wú)關(guān)組，且顯然有 ：31241232,23 對(duì)于這道題我們可以直接用數(shù)學(xué)軟對(duì)于這道題我們可以直接用數(shù)學(xué)軟件件MATLAB來(lái)計(jì)算向量組的秩和極來(lái)計(jì)算向量組的秩和極大無(wú)關(guān)組，并把其余向量由極大無(wú)大無(wú)關(guān)組，并把其余向量由極大無(wú)關(guān)組線性表示關(guān)組線性表示 %求向量組的秩、極大無(wú)關(guān)組A=1 4 5 -10;-2 -1 4 -1;5 -2 -19 16;-3 3 15 -15;rref(A)% * * * * * * * * * * * *運(yùn)行結(jié)果