空間解析幾何(省級(jí)精品課程課件

1、x橫軸橫軸y縱軸縱軸z豎軸豎軸 定點(diǎn)定點(diǎn)o空間直角坐標(biāo)系空間直角坐標(biāo)系 三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合三個(gè)坐標(biāo)軸的正方向符合右手系右手系.即以右手握住即以右手握住z軸，軸，當(dāng)右手的四個(gè)手指當(dāng)右手的四個(gè)手指從正向從正向x軸以軸以2 角角度轉(zhuǎn)向正向度轉(zhuǎn)向正向y軸軸時(shí)，大拇指的指向時(shí)，大拇指的指向就是就是z軸的正向軸的正向.xyozxoy面面yoz面面zox面面空間直角坐標(biāo)系共有空間直角坐標(biāo)系共有八個(gè)卦限八個(gè)卦限設(shè)設(shè)),(1111zyxM、),(2222zyxM為為空空間間兩兩點(diǎn)點(diǎn)xyzo 1MPNQR 2M?21 MMd在在直直角角21NMM 及及 直直 角角PNM1 中中，使使用用勾勾股股定定理理知知,

2、222212NMPNPMd ,121xxPM ,12yyPN ,122zzNM 22221NMPNPMd .21221221221zzyyxxMM 空間兩點(diǎn)間距離公式空間兩點(diǎn)間距離公式,),(zyxM)0 , 0 , 0(OOMd .222zyx xyzo 1MPNQR 2M特殊地：若兩點(diǎn)分別為特殊地：若兩點(diǎn)分別為定義：若曲面z與一三元方程F x y z( , , ) 0滿(mǎn)足： 1曲面z上的點(diǎn)的坐標(biāo)是F x y z( , , ) 0的解 20),(zyxF解都在曲面z上 稱(chēng)F x y z( , , ) 0為曲面z的方程， 稱(chēng)z為F x y z( , , ) 0的曲面 xyzO解建立球心在Mxy

3、z0000(,)，半經(jīng)為R的球面方程 設(shè)M x y z( , , )為球面上一點(diǎn)， 則MMR0 又2020200zzyyxxMM Rzzyyxx202020即：2202020Rzzyyxx 這就是球面上的點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，且不在球面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足此方程。 故此方程就是所求方程。 解設(shè)點(diǎn)AB( , , ),( , )12 3214，求線段AB的垂直平分面的方程 設(shè)M x y z( , , )為所求平面上一點(diǎn)， 則AMBM 所以222321zyx 222412zyx兩邊平方化簡(jiǎn)得：07262zyx 這就是平面上的點(diǎn)所滿(mǎn)足的方程，且不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不滿(mǎn)足此方程。 故此方程就是所求方程。

4、A作為點(diǎn)的軌跡的曲面，通?？捎盟狞c(diǎn)的坐標(biāo)間的關(guān)系來(lái)表示； B變量zyx,之間的一個(gè)方程，通常也表示了一個(gè)曲面。 因而在解析幾何中，我們著眼于以下二問(wèn)題的解決： 1已知一曲面點(diǎn)的幾何軌跡（圖形），建立此曲面的方程； 2已知方程，討論該方程所表示的曲面 空間曲線的一般方程 對(duì)于方程組:C) 1 (0),(0),(zyxGzyxF xzyO1S2SC一方面：曲線C上的所有點(diǎn)應(yīng)同時(shí)滿(mǎn)足(1)； 另一方面： 滿(mǎn)足(1)的解一定也在二曲面的公共曲線C上 以以1M為為起起點(diǎn)點(diǎn)，2M為為終終點(diǎn)點(diǎn)的的有有向向線線段段.1M2M a21MM21MM00a0|a21MM| | 第二節(jié)第二節(jié) 矢量代數(shù)矢量代數(shù)矢量：

5、矢量：矢量表示：矢量表示：矢量的模：向量的大小矢量的模：向量的大小.零矢量：模長(zhǎng)為零矢量：模長(zhǎng)為0的向量的向量.既有大小又有方向的量既有大小又有方向的量.或或或或或或單位矢量單位矢量：模長(zhǎng)為模長(zhǎng)為1 1的向量的向量.自由向量：自由向量：不考慮起點(diǎn)位置的向量不考慮起點(diǎn)位置的向量. .相等向量：相等向量：大小相等且方向相同的向量大小相等且方向相同的向量. .aba a空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn)空間直角坐標(biāo)系中任一點(diǎn) 與原點(diǎn)與原點(diǎn)構(gòu)成的向量構(gòu)成的向量. . OMM負(fù)向量：負(fù)向量： 大小相等但方向相反的向量大小相等但方向相反的向量. .a 向徑：向徑：非零向量非零向量 的的方向角方向角：a 、 、 ,0

6、,0 .0 xyzo 1M 2M 非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱(chēng)為方向角非零向量與三條坐標(biāo)軸的正向的夾角稱(chēng)為方向角. .xyzo 1M 2M 由圖分析可知由圖分析可知 cos|aax cos|aay cos|aaz 222|zyxaaaa PQR21212121RMQMPMMM 向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式向量模長(zhǎng)的坐標(biāo)表示式方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向方向余弦通常用來(lái)表示向量的方向. .0222 zyxaaa當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，,cos222zyxxaaaa ,cos222zyxyaaaa .cos222zyxzaaaa 向量方向余弦的坐標(biāo)表示式向量方向余弦的坐標(biāo)表示式1coscoscos222 方

7、向余弦的特征方向余弦的特征0a|aa .cos,cos,cos 特殊地：?jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟樘厥獾兀簡(jiǎn)挝幌蛄康姆较蛴嘞覟樗笙蛄坑袃蓚€(gè)，一個(gè)與所求向量有兩個(gè)，一個(gè)與 同向，一個(gè)反向同向，一個(gè)反向a222)6(76| a,11 |aa 0a,116117116kji 0a|aa .116117116kji 或或解解例例1 求平行于向量求平行于向量kjia676 的單位向量的分解式的單位向量的分解式.空間一矢量在軸上的投影空間一矢量在軸上的投影uAA BB ABjuPr向向量量AB在在軸軸u上上的的投投影影記記為為 向量向量AB在軸在軸u上的投影等于向量的模乘以上的投影等于向量的模乘以軸與向量的夾

8、角的余弦：軸與向量的夾角的余弦：ABjuPr cos| AB uABA B B ABjuPrABju Pr cos| AB u 關(guān)于向量的投影定理關(guān)于向量的投影定理證證cba abcababc|bac bac|bac 1 加法：加法：（平行四邊形法則）（平行四邊形法則）（平行四邊形法則有時(shí)也稱(chēng)為三角形法則）（平行四邊形法則有時(shí)也稱(chēng)為三角形法則）特殊地：若特殊地：若分為同向和反向分為同向和反向.abba cbacba )().(cba . 0)( aa)( baba abb b cbabac )(ba ba ab矢量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律：矢量的加法符合下列運(yùn)算規(guī)律： （1 1）交換律：）交換律

9、：（2 2）結(jié)合律：）結(jié)合律：（3）2 減法減法 設(shè)設(shè) 是是一一個(gè)個(gè)數(shù)數(shù)，向向量量a與與 的的乘乘積積a 規(guī)規(guī)定定為為, 0)1( a 與與a同同向向，|aa , 0)2( 0 a , 0)3( a 與與a反反向向，|aa aa2a21 數(shù)與矢量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)與矢量的乘積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）結(jié)合律：）結(jié)合律：)()(aa a)( （2 2）分配律：）分配律：aaa )(baba )(.0ababa ，使，使一的實(shí)數(shù)一的實(shí)數(shù)分必要條件是：存在唯分必要條件是：存在唯的充的充平行于平行于，那末向量，那末向量設(shè)向量設(shè)向量定理定理兩個(gè)向量的平行關(guān)系兩個(gè)向量的平行關(guān)系 證證 充分性顯然

10、；充分性顯然；必要性必要性ab設(shè)設(shè),ab 取取取正值，取正值，同向時(shí)同向時(shí)與與當(dāng)當(dāng) ab取負(fù)值，取負(fù)值，反向時(shí)反向時(shí)與與當(dāng)當(dāng) ab.ab 即即有有.同同向向與與此此時(shí)時(shí)ab aa 且且aab .b .的唯一性的唯一性 ，設(shè)設(shè)ab ，又設(shè)又設(shè)ab 兩式相減，得兩式相減，得，0)( a ，即即0 a ，故故0 . 即即，0 a同方向的單位向量，同方向的單位向量，表示與非零向量表示與非零向量設(shè)設(shè)aa0按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，按照向量與數(shù)的乘積的規(guī)定，0|aaa .|0aaa 上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果上式表明：一個(gè)非零向量除以它的模的結(jié)果是一個(gè)與原向量同方向的單位向量是一個(gè)與原向量同方

11、向的單位向量.例例 化簡(jiǎn)化簡(jiǎn) 53215abbba 53215abbbaba 551251)31(.252ba 解解 一一物物體體在在常常力力F作作用用下下沿沿直直線線從從點(diǎn)點(diǎn)1M移移動(dòng)動(dòng)到到點(diǎn)點(diǎn)2M，以以s表表示示位位移移，則則力力F所所作作的的功功為為 cos|sFW (其中其中 為為F與與s的夾角的夾角) cos|baba (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)實(shí)例實(shí)例啟示啟示兩向量作這樣的運(yùn)算兩向量作這樣的運(yùn)算, , 結(jié)果是一個(gè)數(shù)量結(jié)果是一個(gè)數(shù)量. .定義定義關(guān)于數(shù)積的說(shuō)明：關(guān)于數(shù)積的說(shuō)明：0)2( ba.ba )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0cos .ba .|)1(2

12、aaa )(,ba , 0cos . 0cos| baba, 0 .|cos|2aaaaa 證證證證 ,2 ,2 數(shù)積符合下列運(yùn)算規(guī)律：數(shù)積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（1 1）交換律）交換律：;abba （2 2）分配律）分配律：;)(cbcacba （3 3）),()()(bababa 若若 、 為數(shù)為數(shù)： ).()()(baba 若若 為數(shù)為數(shù)： ,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 ikkjji, 1| kji. 1 kkjjiizzyyxxbabababa 數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式數(shù)量積的坐標(biāo)表達(dá)式 cos|baba

13、 ,|cosbaba 222222coszyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ba0 zzyyxxbababa兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式兩向量夾角余弦的坐標(biāo)表示式 由此可知兩向量垂直的充要條件為由此可知兩向量垂直的充要條件為 例例 1 1 已知已知4, 1 , 1 a，2 , 2, 1 b，求，求（1）ba ；（2）a與與b的夾角；的夾角；（3）a在在b上的投影上的投影.ba )1(2)4()2(111 . 9 222222cos)2(zyxzyxzzyyxxbbbaaabababa ,21 ajbbabPr|)3( . 3|Pr bbaajb .43 解解例例 2 2 證明向量證

14、明向量c與向量與向量acbbca)()( 垂直垂直.cacbbca )()()()(cacbcbca )(cacabc 0 cacbbca )()(證證 設(shè)設(shè)O為為一一根根杠杠桿桿L的的支支點(diǎn)點(diǎn)，有有一一力力F作作用用于于這這杠杠桿桿上上P點(diǎn)點(diǎn)處處力力F與與OP的的夾夾角角為為 ，力力F對(duì)對(duì)支支點(diǎn)點(diǎn)O的的力力矩矩是是一一向向量量M，它它的的模模|FOQM sin|FOP M的的方方向向垂垂直直于于OP與與F所所決決定定的的平平面面, 指指向向符符合合右右手手系系.LFPQO 實(shí)例實(shí)例 sin|bac (其其中中 為為a與與b的的夾夾角角)定義定義c 的方向既垂直于的方向既垂直于 a ，又垂直于

15、，又垂直于 b ，指向符合，指向符合 右手系右手系 . . . 0)1( aa)0sin0( ba)2(/. 0 ba)0, 0( ba關(guān)于矢積的說(shuō)明：關(guān)于矢積的說(shuō)明：.abba .)(cbcacba （3）若若 為數(shù)：為數(shù)： ).()()(bababa )(, 0 ba, 0| a, 0| b, 0sin , 0 )(0sin . 0sin| baba證證ba/ba/或或0 矢積符合下列運(yùn)算規(guī)律：矢積符合下列運(yùn)算規(guī)律：（2 2）分配律：）分配律：（1）,kajaiaazyx kbjbibbzyx 設(shè)設(shè) ba)(kajaiazyx )(kbjbibzyx ,kji , 0 kkjjii, ji

16、k , ikj ,kij . jki , ijk kbabajbabaibabaxyyxzxxzyzzy)()()( 向量積的坐標(biāo)表達(dá)式向量積的坐標(biāo)表達(dá)式矢積還可用三階行列式表示矢積還可用三階行列式表示zyxzyxbbbaaakjiba ba/zzyyxxbababa 由上式可推出由上式可推出zzyxbaaa 000, 0 yxaa|ba 表表 示示 以以a和和b為為 鄰鄰 邊邊的的 平平 行行 四四 邊邊 形形 的的 面面 積積 .xb、yb、zb不不能能同同時(shí)時(shí)為為零零，但但允允許許兩兩個(gè)個(gè)為為零零，abbac 例如，例如，補(bǔ)充補(bǔ)充例例 3 3 求求與與kjia423 ，kjib2 都都垂

17、垂直直的的單單位位向向量量.zyxzyxbbbaaakjibac 211423 kji,510kj , 55510|22 c|0ccc .5152 kj解解例例 4 4 在在頂頂點(diǎn)點(diǎn)為為)2 , 1, 1( A、)2 , 6, 5( B和和)1, 3 , 1( C的的三三角角形形中中，求求AC邊邊上上的的高高BD.ABCD3, 4 , 0 AC0 , 5, 4 AB|21ABACS 22216121521 ,225 | AC, 5)3(422 |21BDS | AC|521225BD . 5| BD三角形三角形ABC的面積為的面積為解解cbacba )(zyxzyxzyxcccbbbaaa ,

18、kajaiaazyx ,kbjbibbzyx ,kcjcicczyx 混合積的坐標(biāo)表達(dá)式混合積的坐標(biāo)表達(dá)式設(shè)設(shè)定義定義acbba 關(guān)于混合積的說(shuō)明：關(guān)于混合積的說(shuō)明：)2(cbacba )(acb )(.)(bac . 0 cba（1）矢量混合積的幾何意義：矢量混合積的幾何意義： 已已知知2 cba， 計(jì)計(jì)算算)()()(accbba .)()()(accbba )()accbbbcaba ccbcccacba )(0)()(acbaacaaba )(0)()(0 0 0 0 cba )(cba )(2 2cba . 4 例例解解例例 7 7 已知空間內(nèi)不在一平面上的四點(diǎn)已知空間內(nèi)不在一平面上

19、的四點(diǎn)),(111zyxA、),(222zyxB、),(333zyxC、),(444zyxD, 求四面體的體積求四面體的體積.由由立立體體幾幾何何知知，四四面面體體的的體體積積等等于于以以向向量量AB、AC、AD為為棱棱的的平平行行六六面面體體的的體體積積的的六六分分之之一一.61ADACABV ,121212zzyyxxAB 解解,131313zzyyxxAC ,141414zzyyxxAD 14141413131312121261zzyyxxzzyyxxzzyyxxV 式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致式中正負(fù)號(hào)的選擇必須和行列式的符號(hào)一致. . 任一垂直于平面的非零向量稱(chēng)為該平面的垂

20、垂線線向向量量（法法向向量量）. 定義：平面上的任一向量都與其法向量垂直 由于：過(guò)直線外一點(diǎn)且與直線垂直的平面有且僅有一個(gè)過(guò)直線外一點(diǎn)且與直線垂直的平面有且僅有一個(gè) 因此，對(duì)一個(gè)平面來(lái)說(shuō)，已知其上的任一點(diǎn)),(0000zyxM，和它的一個(gè)法向量,CBAn ，則該平面便確定了 ),(zyxM為平面上任一異于0M的點(diǎn)， 則nMM0 00MMn (1) 反反之之，若00MMn， 則MMn0 0M又，M 所以滿(mǎn)足(1)的點(diǎn)M便是平面上的點(diǎn)， 同時(shí)平面上的點(diǎn)必滿(mǎn)足(1) ,CBAn 0MM,CBAn ，,0000zzyyxxMM 0)()()(000zzCyyBxxA .(2) 稱(chēng)稱(chēng)(2)為為平平面面的

21、的方方程程，稱(chēng)稱(chēng)為為(2)表表示示的的平平面面 又 該 平 面 是 由 點(diǎn)M xyz(,)000和 它 的 法 向 量M x y z( , , )所確定，故稱(chēng)(2)為平面的點(diǎn)點(diǎn)法法式式方方程程 求過(guò)點(diǎn)為法向量的平面方程且以3 , 2, 1)0 , 3, 2( 例1解由（2）得所求平面方程為： 03)3(2) 1(zyx即：0832zyx 解求過(guò)三點(diǎn)MMM12321413 20 2 3( , ),(, ,),( , , )的平面方程 因?yàn)榉ㄏ蛄繛槠矫嫔隙蛄恐娣e且與方向?yàn)橄?、上無(wú)關(guān) 設(shè)),(zyxM為平面上一點(diǎn)， 則有0)(32211MMMMMM xyz2143462310即為所求平面方程 稱(chēng)

22、 0232313121212111zzyyxxzzyyxxzzyyxx為平面的三點(diǎn)式方程 返回問(wèn)題：任意一個(gè)三元一次方程， 是否可以表示一平面? 設(shè)) 1 (0DCzByAx ),(000zyx點(diǎn)為其上一點(diǎn)，即： )2(0000DCzByAx(1)-(2)得： )3(0)()()(000zzCyyBxxA(3)表示過(guò)點(diǎn)),(0000zyxM， 法向量為,CBAn 的平面方程. 又(1)(3)同解, 因此(1)所表示的圖形總是一個(gè)平面，稱(chēng)為平面平面的一般式方程的一般式方程 以,CBA為法向量，過(guò)點(diǎn)CD, 0 , 0 特別地： 法向量為1 , 4, 3 n,過(guò)點(diǎn))9 , 0 , 0( 1若A 0，

23、缺少x，為一平行于x的平面，法向量 垂 直 于x軸 ， 在x軸 上 投 影 為 零 。 對(duì)BC00,，同理 2D 0為過(guò)原點(diǎn)的平面 3若0 BA或0 CA，0 CB，表示平行于yozzoxxoy,面的平面 0943zyx解求過(guò)點(diǎn)( ,)4 3 1 和x軸的平面 因?yàn)檫^(guò)x軸， 法向量在x軸投影為 0，且過(guò)原點(diǎn) 0, 0DA設(shè)該平面方程為：0DCzByAx 所以方程為0 CzBy， ) 1, 3, 4(又過(guò)點(diǎn)， 故：CB 3 yz30 為所求平面方程。 xyzO1, 3, 4解求過(guò)點(diǎn)), 0 , 0(),0 , 0(),0 , 0 ,(cRbQaP )0(abc的平面方程 設(shè)所求方程為AxByCz

24、D 0 代入以上三點(diǎn)得： cDCbDBaDA,又0, 0Dabc， 1czbyax為所求方程 稱(chēng)該方程為平面的截截距距式式方方程程 a b c, ,分別稱(chēng)為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距分別稱(chēng)為平面在三個(gè)坐標(biāo)軸上的截距 0 , 0 bc , 0 , 0 xyzO0 , 0 , a返回1.空間直線的一般式方程 設(shè)二相交平面0:11111DzCyBxA，0:22222DzCyBxA的交線為L(zhǎng) xyzO1T2TL由于過(guò)空間同一直線的平面有無(wú)限多個(gè)，故可以也只須任取其中兩個(gè)，將其聯(lián)立起來(lái)得到的方程組即可表示 則L應(yīng)滿(mǎn)足方程組： ) 1 (0022221111DzCyBxADzCyBxA 反過(guò)來(lái)， 不在L上的

25、點(diǎn)M，又不可能是以上二方程的解 因此， 直線L可由(1)表示， 稱(chēng)(1)為空間直線L的一一般般式式方方程程 方向向量方向向量： 任一平行于直線的非零向量稱(chēng)為直線的方向向量方向向量 直線上的任一向量平行于直線的方向向量， 可視為方向向量 過(guò)直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與已知直線平行，即：當(dāng)已知直線上的一點(diǎn)),(0000zyxM和它的方向向量,pnms 時(shí)， 直線L便完全確定了。 xyzOsL0MMsMMzyxM/,),(0則為直線上任一點(diǎn)sMM/0反之若，則M一定位于直線上 又由sMM/0，得： xxmyynzzp000這便是由直線的點(diǎn)與方向向量所確定的方程， 稱(chēng)之為直線的對(duì)稱(chēng)式方程，對(duì)稱(chēng)式方程，

26、也稱(chēng)為點(diǎn)向式方程點(diǎn)向式方程 幾點(diǎn)說(shuō)明： A.其其中中若若m n p, ,中中有有一一個(gè)個(gè)或或二二個(gè)個(gè)為為零零，應(yīng)應(yīng)理理解解為為相相應(yīng)應(yīng)的的分分子子也也為為零零 xxmyynzzp000B.這這里里的的m n p, ,實(shí)實(shí)際際上上是是s的的在在三三個(gè)個(gè)軸軸向向上上的的坐坐標(biāo)標(biāo)，稱(chēng)稱(chēng)之之為為該該直直線線的的方方向向數(shù)數(shù)s的的方方向向余余弦弦稱(chēng)稱(chēng)為為直直線線的的方方向向余余弦弦 C.x y z, ,的的系系數(shù)數(shù) 1 xxmtyyntzzpt0003( )D.若若設(shè)設(shè)以以上上比比例例式式比比值值為為 t，則則可可得得： 稱(chēng)稱(chēng)之之為為直直線線的的參參數(shù)數(shù)式式方方程程 解將直線一般式方程) 1 (0432

27、01zyxzyx改寫(xiě)成對(duì)稱(chēng)式和參數(shù)式方程 因?yàn)橹本€的方向向量與表示直線的二平面的法向量都垂直，故其方向向量s有： 21nns312111kjikji34為求直線上一點(diǎn)，取1x，則由(1)得： 632zyzy解之得：20zy 2, 0 , 1為此直線上一點(diǎn)， 故直線的對(duì)稱(chēng)式方程為： 32141zyx令tzyx32141， 得直線的參數(shù)式方程為： tztytx3241求過(guò)點(diǎn)Mxy zMxyz11112222(,),(,)的直線方程 因?yàn)榉较蛳蛄?1MMs ，故由對(duì)稱(chēng)式得： ,121121121zzzzyyyyxxxx稱(chēng)為直線的兩兩點(diǎn)點(diǎn)式式方方程程 例6解,121121121zzzzyyyyxxxx

28、返回1T2T稱(chēng)兩平面的法向量的夾角稱(chēng)為兩兩平平面面的的夾夾角角（通常指銳角） 設(shè)有二平面：, 0:11111DzCyBxA 0:22222DzCyBxA 則其法向量分別為： ,22221111CBAnCBAn由點(diǎn)積與余弦關(guān)系得： 222222212121212121cosCBACBACCBBAA特別地，若0,21212121CCBBAAnn則 解求xyzxyz260250,的夾角 由上述公式，得其夾角有： 222222112211121121cos21故3 可見(jiàn)，夾角與D無(wú)關(guān) 求過(guò)點(diǎn)MMxyz1211101 10( , , ),( , ,)且垂直于的平面方程 解設(shè)平面方程為 A xB yC z

29、()()()1110 (1) 由nMM21（或過(guò)點(diǎn)2M）得： 02 CA (2) 又由1 , 1 , 1n得： 0CBA .(3) 由(2)(3)得：CBCA2 代入方程(1)得：200 xyzC,() 夾角：兩直線方向向量的夾角稱(chēng)為兩兩直直線線的的夾夾角角。 設(shè),22221111pnmspnms為直線1L、2L的方向向量， 則LL12,的夾角可由向量的點(diǎn)積得： 222222212121212121cospnmpnmppnnmm注意222222212121212121cospnmpnmppnnmm夾角為02， 且包含兩直線相交與異面的情形 0.A21212121ppnnmmLL21212121

30、/B.ppnnmmLL例9求二直線Lxyz11143:， Lxyz22221: 的夾角 直線1L的方向向量為：1 , 4, 1；直線2L的方向向量為：1, 2, 2， 所以1L、2L的夾角有： 222222122141112421cos224解返回直線和它在平面上的投影直線的夾角稱(chēng)為直直線線與與平平面面的的夾夾角角 定義：結(jié)論：直線與平面的法向量的夾角為2 L Ln特別地 直線為：pzznyymxx000， 平面為：0DCzByAx 則：222222)2cos(pnmCBACpBnAm 222222sinpnmCBACpBnAmA直線與平面垂直pCnBmA B直線與平面平行0CpBnAm 解求

31、過(guò)點(diǎn)( , )1 2 42340且與 xyz垂直的直線方程 因?yàn)橹本€的方向向量為平面的法向量1 , 3, 2 ， 故所求直線方程為： 143221xxx1 , 3, 2 n返回解設(shè)),(0000zyxP0DCzByAx為外一點(diǎn)，求過(guò)Pd0到該平面的距離 1111,zyxP0000,zyxPCBAn,Nd如圖，設(shè)1P為平面上任一點(diǎn)， 則01PrjPPdn 又0101PrjPPnPPnn )()()(101010zzCyyBxxA)(111000CzByAxCzByAxDCzByAx000)(1Prj00022201DCzByAxCBAPPndAxByCzDABC000222該公式稱(chēng)為點(diǎn)點(diǎn)),(0

32、000zyxP到到 平平面面0DCzByAx的的距距離離公公式式。 點(diǎn)的距離到1) 1 , 0 , 0(zyx： 22211111d32返回設(shè)L由)2(0) 1 (022221111DzCyBxADzCyBxA給出，其中：111,CBA與222,CBA不對(duì)應(yīng)成比例 則方程： A xB yC zDA xB yC zDR1111222203()( )()具具有有以以下下特特點(diǎn)點(diǎn)： 1因?yàn)?11,CBA與222,CBA不對(duì)應(yīng)成比例，故212121,CCBBAA不全為零， 從而(3)表示了一個(gè)平面 過(guò)定直線L的全體平面稱(chēng)為平面束，而(3)表示除(2)的所有平面，稱(chēng)之為平平面面束束方方程程 例12解求直

33、線0101zyxzyx在平面0zyx上的投影直線方程 設(shè)過(guò)已知直線的平面束方程為： 2若點(diǎn)zyx,在L上，則滿(mǎn)足 2,1，所以必滿(mǎn)足 3，即 3是通過(guò)L的平面，而取不同的值，則表示過(guò)L的不同的平面反之，任何過(guò)L的平面（除(2)）都可以用(3)表示 投影平面方程為:yz10所求直線方程為:yzxyz100即： ()()()()11110 xyz 若該平面與xyz 0垂直，則有： 01)1(1)1 (1)1 (， 得：1 011zyxzyx返回作向量01MM，由勾股定理： 例13如圖，任取直線上一點(diǎn),1M 求點(diǎn)),(0000zyxM到直線 pzznyymxx111的距離 0M1Md01PrjMMs

34、法一) 1 ()(Prj210210MMMMdss又由點(diǎn)積得： ssMMMM0101sPrj,代入(1)可求和距離。 2M0M1Mds在直線上取兩點(diǎn)1M、2M，作210MMM， 則210MMM的面積S有： dMMS212sin2101MMMM0121MMMM210121MMMMMMd0MdsP求過(guò)點(diǎn)M0且與l垂直的平面，解得交點(diǎn)P， 由兩點(diǎn)之間的距離公式求得（略） 解求過(guò)點(diǎn)(, , ),3 2 543 251且與xzxyz的交線平行的直線方程 因?yàn)榻痪€的方向向量s為由二平面法向量叉積的方向 512401kjiskji34由對(duì)稱(chēng)式得所求直線方程為： 153243zyxs1n2n法一求241312

35、zyx與62zyx之交點(diǎn) 聯(lián)立解方程組62241312zyxzyx即可。 利用參數(shù)式。 令tzyx241312 則tx 2，ty 3，tz24 代入平面62zyx得： 0624322ttt解之有：1t 故所求交點(diǎn)的坐標(biāo)為：2, 2, 1zyx。 即：2 , 2 , 1 法二又由： 03122312131zyxzyx 解求過(guò)點(diǎn)M) 3 , 1 , 2(且與直線l：12131zyx垂直相交的直線方程 如圖，由點(diǎn)法式得過(guò)點(diǎn)( , , )2 13且垂直于已知直線l的平面方程為： 031223zyx得交點(diǎn)：73,713,72 再由兩點(diǎn)式得所求直線方程為： 431122zyxsn返回試分析xyR222表示

36、怎樣的曲面? 凡 是 過(guò)xoy平 面 內(nèi) 園222Ryx上 一 點(diǎn)M x y( , , )0且平行z軸的直線都在這個(gè)曲面上， 這樣，該曲面便可視為一平行于z軸的直線沿xoy平面上的圓xyR222平行移動(dòng)而形成的. 我們稱(chēng)之為圓柱面圓柱面，而xoy平面上的園222Ryx叫做它的準(zhǔn)線準(zhǔn)線，平行于z軸的直線稱(chēng)之為母線母線 問(wèn)：平行于定直線且沿定曲線C平行移動(dòng)的直線L形成的軌跡，稱(chēng)為柱面，定曲線C稱(chēng)為準(zhǔn)線，動(dòng)直線L稱(chēng)為母線 xy22，0 yx表示怎樣的曲面， 在xoy面上表示什么？ xyzOxyzOxy22xzOyxyzO只含x y,而缺少z的方程F x y( , ) 0表示母線平行于z軸，準(zhǔn)線為xo

37、y平面上的曲線C：F x y( , ) 0 只含zx,而缺少y的方程0,zxG表示母線平行于y軸， 準(zhǔn)線為xoz面上的曲線C：0,zxG。 只含zy,不含x的方程0,zyH表示母線平行于x軸，準(zhǔn)線為yoz面上的曲線C：0,zyH。 表示0 zxyz10表示如：yxzOC0,yxFC0,zyHyxzOC0,zxGOyxz返回一平面曲線繞其平面上的一條直線旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面稱(chēng)為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)曲曲面面，該直線稱(chēng)為旋轉(zhuǎn)曲面的軸軸 定義：形成旋轉(zhuǎn)曲面xyzO平面曲線C繞定軸旋轉(zhuǎn)設(shè)yoz面上有一曲線C：f y z( , ) 0 繞z軸旋轉(zhuǎn)一周，可得一旋轉(zhuǎn)曲面，求此曲面方程。 解設(shè)), 0(111zyM為曲線C上

38、一點(diǎn)， 則0),(11zyf 當(dāng)C繞z軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，1M轉(zhuǎn)到另一點(diǎn)M x y z( , , )， 則zz1 而M到z軸與1M到z軸的距離相等，即： 221yxyd化入（1）得： 0),(22zyxf這便是所求旋轉(zhuǎn)的方程 221yxy將將yoz面面上上有有一一曲曲線線f y z( , ) 0中中y換換成成了了22yx ，z不不變變即即得得曲曲線線繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的曲曲面面方方程程 同理，同理， 將將yoz面面 上上有有 一一 曲曲線線f y z( , ) 0中中z換換 成成 了了22zx ，y不不變變即即得得曲曲線線繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)的的曲曲面面方方程程 一般地，一般地， 欲求將平面曲線繞某軸旋

39、轉(zhuǎn)的曲面方程，只需將其對(duì)應(yīng)的坐標(biāo)不動(dòng)，而另一變量換成其余二變量的完全平方和之正負(fù)方根的形式。 即：zaxy2222() 其中a22 cot 一直線繞另一條與它相交的直線旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)面稱(chēng)為圓錐面，交點(diǎn)稱(chēng)為圓錐面的頂點(diǎn)，二直線的夾角稱(chēng)半頂角，試求頂點(diǎn)為原點(diǎn)，旋轉(zhuǎn)軸為 z 軸，半頂角為的圓錐面方程 解xyzO如圖，依題意，在yoz平面上，直線的方程為cot yz 故cot22xyz (1) 這即是所求圓錐面方程。 顯然：錐面上的點(diǎn)都滿(mǎn)足（1）式， （1）式的解都在錐面上，故（1）式為所求 解求xoz平面上的雙曲線12222czax 繞zx,軸旋轉(zhuǎn)一周所得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程 繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面

40、方程為： 122222czyax繞z軸旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面方程為： 122222czayx二者均稱(chēng)之為旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)雙雙曲曲面面 xyzO圖旋轉(zhuǎn)雙曲面yyxxzzO返回定義：用一系列平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，根據(jù)其截面形狀綜合得到曲面的形狀，這種方法稱(chēng)之為截痕法截痕法 OxyzOxyz由方程1222222czbyax所表示的曲面稱(chēng)為橢球面，a b c, ,稱(chēng)為橢球面的三個(gè)半軸 討論：1, 1, 1:12222220czbyax由有界性知： czbyax,故二次曲面是一個(gè)有限的圖形，并被圍在一個(gè)以cba2 ,2 ,2為長(zhǎng)寬高的長(zhǎng)方體之內(nèi) 20對(duì)稱(chēng)性： 是否關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱(chēng)？法：三坐標(biāo)反號(hào)不變 是否關(guān)于坐

41、標(biāo)面對(duì)稱(chēng)？法：一坐標(biāo)反號(hào)不變 是否關(guān)于坐標(biāo)軸對(duì)稱(chēng)？法：二坐標(biāo)反號(hào)不變 30截距： 與三坐標(biāo)軸的交點(diǎn)。法：令二變量為0，解另一變量 40與坐標(biāo)面的截線。 法：令一變量為 0，考查平面曲線 50平行截口： 用一系列平行于坐標(biāo)面的平面截曲面，考查其截口，以此顯示其形狀（關(guān)鍵） OxyzaabbccOxyz截面為同心橢圓Oxyz截面為同心橢圓Oxyz截面為同心橢圓討論：由方程zqypx2222,)0(qp所表示的曲面稱(chēng)為橢圓拋物面 0,10qp時(shí)，0z，圖形在xoy面上方，yx,無(wú)限增大時(shí)，圖形可延伸 zyx,20反號(hào)，可得圖形關(guān)于yozzox,面對(duì)稱(chēng)，關(guān)于z軸對(duì)稱(chēng)。 30過(guò)原點(diǎn) :40坐標(biāo)面截口為原點(diǎn)與為拋物線與xoyyozxoz)2( ,) 1 (:50平行截口;,) 1 (為一系列拋物線與yozxoz為橢圓與xoy)2(xyzO:40坐標(biāo)面截口為原點(diǎn)與為拋物線與xoyyozxoz)2( ,) 1 (:50平行截口;,) 1 (為一系列拋物線與yozxoz為橢圓與xoy)2(xyzO拋物面10pq為旋旋