2021廣東高考數(shù)學(xué)理科試題及答案

1、2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試廣東卷數(shù)學(xué)理科一、選擇題:本大題共8小題,每題 合題目要求的5分,總分值40分。在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中 ，只有一項(xiàng)就是符設(shè)i為虛數(shù)單位,那么復(fù)數(shù)iA. 6 5iB.6 5iC.6 5iD.設(shè)集合U1,2,3,4,5,6 ,M1,2,4 ,那么CuMA. UB.1,3,5C.3,5,6D.假設(shè)向量BA(2,3), CA (4,7),那么BCA. ( 2, 4)B.(2,4)C.(6,10)D.以下函數(shù)中，在區(qū)間0,上為增函數(shù)的就是A. y In(x2) b. y .；x 1 C.x1y 2d. yy2變量x, y滿足約束條件 xy 1,貝 Uz 3x y的最

2、大值為xy 1A. 12 B.11C.3 D.1某幾何體的三視圖如圖1所示，它的體積為A. 12B.45C. 57D.811.2.3.4.5.6.6 5i2,4,67.從個(gè)位數(shù)與十位數(shù)之與為奇數(shù)的兩位數(shù)中任取一個(gè)，其個(gè)位數(shù)為0的概率就是A.-9C.-9B.D.8.對(duì)任意兩個(gè)非零向量6, 10)丄衛(wèi)，假設(shè)向量a,b滿足|a|b| 0, a,b的夾角 卩卩且a b與b a都在集合 n | n Z中,那么a b = 2D.C.1 35A.B.1C.D.2 22二、填空題：本大題共7小題,考生作答6小題,每題5分,總分值30分。一必做題913題9.不等式|x 2|x| 1的解集為10. (x26的展開(kāi)

3、式中x3的系數(shù)為x字作答。用數(shù)11.遞增的等差數(shù)列an滿足a11,a32324 ,那么a < n12.曲線y x3 x 3在點(diǎn)1,3處的切線方程13.執(zhí)行如圖2所示的程序框圖，假設(shè)輸入n的值為二選做題1415題,考生只能從中選做一題8,那么輸出s的值為14.坐標(biāo)系與參數(shù)方程選做題在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線G與C2參數(shù)方程分別為x ty -t的交點(diǎn)坐標(biāo)為x v 2 cost為參數(shù)與為參數(shù),那么曲線C1與C2y V2 si n15.幾何證明選講選做題如圖3,圓0的半徑為1,代B,C為圓周上的三點(diǎn)，滿足 ABC 30 ,過(guò)點(diǎn)A作圓O的切線與OC的延長(zhǎng)線 交于點(diǎn)P,那么PA 。三、解答題：本

4、大題共6小題,總分值80分。解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程與演算步驟。16、本小題總分值12分函數(shù)f (x) 2cos(x 其中 0,x R的最小正周期為1061求的值;2設(shè)，0,亍,f5)6, f(5) 16 ,求 cos( )的值。3561717、本小題總分值13分4所示,其中成績(jī)分組區(qū)間就是某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖40,50 , 50,60 , 60,70 , 70,80 , 80,90 , 90,100。1求圖中x的值；2從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取 2人，該2人中成績(jī) 在90分以上含90分的人數(shù)記為 ，求 的數(shù)學(xué)期望。矩18、本小題總分值13分如圖5,在

5、四棱錐P ABCD中,底面ABCD為形,PA 平面ABCD，點(diǎn)E在線段PC上,PC 平面BDE1證明：BD 平面PAC 假設(shè)PA 1, AD 2,求二面角B PC A的正切值。19.本小題總分值14分設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)與為Sn,滿足2Srian 1n 1*21,n N ,且a1, a25,a3成等差數(shù)列。1求31的值；2求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；1 13證明：對(duì)一切正整數(shù) n,有川-3。a?f 1 1aan220、本小題總分值14分x2在平面直角坐標(biāo)系 xOy中，橢圓C :篤a2y21(a b 0)的離心率為eb2,且橢圓C上的點(diǎn)到Q(0,2)的距離的最大值為 3、(1)求橢圓C的方程；(2)在橢

6、圓C上，就是否存在點(diǎn) M (m, n),使得直線l: mx ny 1 與圓 0 : x2 y21相交于不同的兩點(diǎn)A, B,且 AOB的面積最大？假設(shè)存在，求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的AOB的面積；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。21、(本小題總分值14分)設(shè) a 1,集合 A x R|x 0 ,B x R|2x2 3(1 a)x 6ax 0 , D A什 B(1) 求集合D (用區(qū)間表示);32(2) 求函數(shù)f(x) 2x 3(1 a)x6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn)。2021年普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試(廣東卷)數(shù)學(xué)(理科)參考答案：18: DCAAB CDB注:第 8 題解析:因?yàn)?a：b cos cos 2,

7、 b a -1 cos cos 1J b b |b|2a a |a|且a jb與bja都在集合JnZ中，所以，b a 11 cos15回,所以 a"b | cos2cos2'|a|2|a |2cos丫|b|42“h所以a H b 2 ,故有a1 b 1 2119、(,(寫(xiě)成集合形式也給分x|x) 10 、 2011、 2n 122 12、2x y 1 0 13 、814、(1,1)15、,3第9題注解：|x 2 | | x| 1|x-(-2)|-|x-0|1即數(shù)軸上到-2的點(diǎn)與到0點(diǎn)距離只差小于1的點(diǎn)的集合。三、解答題:本大題共6小題,總分值80分。解答須寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)

8、程與演算步驟。16、(本小題總分值12分)函數(shù)f(x) 2cos( x )(其中 0,x R)的最小正周期為10 6(1) 求的值；56516(2) 設(shè)，0, , f(5), f(5),求 cos( )的值。2356172 1解:(1)由題意 10,解得。56 .342cos()sincos(2)由題25,即5,又J0,可得516_82 .152coscossin171717483 1513所以cos()coscossin sin -。5175 178517、(本小題總分值13分)某班50位學(xué)生期中考試數(shù)學(xué)成績(jī)的頻率分布直方圖如圖4所示,其中成績(jī)分組區(qū)間就是40,50 , 50,60 , 60

9、,70 , 70,80 ,(1) 求圖中x的值；(2) 從成績(jī)不低于80分的學(xué)生中隨機(jī)選取在90分以上(含90分)的人數(shù)記為，求解:(1)由題意：(0.054 0.010.006x 0.018;8090 分有5050 0.006 10 3 人。0.018 10所有可能的取值為90, 1,2P( 0) S 予P( 1)c9c3£0)一 212又 PAPC P,. BD 平面PAC。129故 E 01-2丄 解：設(shè)AC, BD交于0,連結(jié)0E,由題PC BE, PC OE ,所以BEO即為二面角B PC A的平面角。由 知，BD AC ,所以四邊形ABCD正方形，1 AC 2, PC .

10、 PA2 AC22OEC易得ocPAC 90又 OCEPCA,有 OECPAC,故OEPAOC,OEPCpaOCPC。在RtBOE 中,tanBEOOBOE所以二面角B PC19.(本小題總分值14分)A的正切值為3設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)與為Sn,滿足2Sn an 12* 11,n,且ai, a25,a3成等差數(shù)列。(1)求ai的值；求數(shù)列an的通項(xiàng)公式;1證明：對(duì)一切正整數(shù)n,有a2III2a1解：(1)由題 2(a-i2(a2a2a?)5)22a3a1當(dāng)n 1時(shí)，a1當(dāng)n 2時(shí),2Snan 1123a32n1,解得a2a35 ,故 a 1192 Sn 1 an2n由-得:2an an 1 an

11、2n,整理得3an an 12n,an 1尹1 鶴 1),故即12n(n 2)為公比為33的等比數(shù)列，2首項(xiàng)為224 (2)n 2an3n2n,經(jīng)驗(yàn)證當(dāng)n 1時(shí),a11綜上an3nn*2 (n N )。(3)當(dāng) nan3n2n(1 2)n 2n 1cn 2Cn 22lb2* 12n2n2 2Cn 2litc：12n12 2Cn 22n(n1)又因?yàn)閍2(21),所以，an2n(n1), n1所以，丄an12n(n 1)(n1所以，1a1maana2a32(1III1(1 丄)320、(本小題總分值14分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓2yb21(a0)的離心率為2 ,且橢圓c上的點(diǎn)到Q(0,2

12、)的距離的最大值為3、(1)求橢圓C的方程；在橢圓C上，就是否存在點(diǎn)M (m, n)，使得直線l :mxny 1 與圓 O : x22y1相交于不同的兩點(diǎn) 代B ,且 AOB的面積最大？假設(shè)存在,求出點(diǎn)M的坐標(biāo)及對(duì)應(yīng)的AOB的面積；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：(1)由e -a-a2,所以b23a2c2設(shè)P(x, y)就是橢圓2C上任意一點(diǎn)，那么2a2_y_b222 y、 2 2 a (12) a 3yb| PQ | , x2(y 2)2 ,a2C 2/3y (y2)2、 2( y 1)2a2 6(遼 a y3a31 fa,即 a.3 時(shí),y1時(shí),|PQ|有最大值.a26 3,可得a所以 b 1

13、,c當(dāng)§a3fa時(shí),|PQ|有最大值,(3a 2)233,可得-3,舍去。所以2b 1,c 邁故橢圓C的方程為：丄31.2 2 因?yàn)镸(m, n)在橢圓C 上,所以 n31, m22設(shè) A(Xi,yi), B(X2, y2)x ny 由2X11,得(m2 2)X2mx1 n2所以,4m24(m2n2)(1n2)4n 2(m2n21)4n2(21 2、2n)0,可得n2并且:X22m xx22 , X1X2m n2n2n所以,y2mx1 1 mx2n所以,|AB|(X1 X2)2(%2 2( 12 n2212 m2nn2)mxny 1的距離)設(shè)點(diǎn)O到直線AB的距離為所以S'.Q

14、AB-|AB| h21 m(xi x2)2m X1X2n22m2ny2)2、. x2y； xfy； 2(X2y2)2J1 m(亦可|AB|產(chǎn)7,其中d為圓心到直線h,那么hm22 n 1112221212,由 0 n 4,得 m n 3 n (1,3),所以，t (,1)m n23S：QAB, t(1 t)1,t4G1)1 1所以，當(dāng)t 時(shí)，S：qab面積最大，最大為一。2丄2此時(shí)，M(0,2)21、(本小題總分值14分)設(shè) a 1,集合 A x R|x 0 ,B x R|2x23(1 a)x 6ax 0 , D B1當(dāng)0 a 1時(shí)，X1x22(1 a)。，乂必 3a 0 ,所以 x-i 0,

15、x2 0(1)求集合D (用區(qū)間表示);(2)求函數(shù)f(x)2x33(1、2a)x6ax在D內(nèi)的極值點(diǎn)。解：(1)對(duì)于方程2x23(1a)x6a0判別式9(1a)248a3(a3)(3a 1)因?yàn)閍 1,所以a 30:當(dāng)丄3a1時(shí)，0，此時(shí)B R,所以D(0,);當(dāng)當(dāng)a1時(shí)，0,此時(shí)Bx|x 1,所以D (0,1)lJ(1,)；13當(dāng)a時(shí)，0,設(shè)殳方程2x23(1 a)x6a0的兩根為心X2且X1X2 ,那么3x3(1a)x3(a3)(3a 1)3(1a)x3(a 3)(：3a 1)4,x24B x | x 論或x x2此時(shí),D (x,X1)|J(X2,)(0,31a) x3(a 3)(3a 1)(3(1 a) 、,3(a 3)(3a 1)4當(dāng)a 0時(shí)，x 3a 0,所以為0, x20此時(shí)，D (X2,a).3(a 3)(3a 1) f (x) 6x2 6(1 a)x 6a 6(x 1)(x a), a 1所以函數(shù)f(x)在區(qū)間a,1上為減函數(shù)，在區(qū)間(，a與1,)上為增函數(shù)a 1時(shí)，因?yàn)镈 ,所以f(x)在D內(nèi)沒(méi)有極值點(diǎn)；1 時(shí),D (0,1巾(1, a 1時(shí)，3),所以f (x)在D內(nèi)有極大值點(diǎn)a(0,