人教版高中數(shù)學(xué)在“病題”改造中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力

1、參與參與再參與在“病題”改造中培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新能力目前我國教育工作者編撰了大量的教輔資料，不少資料上的例習(xí)題難免會出現(xiàn)差錯，即造成“病題”。在課堂教學(xué)或個別輔導(dǎo)教學(xué)中要恰當(dāng)?shù)靥幚磉@些“病題”，即不要簡單地下結(jié)論：“這道題出錯了，不要做”；“這道題條件不足，應(yīng)更改為”；“這道題條件過強(qiáng)，應(yīng)糾正為”等等。教育者此時要抓住機(jī)會，讓受教育者參與討論，自主探求這類“病題”錯在何處？如何更正？有哪幾條變換途徑？從而“變廢為寶”，“變封閉為開放”。這種處理“病題”的教法不但能培養(yǎng)學(xué)生解開放題的能力，也能促使學(xué)生養(yǎng)成自主探究的思維習(xí)慣，形成良好的思維品質(zhì)，而且還是培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)新能力的一條重要途徑。例1 把函數(shù)的圖

2、象向左平移2個單位后，作出該圖象關(guān)于直線的對稱圖形f，則f所對應(yīng)的函數(shù)是 。筆者在課堂教學(xué)中先讓學(xué)生自解此題，并叮囑學(xué)生要作解后反思。少頃有較多的同學(xué)給出了答案，筆者提問：你在解后反思中發(fā)現(xiàn)問題了嗎？你的解法嚴(yán)密嗎？是什么原因?qū)е陆夥ú粐?yán)密？此時學(xué)生興趣盎然，討論熱烈。生甲：我的答案是：，但題目并未說明存在反函數(shù)，故我的推理不嚴(yán)密。生乙：這是個“病題”！應(yīng)增加條件：“有反函數(shù)”。教師：對，你們講得很好！還有其它改題方法嗎？生丙：可增加條件：“在定義域內(nèi)是增函數(shù)”。生?。嚎稍黾樱骸霸诙x域內(nèi)是單調(diào)函數(shù)”。生戊：可增加：“確定的映射是一一映射”。通過自主討論，不單單改正了一個“病題”，更大的收獲在

3、于深層次地理解了推理“”的先決條件及反函數(shù)存在的幾個充分條件，這對培養(yǎng)學(xué)生的思維品質(zhì)（嚴(yán)謹(jǐn)性與創(chuàng)造性）大有裨益。 例2 設(shè)g為的重心，已知bc邊的長為8，ac、ab邊的中線bd、ce長分別為8和7，試問：動點(diǎn)g的軌跡的是什么曲線？教師：請大家動手做一做，看能得出什么結(jié)論？生甲：取bc所在直線為軸，線段bc中垂線為軸，設(shè)g。因為，所以，故g點(diǎn)的軌跡是以b、c為焦點(diǎn)的橢圓。生乙：怪了，我的答案怎么會與甲完全不一樣：因，所以軌跡應(yīng)是雙曲線的左支。教師：這究竟是何原因？是有兩個答案呢？還是題目有誤？生丙：噢！原來這是個“病題”：由于兩條中線的長為定值，故點(diǎn)g實(shí)際上是一個定點(diǎn)！教師：應(yīng)如何改變題設(shè)條件，

4、才能使g點(diǎn)的軌跡是一條曲線？生?。簯?yīng)改為兩中線長的和等于15，則軌跡為橢圓。生戊：也可改為兩中線長的差為1，則軌跡為雙曲線。教師：還有其他改題方法嗎？（教師要善于抓住這一訓(xùn)練發(fā)散性、創(chuàng)新性思維的極佳時機(jī)）生己：又可改為兩中線bd、ce的長之比為8 ：7，則軌跡是圓。生庚：還可在兩條中線中去掉一條，則軌跡也是圓。教師：改得都很好！請同學(xué)們再想一想，除求點(diǎn)g的軌跡外，還能求哪個動點(diǎn)的軌跡？生辛：還能用代點(diǎn)法求點(diǎn)a的軌跡。熱烈的討論，高漲的情緒，充分發(fā)揮了學(xué)生的主體作用，有效地促使學(xué)生加深了對圓錐曲線及其軌跡的理解與認(rèn)識，培養(yǎng)了學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣與能力（包括合情推理、發(fā)現(xiàn)、創(chuàng)新能力）。例3 已知是數(shù)

5、列的前n項和，。設(shè)，證明是等比數(shù)列。根據(jù)書上所附的提示，應(yīng)改為。但筆者并非簡單地更正過來，而是運(yùn)用如下教法。教師：怎樣證明是等比數(shù)列？生甲：只需證明（q是不為零的常數(shù)，）教師：大家不妨一試。（力促學(xué)生既動腦又動手）生乙：=咦！此題怪了，以下無法證明是等比數(shù)列呀！生丙：會不會題目有誤？由題設(shè)條件可求得b1=4,b2=11,b3=28,顯然，這說明根本不是等比數(shù)列，這果然是一道病題！教師：你們能憑借反例作出決斷，這很好！這其實(shí)是一種重要而又常用的方法。那么，本題病因在哪里？如何更正？（引發(fā)討論）生丁：病因似在與的關(guān)系式有誤。教師：怎樣找到這個正確的關(guān)系式呢？生戊：可用待定系數(shù)法：設(shè)，則 = = =

6、，當(dāng)，即時，就是等比數(shù)列。生已：上述推理只有當(dāng)時，才能成立。教師：大家再議一下，當(dāng)時，能否為等比數(shù)列？生庚：時，故若，則當(dāng)且僅當(dāng)是等比數(shù)列時，是等比數(shù)列。教師：說得對！那么根據(jù)題目條件，有沒有可能是等比數(shù)列？（趁熱打鐵，進(jìn)一步優(yōu)化思維品質(zhì)思維的嚴(yán)謹(jǐn)性）生辛：由，可得。假設(shè)為等比數(shù)列，則，化為，得。可知在該條件下，有可能是等比數(shù)列（公比必為2）。教師，大家的發(fā)言很好！那么和之間是否還存在其他關(guān)系，也能得出是等比數(shù)列呢？請大家在課后繼續(xù)探索吧！至此，課堂達(dá)到了高潮，這樣處理，最大限度地挖掘了學(xué)生的智力因素與非智力因素，不僅使他們加深了對等比數(shù)列幾個充要條件的認(rèn)識，而且讓他們感受到自主討論、自主發(fā)現(xiàn)的樂趣，從而激發(fā)了他們學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。針對目前教輔資料中“病題”較多的現(xiàn)實(shí)，筆者認(rèn)為這種教法既能提高學(xué)生自學(xué)教輔資料的診病能力和糾錯能力，又能培養(yǎng)他們的數(shù)學(xué)素質(zhì)、思