研究卡諾熱機(jī)及其效率

1、研究卡諾熱機(jī)及其效率research on the thermal machine and its efficiency淮陰工學(xué)院數(shù)理學(xué)院應(yīng)用物理1101班沈梅玲1104105106the establishment of the particle physics and the application of physicshuaiyin tech applied physics shen mci-ling摘要：木文給出了對(duì)卡諾熱機(jī)效率(主要是理想氣體和范德瓦爾斯氣體)的詳細(xì)推導(dǎo)，并對(duì) 具進(jìn)行推廣，還有對(duì)其拓寬與發(fā)展，從而使人們對(duì)卡諾熱機(jī)有一個(gè)更為全面的認(rèn)識(shí)。abstract: this pa

2、per not only gives a detailed derivation for the efficiency of the carnot thermal machine, but also extends to the efficiency of the carnot refrigerating machine all of those make an overall cognition to the carnot thermal machine for people we can look at the formation and development.關(guān)鍵詞：卡諾循壞；效率；拓

3、寬keywords: carnot cycle; efficiency; broaden1引言法國軍事工程師薩迪卡諾(scarnot, 17961832)于1824年出版了關(guān)于火的動(dòng)力的思考一書，總結(jié)了他早期的研究成果?？ㄖZ以找出熱機(jī)不完 善性的原因作為研究的出發(fā)點(diǎn)，闡明從熱機(jī)屮獲得動(dòng)力的條件就能夠改進(jìn)熱機(jī)的 效率，分析了蒸汽機(jī)的基本結(jié)構(gòu)和工作過程，由理想循環(huán)入手，以普遍理論的形 式，作出關(guān)于消耗熱而得到機(jī)械功的結(jié)論。他指出熱機(jī)必須在高溫?zé)嵩春偷蜏責(zé)?源之間工作，“凡是有溫度差的地方就能夠產(chǎn)生動(dòng)力；反之，凡能夠消耗這個(gè)力 的地方就能夠形成溫度差，就可能破壞熱質(zhì)的平衡?！笨ㄖZ根拯熱質(zhì)守恒思想和

4、永動(dòng)機(jī)不可能制成的原理，進(jìn)一步證明了在相同溫度的高溫?zé)嵩春拖嗤瑴囟鹊牡?溫?zé)嵩磟間工作的一切實(shí)際熱機(jī)，其效率都不會(huì)大于在同樣的熱源z間工作的可 逆卡諾熱機(jī)的效率?？ㄖZ曲此推斷：理想的可逆卡諾熱機(jī)的效率冇一個(gè)極大值， 這個(gè)極大值僅由加熱器和冷凝器的溫度決定，一切實(shí)際熱機(jī)的效率都低于這個(gè)極 值。2卡諾熱機(jī)及其效率2.1卡諾循環(huán)及卡諾熱機(jī)法國工程師卡諾在對(duì)蒸汽機(jī)做熱力學(xué)研究時(shí)，采用與眾不同的方法， 對(duì)蒸汽機(jī)做了簡(jiǎn)化。他設(shè)想，有一特殊的循環(huán)過程，在該循環(huán)過程屮，系統(tǒng)僅與溫度為、t?的兩個(gè)熱源接觸，且該循環(huán)由兩個(gè)可逆等溫過程及兩個(gè) 可逆絕熱過程組成，我們稱此類循環(huán)過程為卡諾循環(huán)。按照卡諾循環(huán)的順 吋針方

5、向進(jìn)行工作的熱機(jī)稱作卡諾熱機(jī)；反之，按照卡諾循環(huán)的逆吋針方 向進(jìn)行工作的機(jī)械裝置稱作卡諾制冷機(jī)。2. 2卡諾熱機(jī)的效率2. 2.1理想氣體為工作物質(zhì)的卡諾熱機(jī)的效率設(shè)某熱機(jī)按照順時(shí)針卡諾循環(huán)進(jìn)行工作，且1、2、3、4各點(diǎn)的狀態(tài)參量分別 為(a,人心、(2,診g、化，滄7d、(r,人q ,現(xiàn)在來推導(dǎo)該卡諾熱機(jī)的效率卡熱。圖1卡諾循壞工作原理對(duì)于物質(zhì)的量為mol的理想氣體，由圖1知：2-3, 4-1為絕熱過程，由絕熱過程方程，有：7；匕了_1 二篦了_1(8)£片了_1二兀為/_1(9)其屮，了為定壓摩爾熱容與定體摩爾熱容之比7 =c p.y cv,ri >1,物質(zhì)一定時(shí)，k為常數(shù)

6、。聯(lián)立(8) (9)得:vjvvjv,(10)分析整個(gè)循環(huán)過程得： 1-2等溫膨脹(),系統(tǒng)對(duì)外做功，內(nèi)能不變，從外界吸熱z«=0(11)f pdv f vrtdv i v.z 、爐- u =- j'= -vrtan%/旳(12)聯(lián)立(2) (11) (12)得：妮+/弘二一妮二次7；in%/%>0(13)(14)(15)(16) 2-3絕熱膨脹(q%),外界對(duì)系統(tǒng)做功，內(nèi)能減少，既不吸熱，也不放熱二0 3-4等溫壓縮(>%),外界對(duì)系統(tǒng)做功，內(nèi)能不變，對(duì)外界放熱 /仏二0v4v4jprfv vrtldv/v酬二一、'3二一必二一聯(lián)立(2) (15)(得:

7、爐-幽 + z 仏二-爐rtn v.j <0 (放熱)(17) 4-1絕熱壓縮(),外界對(duì)系統(tǒng)做功，內(nèi)能增加，既不吸熱，也不放熱 姑0(18)聯(lián)立(4) (10) (13) (14) (17) (18),得到從初態(tài)1出發(fā)，回到末態(tài)(狀態(tài)1) 的整個(gè)循環(huán)過程中，卡諾熱機(jī)效率為：卡熱二(|0吸 i - i q z& i )/ i 0吸 i =( i 01 i - i &2 )/101 丨二(ri n%/%/din%/%) / vrtaxvj v,=tl-tj t(19)2. 2. 2范德瓦爾斯氣體氣體為工作物質(zhì)的卡諾熱機(jī)的效率實(shí)際上，熱機(jī)的工作物質(zhì)一般都不是理想氣體，那么范德

8、瓦爾斯氣體的卡諾 循環(huán)效率應(yīng)滿足什么關(guān)系?實(shí)際氣體的范德瓦爾斯方程，即v mol氣體的狀態(tài)方 程為(” v a/ 卩)(戶肋)二 vrt(1)其屮，a, b為范徳瓦爾斯常量，可由實(shí)驗(yàn)測(cè)得。把完全遵守上式的氣體稱為范 德瓦爾斯氣體，它比理想氣體更接近實(shí)際氣體。下面就是范德瓦爾斯氣體為工作 物質(zhì)來研究卡諾循環(huán)效率。1絕熱過程方程當(dāng)范徳瓦爾斯氣休經(jīng)歷一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)絕熱過程時(shí)，系統(tǒng)與外界無熱交換，即dq=o系統(tǒng)的內(nèi)能變化為d 啟 vca 升 v2aa v/ v2(2)其中，g為氣體定體摩爾熱容系統(tǒng)對(duì)外做功dj=/?d v(3)根據(jù)熱力學(xué)第一定律aq-ae+aa(4)可得0= vca t-y /<?/

9、 v-vpv再結(jié)合(1)式，就有qa7-rtav/v-v即dd-(片必)(5)對(duì)(6)式積分，并整理得7( f v6) r/cv=常量(6)這就是范德瓦爾斯氣體絕熱過程的過程方程。由(6)和(1)式還可以還可以得到p ,v表示的絕熱過程方程，即(”/%)(戶肋)3r/cv二常量(7)2等溫過程吸收的熱量當(dāng)范德瓦爾斯氣體作準(zhǔn)靜態(tài)的等溫變化時(shí)，系統(tǒng)吸收的熱量，由(2) (3) (4) 聯(lián)立可得妬vca升v2a!加*pd k考慮到等溫過程d0再結(jié)合式(1)就有d滬(戶肋)3卡諾循環(huán)效率卡諾熱機(jī)的循環(huán)過程為卡諾循環(huán)，它是由兩個(gè)等溫過程和兩個(gè)絕熱過程構(gòu)成的循 環(huán)。 在等溫膨脹的過程屮，體積由仏增大到v2

10、,氣體從高溫?zé)嵩?溫度為tj 吸 收的熱量有式(7)可得qvrtym-vlj) / v-vti) 在等溫壓縮過程中，體積由也壓縮到v-氣體向低溫?zé)嵩?溫度為tj放出的熱量為q vrtw (v:-vb)/(v.-vb)由循環(huán)效率的定義，可得卡諾循環(huán)效率為二1-q/q二 1-(乙in (吻/(%-)/(7；in( %-力)/(%-力)(8) 對(duì)丁兩絕熱過程，由(6)可知7；(d 叫 t. (v- v6)r/cv7；(%-處)r©二 t2(v-v6)r/cv 兩式相比可得(v- vb) / (v- v6) - (v-rrz?) / (va vb)(9)將(9)代入(8), t是范徳瓦爾斯氣

11、體的卡諾循環(huán)效率可表示為ri=-tj t、 它與理想氣體卡諾循環(huán)效率表達(dá)式完全一致。3卡諾循環(huán)的拓寬與發(fā)展僅僅考慮工質(zhì)與熱源z間熱傳導(dǎo)不可逆性的不可逆卡諾循環(huán)，稱為“內(nèi)可逆 卡諾循環(huán)”，仍然認(rèn)為工質(zhì)內(nèi)部經(jīng)歷了一個(gè)準(zhǔn)靜態(tài)的、理想化的卡諾循環(huán)，“內(nèi) 可逆卡諾循環(huán)”熱機(jī)效率為幾=1( "©%實(shí)際熱機(jī)除了工質(zhì)與熱源z間熱傳導(dǎo)不可逆外，述冇其他不可逆效應(yīng)，應(yīng)在 “內(nèi)可逆卡諾循環(huán)”的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步研究其他不可逆因素對(duì)熱機(jī)效率的影響。 曲于爛變可以表征過程的不可逆程度，故口j引進(jìn)一個(gè)與爛增量相關(guān)的無量綱量i 來表征“不可逆程度”，從而給出“不可逆卡諾循環(huán)”熱機(jī)效率表達(dá)式n =1- (m/

12、q 1/2對(duì)于“不可逆卡諾循環(huán)的實(shí)際熱機(jī)”，/>1；當(dāng)7=1時(shí)，“不可逆卡諾循環(huán)”就轉(zhuǎn)化 為“內(nèi)可逆卡諾循環(huán)”。如果從另一個(gè)角度考慮理想化的可逆卡諾循環(huán)與實(shí)際的差別，工質(zhì)只與兩個(gè) 恒溫?zé)嵩唇佑|而與其他外界絕對(duì)地絕熱是難以實(shí)現(xiàn)的，應(yīng)將絕熱過程換為多方過 程，這樣，可給岀“概括性卡諾循環(huán)”及其效率的表達(dá)式nf 二 1-q/q =1-爲(wèi)($-$)/7($-5)另外，從熱機(jī)向“熱化學(xué)機(jī)”擴(kuò)展，有人提出“廣義卡諾循環(huán)”理論，并擴(kuò) 展到“大氣循環(huán)”、“自然循環(huán)”、“地球熱機(jī)”等等。結(jié)論以上是對(duì)卡諾熱機(jī)及其效率進(jìn)行的說明，而且還以理想氣體和范德瓦爾斯氣 體為工作物質(zhì)對(duì)其效率的進(jìn)行了詳細(xì)的推導(dǎo)。我們都知道，卡諾循環(huán)是理想化的 可逆循環(huán)，但是實(shí)際熱機(jī)的效率都比理想化的可