解三角形應(yīng)用舉例(3)課件

1、角度角度距離距離有關(guān)三角形計算有關(guān)三角形計算解斜三角形公式、定理正弦定理：正弦定理：余弦定理：余弦定理：三角形邊與角的關(guān)系：三角形邊與角的關(guān)系：RCcBbAa2sinsinsin Abccbacos2222 Baccabcos2222 Cabbaccos2222 1801CBA、2、 大角對大邊，小角對小邊大角對大邊，小角對小邊 。，bcacbA2cos222，cabacB2cos222。abcbaC2cos2222.余弦定理的作用余弦定理的作用（1）已知三邊，求三個角；）已知三邊，求三個角；（2）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩角；）已知兩邊和它們的夾角，求第三邊和其它兩角； （3）判

2、斷三角形的形狀。）判斷三角形的形狀。中，在ABC推論推論:為直角；，則若Ccba222為銳角；，則若Ccba222為鈍角；，則若Ccba222三角形的面積公式三角形的面積公式BacAbcCabSsinsinsin212121斜三角形的解法斜三角形的解法已知條件已知條件定理選用定理選用一般解法一般解法用正弦定理求出另一對角用正弦定理求出另一對角,再由再由A+B+C=180，得出第三角，得出第三角,然然后用正弦定理求出第三邊。后用正弦定理求出第三邊。正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理正弦定理正弦定理余弦定理余弦定理由由A+B+C=180,求出另一角，再求出另一角，再用正弦定理求出兩邊。用正弦定理求出

3、兩邊。用余弦定理求第三邊，再用余弦用余弦定理求第三邊，再用余弦定理求出一角，再由定理求出一角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。用余弦定理求出兩角，再由用余弦定理求出兩角，再由A+B+C=180得出第三角。得出第三角。一邊和兩角一邊和兩角(ASA或或AAS)兩邊和夾角兩邊和夾角(SAS)三邊三邊(SSS)兩邊和其中一兩邊和其中一邊的對角邊的對角(SSA) 解決實際測量問題的過程一般要充分認(rèn)真理解題意，正確做出圖形，把實際問題里的條件和所求轉(zhuǎn)換成三角形中的已知和未知的邊、角，通過建立數(shù)學(xué)模型來求解。創(chuàng)設(shè)情境創(chuàng)設(shè)情境測量問題：測量問題：1 1、水平距離的測量、水平距離的測量兩點間不能到

4、達，又不能相互看到。 需要測量CB、CA的長和角C的大小，由余弦定理， 可求得AB的長。 2222cosABCACBCA CBC兩點能相互看到，但不能到達。 需要測量BC的長、角B和角C的大小，由三角形的內(nèi)角和，求出角A然后由正弦定理， 可求邊AB的長。sinsinABBCCA兩點都不能到達兩點都不能到達第一步第一步:在ACD中，測角DAC，由正弦定理 sin ADCsinDACACDC求出AC的長； 第二步第二步:在BCD中求出角DBC，由正弦定理 sin BDCsinDBCBCDC求出BC的長； 第三步第三步: :在ABC中,由余弦定理 2222cosABCACBCA CBC求得AB的長。

5、 在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做定的線段叫做基線基線, ,如例如例1 1中的中的ACAC，例例2 2中的中的CD.CD.基線的選取不唯一，基線的選取不唯一，一般一般基線越長，測量的精確度越基線越長，測量的精確度越高高. .形成結(jié)論形成結(jié)論實例講解實例講解解：根據(jù)正弦定理，得解：根據(jù)正弦定理，得ABCACACBABsinsin)(7 .6554sin75sin55)7551180sin(75sin55sinsin55sinsinmABCACBABCACBACAB答：答：A,B兩點間的距離為兩點間的距離為65.7米。米。例例2、A、B兩點都在河的對岸（不可到達

6、），兩點都在河的對岸（不可到達），設(shè)計一種測量兩點間的距離的方法。設(shè)計一種測量兩點間的距離的方法。分析：分析：用例用例1的方法，可以計算出河的的方法，可以計算出河的這一岸的一點這一岸的一點C到對岸兩點的距離，再到對岸兩點的距離，再測出測出BCA的大小，借助于余弦定理的大小，借助于余弦定理可以計算出可以計算出A、B兩點間的距離。兩點間的距離。解：測量者可以在河岸邊選定兩點解：測量者可以在河岸邊選定兩點C、D，測得，測得CD=a,并并且在且在C、D兩點分別測得兩點分別測得BCA=, ACD=, CDB=, BDA=.在在ADC和和BDC中，應(yīng)用正弦定理得中，應(yīng)用正弦定理得)sin()sin()(1

7、80sin)sin(aaAC)sin(sin)(180sinsinaaBC計算出計算出AC和和BC后，再在后，再在ABC中，應(yīng)用余弦定理計中，應(yīng)用余弦定理計算出算出AB兩點間的距離兩點間的距離cos222BCACBCACAB例題例題2:2:要測量河對岸兩地要測量河對岸兩地A A、B B之間的距離，在岸邊之間的距離，在岸邊選取相距選取相距 米的米的C C、D D兩地，并測得兩地，并測得ADC=30ADC=30、ADB=45ADB=45、ACB=75ACB=75、BCD=45BCD=45，A A、B B、C C、D D四點在同一平面上，求四點在同一平面上，求A A、B B兩地的距離。兩地的距離。

8、100 3解：在解：在ACDACD中，中，DAC=180DAC=180（ACD+ADCACD+ADC）=180=180(75(75+45+45+30+30)=30)=30AC=CD=AC=CD=100 3在在BCDBCD中，中，CBD=180CBD=180（BCD+BDCBCD+BDC）=180=180（4545+45+45+30+30）=60=60 由正弦定理由正弦定理 ， 得得sin BDCsinDBCBCDCsin BDC100 3sin75200sin75sinDBCsin60DCBC在在ABCABC中由余弦定理，中由余弦定理， 2222cosABCACBCA CBC222(100 3

9、)(200sin75 )2 100 3200sin75 cos755 100 100 5AB 所求所求A A、B B兩地間的距離為米。兩地間的距離為米。 100 5選定選定兩個可到達點兩個可到達點C C、D D； 測量測量C C、D D間的距離及間的距離及ACBACB、ACDACD、BDCBDC、ADBADB的大??；的大??；利用正弦定理求利用正弦定理求ACAC和和BCBC； 利用余弦定理求利用余弦定理求AB.AB.測量兩個不可到達點之間的距離方案：測量兩個不可到達點之間的距離方案：形成規(guī)律形成規(guī)律兩點之間不可通也不可視兩點之間可視不可達 兩點都不可達求距離kABCABCbaaABCDa1121

10、234測量垂直高度測量垂直高度 1 1、底部可以到達的；、底部可以到達的； 測量出角測量出角C C和和BCBC的長度，解直的長度，解直角三角形即可求出角三角形即可求出ABAB的長。的長。 2 2、底部不能到達的、底部不能到達的 測量邊測量邊CDCD，測量，測量CC和和ADBADB， cotcotCDABCADB3 3 設(shè)設(shè)ABAB是一個底部不可到達的豎直是一個底部不可到達的豎直建筑物，建筑物，A A為建筑物的最高點，如何測為建筑物的最高點，如何測量和計算建筑物量和計算建筑物ABAB的高度的高度C CA AB B問題探究問題探究D DE EH HG G設(shè)在點設(shè)在點C C、D D處測得處測得A A

11、的仰角分別為的仰角分別為、，CD=aCD=a，測角儀器的高度為，測角儀器的高度為h h，試求，試求建筑物高度建筑物高度ABABsinsinsin()ahC CA AB BE EH HG G問題探究問題探究D DsinABACh例例3、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高、如圖，要測底部不能到達的煙囪的高AB，從與煙囪底部在同一水平直線上的，從與煙囪底部在同一水平直線上的C、D兩處，測得煙囪的仰角分別是兩處，測得煙囪的仰角分別是和4560CD間的距離是間的距離是12m.已知測角儀器高已知測角儀器高1.5m,求求煙囪的高。煙囪的高。圖中給出了怎樣的一個圖中給出了怎樣的一個幾何圖形？已知什么，幾何圖形？

12、已知什么，求什么？求什么？想一想想一想AA1BCDC1D1分析：分析：如圖，因為AB=AA1+A1B，又已知AA1=1.5m,所以只要求出A1B即可。解：15sin120sin12sinsinsinsin:,154560,111111111111BDDCBCDBCBDCBDCDBC由正弦定理可得中在662184 .2836182211BCBA)(9 .295 . 14 .2811mAABAAB答：煙囪的高為 29.9m.4 4 如圖，在山頂上有一座鐵塔如圖，在山頂上有一座鐵塔BCBC，塔頂和塔底都可到達，塔頂和塔底都可到達，A A為地面上一點，為地面上一點，通過測量哪些數(shù)據(jù)，可以計算出山頂通過

13、測量哪些數(shù)據(jù)，可以計算出山頂?shù)母叨?？的高度？A AB BC C問題探求問題探求設(shè)在點設(shè)在點A A處測得點處測得點B B、C C的仰角分別為的仰角分別為、，鐵塔的高，鐵塔的高BC=aBC=a，測角儀的高，測角儀的高度忽略不計，試求山頂高度度忽略不計，試求山頂高度CD CD A AB BC CD Dcossinsin()a問題解決問題解決sinCDAC練習(xí)練習(xí): 在山頂鐵塔上在山頂鐵塔上B處測得地面處測得地面上一點上一點A的俯角的俯角 60 ，在塔底，在塔底C處測得處測得A處的俯角處的俯角30。已。已知鐵塔知鐵塔BC部分的高為部分的高為28m，求出，求出山高山高CD.分析：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)分析

14、：根據(jù)已知條件，應(yīng)該設(shè)法計算出法計算出AB或或AC的長的長解：在解：在ABC中，中，BCA=90+, ABC=90-, BAC=-, BAD=.根根據(jù)正弦定理，據(jù)正弦定理，)90sin()sin(ABBCDABC )(42)3060sin(60sin30cos28)sin(sincossin,mBCBADABBDABDRt得解CD=BD-BC=42-28=14(m)答：山的高度約為答：山的高度約為14米。米。)sin(cos)sin()90sin(BCBCAB所以，例例5:一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到一輛汽車在一條水平的公路上向正東行駛，到A處時處時測得公路南側(cè)遠(yuǎn)處一山頂測得公路南

15、側(cè)遠(yuǎn)處一山頂D在東偏南在東偏南15的方向上，行駛的方向上，行駛5km后到達后到達B處，測得此山頂在東偏南處，測得此山頂在東偏南25的方向上，仰的方向上，仰角角8，求此山的高度，求此山的高度CD.分析：要測出高分析：要測出高CD,只要測出高所在的直角三角形的另一條只要測出高所在的直角三角形的另一條直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出直角邊或斜邊的長。根據(jù)已知條件，可以計算出BC的長。的長。解：在解：在ABC中，中，C=25-15=10.根據(jù)正弦定理，根據(jù)正弦定理，CABABCsinsin).(4524. 710sin15sin5sinsinkmCAABBCCD=BCtanDBCBCtan8

16、1047(m)答：山的高度約為答：山的高度約為1047米。米。BDAC5km15258方向角方向角是指從指定方向線到目標(biāo)方向線是指從指定方向線到目標(biāo)方向線的水平角的水平角,如北偏東如北偏東30,南偏西南偏西45.、方位角方位角是指從正北方向是順時針旋轉(zhuǎn)到目是指從正北方向是順時針旋轉(zhuǎn)到目 標(biāo)方向線的水平角標(biāo)方向線的水平角.練習(xí)練習(xí)1、一艘船以、一艘船以32.2n mile / hr的速度向正的速度向正北航行。在北航行。在A處看燈塔處看燈塔S在船的北偏東在船的北偏東20o的的方向，方向，30min后航行到后航行到B處，在處，在B處看燈塔處看燈塔在船的北偏東在船的北偏東65o的方向，已知距離此燈塔的

17、方向，已知距離此燈塔6.5n mile 以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這以外的海區(qū)為航行安全區(qū)域，這艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？艘船可以繼續(xù)沿正北方向航行嗎？北方向航行答：此船可以繼續(xù)沿正向航行此船可以繼續(xù)沿正北方則的距離為到直線設(shè)點，由正弦定理得，中，解：在milenhmilenSBhhABSmilenABSBSSBAASB5.6)(06.765sin,)(787.745sin20sin1.1645sin20sin45115練習(xí)練習(xí)2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿BC的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角

18、是60，油泵頂點，油泵頂點B與車廂支點與車廂支點A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計算，計算BC的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） 0260 （1 1）什么是最大仰角？）什么是最大仰角？ 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 （2 2）例題中涉及一個怎樣的三角）例題中涉及一個怎樣的三角形？形？ 在在ABC中已知什么，要求什么？中已知什么，要求什么？CAB練習(xí)練習(xí)2自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算自動卸貨汽車的車廂采用液壓機構(gòu)。設(shè)計時需要計算油泵頂桿油泵頂桿B

19、C的長度已知車廂的最大仰角是的長度已知車廂的最大仰角是60，油泵頂點，油泵頂點B與車廂支點與車廂支點A之間的距離為之間的距離為1.95m，AB與水平線之間的夾角為與水平線之間的夾角為62020，AC長為長為1.40m，計算，計算BC的長（精確到的長（精確到0.01m0.01m） 0260 最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度最大角度 已知已知ABC中中AB1.95m，AC1.40m， 夾角夾角CAB6620，求，求BC解：由余弦定理，得解：由余弦定理，得571. 3 0266cos40. 195. 1240. 195. 1 cos2 22222AACABACABBC)(89

20、. 1m BC答：頂桿答：頂桿BCBC約長約長1.89m。 CAB例、某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出例、某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為，距離為漁輪在方位角為，距離為10n mile的的處，并測得漁輪正沿方位角為處，并測得漁輪正沿方位角為105 的方向，的方向，以以10n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以立即以10 n mile/h的速度前去營救求艦艇的速度前去營救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到0.1 ,時間精確到時間精確

21、到min）方位角：方位角：指從正北方向指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角的水平角100 3例、某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出例、某漁輪在航行中不幸遇險，發(fā)出呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該呼救信號，我海軍艦艇在處獲悉后，測出該漁輪在方位角為漁輪在方位角為，距離為，距離為10n mile的的處，并測得漁輪正沿方位角為處，并測得漁輪正沿方位角為105 的方向，的方向，以以n mile/h的速度向小島靠攏我海軍艦艇的速度向小島靠攏我海軍艦艇立即以立即以n mile/h的速度前去營救求艦艇的速度前去營救求艦艇的航向和靠近漁輪所需的時間（角度精確到的航向和靠近漁輪所需的

22、時間（角度精確到0.1 ,時間精確到時間精確到min）北北北北BC105方位角：方位角：指從正北方向指從正北方向順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線順時針旋轉(zhuǎn)到目標(biāo)方向線的水平角的水平角北北北北BC105解：設(shè)艦艇收到信號后解：設(shè)艦艇收到信號后xh在處靠攏漁輪，則在處靠攏漁輪，則21x，x，又，又AC=10, ACB=45+(180105)=120.由余弦定理，得：由余弦定理，得：即,cos2222ACBBCACBCACAB2222 10 9 cos120(21 )(9 )10 xxx 化簡得：化簡得：0109362 xx解得：解得：x=（h）=40(min)(負(fù)值舍去）負(fù)值舍去）由正弦定理，得由正弦定理，

23、得143321120sin9sinsinxxABACBBCBAC所以所以21.8，方位角為，方位角為45 +21.8 =66.8 答：艦艇應(yīng)沿著方位角答：艦艇應(yīng)沿著方位角66.8 的方向航行，的方向航行，經(jīng)過經(jīng)過min就可靠近漁輪就可靠近漁輪課堂小結(jié)課堂小結(jié)1、本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用。、本節(jié)課通過舉例說明了解斜三角形在實際中的一些應(yīng)用。 掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。掌握利用正弦定理及余弦定理解任意三角形的方法。2、在分析問題解決問題的過程中關(guān)鍵要、在分析問題解決問題的過程中關(guān)鍵要分析題意分析題意，分清已知分清已知 與所求與所求，根據(jù)題意，根據(jù)題意畫出

24、示意圖畫出示意圖，并正確運用正弦定理和余，并正確運用正弦定理和余 弦定理解題。弦定理解題。3、在解實際問題的過程中，貫穿了、在解實際問題的過程中，貫穿了數(shù)學(xué)建模數(shù)學(xué)建模的思想，其流程的思想，其流程 圖可表示為：圖可表示為：實際問題實際問題數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)模型實際問題的解實際問題的解數(shù)學(xué)模型的解數(shù)學(xué)模型的解畫圖形畫圖形解三角形解三角形檢驗（答）檢驗（答）P19 1.2A 1、 3、 91.1.在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確在測量上，根據(jù)測量需要適當(dāng)確定的線段叫做基線定的線段叫做基線. .課堂小結(jié)課堂小結(jié)2.2.距離測量問題包括一個不可到達距離測量問題包括一個不可到達點和兩個不可到達點兩種，設(shè)計測點和兩個不可到達點兩種，設(shè)計測量