直線平面簡單幾何體ppt課件

1、第第4747課時課時 空間向量的概念和運算空間向量的概念和運算1空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量空間向量的概念：在空間，我們把具有大小和方向的量叫做向量 (1)向量普通用有向線段表示同向等長的有向線段表示向量普通用有向線段表示同向等長的有向線段表示 的向量的向量 (2)空間的兩個向量可用空間的兩個向量可用 的兩條有向線段來表示的兩條有向線段來表示2空間向量的運算空間向量的運算 定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算，如定義：與平面向量運算一樣，空間向量的加法、減法與數(shù)乘向量運算，如 下：下： ab； 同一或相等同一或相等同一平面內(nèi)同一平面內(nèi)3運算律

2、：運算律：(1)加法交換律：加法交換律：ab . (2)加法結(jié)合律：加法結(jié)合律：(ab)c (3)數(shù)乘分配律：數(shù)乘分配律：(ab) .4共線向量定理：空間恣意兩個向量共線向量定理：空間恣意兩個向量a、 b(b0), ab的充要條件是存在實的充要條件是存在實 數(shù)數(shù)，使，使 .5共面向量定理：假設(shè)兩個向量共面向量定理：假設(shè)兩個向量a，b不共線，不共線，p與向量與向量a，b共面的充要條件共面的充要條件 是存在實數(shù)是存在實數(shù)x，y使使 .baa(bc)aba bpxayb6空間向量根本定理：假設(shè)三個向量空間向量根本定理：假設(shè)三個向量a，b，c不共面，那么對空間任一向量不共面，那么對空間任一向量 p，存

3、在一個獨一的有序?qū)崝?shù)組，存在一個獨一的有序?qū)崝?shù)組x，y，z，使，使 .7空間向量的夾角及其表示：知兩非零向量空間向量的夾角及其表示：知兩非零向量a，b，在空間任取一點，在空間任取一點O，作，作 ，那么，那么AOB叫做向量叫做向量a與與b的夾角，記作的夾角，記作a，b；且規(guī)定；且規(guī)定 0a，b，顯然有，顯然有a，bb，a；假設(shè)；假設(shè)a，b ， 那么稱那么稱a與與b ，記作：，記作：ab.8向量的模：設(shè)向量的模：設(shè) a，那么有向線段，那么有向線段 的的 叫做向量叫做向量a的長度或模，的長度或模， 記作：記作：|a|.pxaybzc相互垂直相互垂直長度長度9向量的數(shù)量積：知向量向量的數(shù)量積：知向量a

4、，b，那么，那么|a|b|cosa，b叫做叫做a，b的的 ，記作，記作 ab，即，即ab|a|b|cosa，b10空間向量數(shù)量積的性質(zhì)空間向量數(shù)量積的性質(zhì) (1)ae|a|cosa，e；(2)abab0；(3)|a|2aa.11空間向量數(shù)量積運算律空間向量數(shù)量積運算律 (1)(a)b(ab) ；(2)ab (交換律交換律)； (3)a(bc) (分配律分配律)數(shù)量積數(shù)量積a(b)baabac1知向量知向量a平面平面，向量，向量a所在直線為所在直線為a，那么，那么() Aa Ba Ca交交于一點于一點 Da或或a 答案：答案：D2如圖，在四面體如圖，在四面體PABC中，中，G為為ABC的重心，且

5、的重心，且 ， 那么那么 _.(用用a，b，c表示表示) 答案：答案： (abc)3知向量知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且，且kab與與2ab相互垂直，那么相互垂直，那么k值是值是() A1 B. C. D. 答案：答案：D4如圖，在四面體如圖，在四面體OABC中，中， a， b， c，D為為BC的中點，的中點，E為為 AD的中點，那么的中點，那么 _.(用用a，b，c表示表示) 解析：解析： 答案：答案： 計算平行六面體體對角線的長度與求異面直線上兩點間的間隔本質(zhì)上是同一計算平行六面體體對角線的長度與求異面直線上兩點間的間隔本質(zhì)上是同一問題利用向量法求平行六面體的體對角線長與幾何

6、法相比有著非常明顯的問題利用向量法求平行六面體的體對角線長與幾何法相比有著非常明顯的優(yōu)勢優(yōu)勢【例【例1】 知在一個知在一個60的二面角的棱上，如右圖，有兩的二面角的棱上，如右圖，有兩 個點個點A、B，AC、BD分別是在這個二面角的兩個分別是在這個二面角的兩個 面內(nèi)垂直于面內(nèi)垂直于AB的線段，且的線段，且AB4 cm，AC6 cm， BD8 cm那么那么CD的長為的長為_解析：解析： ，那么，那么624282268cos 12068.| |2 (cm)答案：答案：2 cm變式變式1.平行六面體平行六面體ABCDA1B1C1D1中，向量中，向量 兩兩的夾角均為兩兩的夾角均為60， 且且| |1，

7、，那么，那么 等于等于() A5 B6 C4 D8 解析：解析： ， 12223212233125. 那么那么 5. 答案：答案：A利用共面向量定理可處理四點共面和直線與平面平行等問題利用共面向量定理可處理四點共面和直線與平面平行等問題【例【例2】 如右圖，知平行六面體如右圖，知平行六面體ABCDABCD，E、F、G、H分別是棱分別是棱AD、DC、CC 和和AB的中點，求證的中點，求證E、F、G、H四點共面四點共面證明證明:取取 那么那么 與與b b、c c共面共面. .即即E E、F F、G G、H H 四點共面四點共面. .變式變式2.如右圖，如右圖，PA平面平面ABCD，ABCD是矩形，

8、是矩形，M、N 分別是分別是AB、PC的中點，求證：的中點，求證：MN平面平面PAD. 證明證明:設(shè)設(shè) ,那么那么 與與b、c向量共面，即向量共面，即MN平面平面PAD. 利用平行向量的充要條件可處理三點共線和直線與直線平行等問題利用平行向量的充要條件可處理三點共線和直線與直線平行等問題【例【例3】 如右圖，在棱長為如右圖，在棱長為a的正方體的正方體ABCDA1B1C1D1中，中，G為為BC1D的重心，的重心，(1)試證試證A1、G、C三點共線；三點共線；(2)試證試證A1C平面平面BC1D；(3)求點求點C到平面到平面BC1D的間隔的間隔解答：解答：(1)證明：證明： 可以證明：可以證明：

9、即即A1、G、C三點共線三點共線(2)證明：設(shè)證明：設(shè) 那么那么|a|b|c|a，且，且abbcca0， abc， ca， (abc)(ca)c2a20， ，同理可證：，同理可證： ，因此，因此A1C平面平面BC1D.(3) abc， a2b2c23a2，即，即| | a，因此，因此 .即即C到平面到平面BC1D的間隔為的間隔為 a. 1利用共線向量定理，可處理立體幾何中三點共線和兩直線平行等問題利用共線向量定理，可處理立體幾何中三點共線和兩直線平行等問題 2利用共面向量定理，可處理立體幾何中，直線在平面內(nèi)，直線與平面平行以利用共面向量定理，可處理立體幾何中，直線在平面內(nèi)，直線與平面平行以及四

10、點共面等問題及四點共面等問題 3要留意空間向量基底的選取，同時要注重空間向量根本定理的運用，用基底要留意空間向量基底的選取，同時要注重空間向量根本定理的運用，用基底表示知條件和所需處理問題的過程就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的過程表示知條件和所需處理問題的過程就是將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題的過程 4經(jīng)過向量的內(nèi)積運算，可證明垂直問題，可計算直線與平面所成角，異面直經(jīng)過向量的內(nèi)積運算，可證明垂直問題，可計算直線與平面所成角，異面直線所成角以及間隔等問題線所成角以及間隔等問題. 【方法規(guī)律】【方法規(guī)律】 (此題總分值此題總分值12分分)知如下圖，平行六面體知如下圖，平行六面體ABCDA1B1C1D1的

11、底面的底面ABCD是是菱形，且菱形，且C1CDC1CBBCD60 (1)求證：求證：C1CBD； (2)當當 的值是多少時，能使的值是多少時，能使A1C平面平面C1BD？請給出證明？請給出證明.解答：解答：(1)證明：連結(jié)證明：連結(jié)A1C1、AC；AC交交BD于于O，連，連C1O，四邊形四邊形ABCD為為菱形，菱形，ACBD，DOBO，又，又BCC1DCC1，CC1CC1，C1BC C1DC，C1BC1D，DOBO，C1OBD，又，又ACBD，所以，所以BD平面平面AC1，又，又CC1平面平面AC1.CC1BD.(2)由由(1)知：知：BD平面平面AC1，由于，由于A1C平面平面AC1，所以所以BDA1C，當，當 1時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同理：時，平行六面體的六個面是全等的菱形，同理：BC1A1C.又又BDBC1B，A1C平面平面C1BD. 向量是處理立體幾何問題的重要工具，利用向量可處理線面平行、線面垂直、三向量是處理立體幾何問題的重要工具，利用向量可處理線面平行、線面垂直、三點共線、四點共面，以及間隔和成角等問題，而利用向量處理立體幾何問題關(guān)鍵點共線、四點共面，以及間隔和成角等問題，而利用向量處理立體幾何問題關(guān)鍵在于適中選取基底，將幾何問題轉(zhuǎn)化為向量問題在于適中選取基底，將幾何問題轉(zhuǎn)化為