更高更妙的物理：專題24幾何光學(xué)問題集成

1、專題24 幾何光學(xué)問題集成 幾何光學(xué)是在把光的傳播抽象成光線模型并認(rèn)定光的下述兩條基本性質(zhì)的基礎(chǔ)上建立起來的一門學(xué)問。光的第一條基本性質(zhì)：光總是沿著光程為極值的路徑傳播在均勻介質(zhì)里沿直線傳播，因?yàn)榻o定兩點(diǎn)間直線路徑最短；在不均勻的介質(zhì)中，光沿著所有可能的光程中有最小、最大或穩(wěn)定的光程的路徑傳播，即遵從費(fèi)馬原理。光的另一條基本性質(zhì)：獨(dú)立傳播原理不同方向的光線相交時(shí)互不擾亂，不會(huì)改變每束光的顏色、強(qiáng)弱與傳播方向。 在均勻介質(zhì)中光程表示光的幾何路程與物質(zhì)的折射率的乘積：。在不均勻介質(zhì)中，取元光程，總光程為。本專題我們將通過幾個(gè)特例說明費(fèi)馬原理的正確性，并以費(fèi)馬原理為基礎(chǔ)，給出各種反射與折射光具的物像

2、公式。 在兩種均勻介質(zhì)的平面界面上，光發(fā)生反射時(shí)，遵守反射定律的光程為最小，這是很容易證明的；在如圖所示旋轉(zhuǎn)橢球形的凹面上的反射，是光程為穩(wěn)定值的情形：若光從橢球的一個(gè)焦點(diǎn)射出，則在鏡面上任一點(diǎn)反射后都要落在第二個(gè)焦點(diǎn)上，根據(jù)橢球的幾何性質(zhì)，若半長軸為，可知光程總等于；若有如圖所示與橢球面相切于的鏡面（其余部分都在橢球面內(nèi)），光線也是被鏡面反射的光線，且遵守反射定律，其光程總比另外的不遵守反射定律的光程、例如圖中大，即當(dāng)光線在鏡面上反射時(shí)，遵守反射定律的光程為最大；又若有如圖所示與橢球面相切于的鏡面（其余部分都在橢球面外），光線亦是被鏡面反射且遵守反射定律的光線，其光程總比另外的不遵守反射定律

3、的光程、例如圖中小，即當(dāng)光線在鏡面上反射時(shí)，遵守反射定律的光程為最小。當(dāng)光線在兩種均勻介質(zhì)的界面上發(fā)生折射時(shí)，光程也遵守費(fèi)馬原理，如圖，為折射率各是、的兩種介質(zhì)的界面，入射光線在點(diǎn)折射后的折射光線為，對(duì)給定的兩點(diǎn)、，光程為；由圖得， 則 。 根據(jù)費(fèi)馬原理，這方程應(yīng)取極值，即式的一階導(dǎo)數(shù)應(yīng)該等于零：，則 ，即，這就是折射定律，可見，滿足極值條件的光程也滿足折射定律。【例1】某行星上大氣的折射率隨著行星表面的高度按照的規(guī)律而減小，行星的半徑為，行星表面某一高度處有光波道，它始終在恒定高度，光線沿光波道環(huán)繞行 星傳播，試求高度?！痉治雠c解】在專題“小試身手”中，讀者根據(jù)光波的惠更斯原理，已求解過這個(gè)

4、圓形光波道高度問題，這里，我們依據(jù)費(fèi)馬原理換角度求解。如圖，設(shè)光線在行星表面高處沿圓周繞行星一周，則其光程為，式中，。由費(fèi)馬原理可知，光是沿著光程為極值的路徑傳播的，所設(shè)光線路徑實(shí)際存在的特定條件是其光程為極值，故只須求出使取極值時(shí)的即可：。 上式中，且為定值，故當(dāng)時(shí)，光程有最大值。由此可見，在處，存在光的圓折射路徑。 根據(jù)費(fèi)馬原理，可以確定光線在各種具體情況下的傳播方向，從而可以用來研究光在平面和球面系統(tǒng)中的反射或折射成像問題。發(fā)光點(diǎn)形成發(fā)散光束，具有一個(gè)頂點(diǎn)的光束被稱為單心光束，頂點(diǎn)被我們稱為物點(diǎn)，單心光束通過光具反射或折射后若仍為單心光束，則將這被作用后的光束的頂點(diǎn)稱為像點(diǎn)，其中，被光具

5、作用后的單心光束實(shí)際會(huì)聚的頂點(diǎn)，稱為實(shí)像點(diǎn)，而相反的情況被光具作用后的單心光束發(fā)散，即經(jīng)反射或折射后的光線反向延長線通過的頂點(diǎn)，則該頂點(diǎn)稱為虛像點(diǎn)。幾何光學(xué)主要研究各種成像規(guī)律，關(guān)注像如何準(zhǔn)確地反映發(fā)光物體形狀，也就是怎樣保持光束單心性的問題。平面鏡成像與球面鏡成像均屬反射成像情況。平面鏡成像特點(diǎn)是不改變光束的斂散性，即若入射光束為單心發(fā)散光束（實(shí)物），反射光束必為單心發(fā)散光束（虛像）；反之，若入射光束為單心會(huì)聚光束（虛物），反射光束必為單心會(huì)聚光束（實(shí)像），故平面鏡是一個(gè)最簡單的能成完善像的光學(xué)系統(tǒng)。球面反射會(huì)破壞光束的單心性，我們通?？紤]近軸光線條件下的球面反射。如圖所示，反射鏡面是球面的

6、一部分，為球面曲率中心，為焦點(diǎn)，為球面頂點(diǎn)，、所在直線為主軸，物點(diǎn)距主軸，物距，單心光束經(jīng)、間球面反射后會(huì)聚于，即為像點(diǎn)，像點(diǎn)距主軸，像距。認(rèn)根據(jù)費(fèi)馬原理可以推論，任一發(fā)光點(diǎn)所發(fā)光束經(jīng)球面反射或折射后能成像于一點(diǎn)的條件是，從物點(diǎn)到達(dá)像點(diǎn)的所有光線的光程都相等，在圖所示情況中，從發(fā)出的任一光線例如的光程為。 在近軸光線的條件下，與反射面所在球半徑相比，、以及入射角、反射角都是小量，圖中法線與主軸所夾角亦為小量，且有。利用二項(xiàng)式定理對(duì)式展開并略去小量高次項(xiàng)得。上式中第項(xiàng)；同理，第項(xiàng)，則 要使所有從物點(diǎn)發(fā)出的光線到達(dá)像點(diǎn)光程都相等，必須滿足與無關(guān)這樣一個(gè)條件，即上式中含有、的各項(xiàng)應(yīng)等于零，故有， ；

7、在近軸光線條件下焦距，故有。 此即近軸光線條件下球面反射的成像公式，式中、均以“”“”表示實(shí)與虛。式體現(xiàn)了近軸光線條件下球面反射成像的理想性亦即物與像的幾何相似性，放大率。近軸光線條件下球面反射成像規(guī)律如下表，表中、只指代表物距、像距與焦距大?。?棱鏡、透鏡等均屬折射光具。 光在兩種介質(zhì)的平面分界面上折射時(shí)，除平行光束仍為平行光束外，單心光束將被破壞其單心性，僅當(dāng)單心光束中各條光線幾乎垂直于界面時(shí)，被平面界面折射后的光束才幾乎保持為單心?？紤]近軸（界面法線）光線條件下的平面折射，如圖，為兩種介質(zhì)（折射率）的界面，設(shè)物點(diǎn)距界面，從作正入射光線（入射角為）與一條近軸光線（入射角很?。?，前者折射后方

8、向不變?nèi)源怪庇诮缑妫笳吒淖兎较?，折射角為，兩折射光線的反向延長交于，此即的虛像，設(shè)其距界面，由圖中幾何關(guān)系知：，在近軸光線條件下，故。這里像與界面的距離被稱為像似深度，當(dāng)折射光所在介質(zhì)折射率小于入射光所在介質(zhì)折射率時(shí)，譬如在水面上沿著豎直方向看水中物體，所見像較清晰，且所見“物體”上升了，所謂“水清池淺”是也；當(dāng)折射光所在介質(zhì)折射率大于入射光所在介質(zhì)折射率時(shí)，我們通過大氣層所見中天之日，其位置比太陽的實(shí)際位置高正屬此種情況?！纠?】某觀察者通過一塊薄玻璃板去看在凸面鏡中他自己眼睛的像。他移動(dòng)著玻璃板，使得在玻璃板中與在凸面鏡中所看到的他眼睛的像重合在一起。若凸面鏡的焦距為，眼睛與凸面鏡頂點(diǎn)的

9、距離為，問玻璃板距觀察者眼睛的距離為多少？【分析與解】觀察者通過薄玻璃板看到的像是物（眼睛）發(fā)出的光通過平面反射而成的等大虛像，若設(shè)玻璃板距觀察者眼睛的距離為，則到玻璃板的距離也是，玻璃板面同時(shí)還對(duì)物發(fā)出的光折射而成一虛像，它的位置與物在同一側(cè)，距離薄玻璃板；被玻璃板折射后入射到凸面鏡上的光束就如同來自，故對(duì)凸面鏡而言，是它的物，經(jīng)凸面鏡反射成一縮小虛像，根據(jù)題意與重合，故位于距玻璃板處，成像光路如圖所示。由上分析，運(yùn)用球面鏡物像公式，有，取玻璃的折射串為，可得?！纠?】如圖所示，介質(zhì)在一定區(qū)域、內(nèi)的折射率隨著的變化而連續(xù)變化。一束細(xì)光束沿方向垂直入射到介質(zhì)表面，并沿著一個(gè)半徑為的圓弧路徑穿過

10、介質(zhì)，求折射率隨變化的規(guī)律。如果時(shí)折射率，已知的材料中最大折射率（金剛石折射率）不超過，圓弧所對(duì)應(yīng)的圓心角最大可能達(dá)多少？【分析與解】我們先看一下光穿過幾個(gè)互相平行的、折射率不同的介質(zhì)區(qū)的情況，如圖所示，光以入射角從折射率為的介質(zhì)進(jìn)入折射率為的介質(zhì)中，折射角為，由折射定律，即，同樣的方法可得，即常數(shù)，與各介質(zhì)區(qū)厚度及個(gè)數(shù)無關(guān)。這個(gè)規(guī)律可以運(yùn)用到折射率連續(xù)變化的不均勻介質(zhì)中。 如圖所示，我們將題給介質(zhì)區(qū)域分成與軸平行的薄層（），各層的折射率可視為不變，軸上方處的第層的折射率為，光在該薄層軌跡為極小一段圓?。梢曌髦本€），進(jìn)入該薄層的光束折射角為，射出該薄層的光束折射角變?yōu)?。由于初始?xì)光束沿方向垂

11、直入射到介質(zhì)表面，故有，那么，由圖所示幾何關(guān)系可知，則，此即所求折射率隨變化的規(guī)律。 如果時(shí)折射率，已知的具有最大折射串的材料其折射率不超過，這是能使折射光束對(duì)應(yīng)的圓心角達(dá)到最大的折射率極限，取，則相應(yīng)的最大圓心角可達(dá)。 在棱鏡中光線入射與出射的兩個(gè)平面界面互不平行，我們來探討三棱鏡對(duì)光路控制的一些特殊規(guī)律。如圖所示為一塊放在空氣中、折射率為的三棱鏡的主截面，該圖中、在兩個(gè)折射面上，為折射棱角，當(dāng)單色光束通過棱鏡時(shí)，將連續(xù)兩次折射，出射線與入射線間夾角稱為偏向角，它反映三棱鏡改變光傳播方向的程度。由圖所示幾何關(guān)系知，而，故。由此式可知，若三棱鏡折射棱角確定，入射角變化時(shí)，出射光線偏向角將隨之改

12、變，其中，當(dāng)，即光線對(duì)稱地進(jìn)出三棱鏡時(shí)，偏向角有最小值。若三棱鏡折射棱角很小，當(dāng)光垂直于一個(gè)折射面射入，如圖所示，即時(shí)，則，由可得：?！纠?】通常用阿貝數(shù)來表示光學(xué)材料的色散特性，其中、分別表示材料對(duì)單色光及單色光及的折射率。一束白光照射到一頂角，冕牌玻璃（，）棱鏡上，使單色光在棱鏡中的傳播方向垂直于角的平分面。求從棱鏡射出的單色光和之間的夾角?！痉治雠c解】根據(jù)題給條件，白光以入射角進(jìn)入棱鏡后，單色光對(duì)稱地進(jìn)出三棱鏡，偏向角有最小值；單色光的偏向角小于；單色光的折射率，偏向角大于。做出通過三棱鏡的光路如圖，由圖可得，由折射定律可知白光中各單色光的入射角均為，單色光的偏向角，單色光的偏向角，那么

13、從棱鏡射出的單色光和之間的夾角，由折射定律，得，；，； 于是得，入射白光經(jīng)三棱鏡的折射發(fā)生色散而使折射率不同的光與光射出棱鏡后的傳播方向有約的張角。現(xiàn)在來討論近軸物在近軸光線條件下的球面折射，如圖所示，球面為、兩不同折射率的介質(zhì)的分界面，為球面曲率中心，為折射球面中心，、在主軸上，物點(diǎn)距主軸，物距（根據(jù)笛卡兒符號(hào)法則，與光傳播方向一致的長度取正，相反的長度取負(fù)），單心光束經(jīng)間球面折射后會(huì)聚于，即為像點(diǎn)，像點(diǎn)距主軸（“”表示像在主軸下方），像距。根據(jù)費(fèi)馬原理，任一發(fā)光點(diǎn)所發(fā)光束經(jīng)球面折射后能成像于一點(diǎn)的條件是，從物點(diǎn)到達(dá)像點(diǎn)的所有光線的光程都相等，在圖所示情況中，從發(fā)出的任一近軸光線例如的方程為

14、， 在近軸光線的條件下，與球半徑相比，、以及入射角、折射角都是小量，且有，利用二項(xiàng)式定理對(duì)式展開并略去小量高次項(xiàng)得 要使所有從物點(diǎn)發(fā)出的光線到達(dá)像點(diǎn)光程都相等，必須滿足與無關(guān)這樣一個(gè)條件，即上式中含有、的各項(xiàng)應(yīng)等于零，故有， 。 平行于主軸在介質(zhì)方的入射光線折射后與主軸的交點(diǎn)稱為像方焦點(diǎn)，點(diǎn)與其距離即像方焦距，以代入式即得，對(duì)稱地，物方焦距；將此二式代入式可得。此即近軸光線條件下球面折射的物像公式，稱為高斯公式。由圖可知，在近軸光線條件下，則，這正是式所表示的像關(guān)于物的橫向放大率。 透鏡成像是兩個(gè)折射面對(duì)光線作用的結(jié)果。設(shè)如圖所示的透鏡材料折射率為，物方介質(zhì)折射率為、球面曲率半徑為；像方介質(zhì)折

15、射率為、球面曲率半徑為，透鏡厚度設(shè)為，物點(diǎn)在主軸上，物距，發(fā)出的近軸光線經(jīng)球面一次折射所成像在主軸上，像距（這時(shí)假設(shè)球面不存在且球面右邊被折射率為的介質(zhì)充滿），由球面折射的物像公式：， 再考慮光線經(jīng)球面的二次折射，對(duì)該面而言，是入射光延長后的會(huì)聚點(diǎn)，即為虛物，物距為，經(jīng)折射所成像仍在主軸上，像距，對(duì)球面有， 在薄透鏡的情況下，由、兩式消去得。這就是薄透鏡成像的普適公式，若以物方焦距，像方焦距代入薄透鏡成像的普適公式，亦可得高斯物像公式：。進(jìn)而若將薄透鏡置于空氣中，焦距，則有。我們較熟悉的用幾何方法推導(dǎo)出的薄透鏡成像公式與該式相比，薄透鏡成像公式中的、可正可負(fù)，“正實(shí)負(fù)虛”，高斯物像公式中、只用

16、正值，而加正、負(fù)號(hào)表示與光傳播方向的一致或相反，例如物方焦距是，因?yàn)槎x為從折射球面頂點(diǎn)算起到焦點(diǎn)的長度與入射光的方向是相反的?！纠?】如圖所示，一玻璃半球的曲率半徑為，折射率，其平面的一邊鍍銀。一物高為，放在曲面頂點(diǎn)前處。求：由球面所成的第一個(gè)像的位置；這一光具組的最后一個(gè)像在哪里？【分析與解】發(fā)光物體經(jīng)球面折射所成的第一個(gè)像可運(yùn)用球面折射的高斯公式：，其中物方焦距；像方焦距，則有，可得，即入射光經(jīng)球面第一次折射后成平行光，物體上端點(diǎn)光束光路如圖；圖中示出此后平行光由平面鏡反射仍成平行光而第二次由球面折射，成像在球面左側(cè)距球面頂點(diǎn)處，由高斯公式得，即最后所成像在出射光線一側(cè)距球面頂點(diǎn)處，是一

17、個(gè)倒立等大的實(shí)像?！纠?】水中的發(fā)光體位于距盛水器皿壁處，從外面往器皿壁上貼一個(gè)平凸透鏡，透鏡在空氣中的焦距等于。透鏡和器皿壁是非常薄的，水的折射率為，而玻璃的折射率。物體位于透鏡的主光軸上。求出并討論像的位置與物體的位置的關(guān)系。作為特例，求出時(shí)像的位置和放大倍數(shù)。如果透鏡是貼在器皿內(nèi)壁，情況是否會(huì)發(fā)生變化？怎樣變化？【分析與解】透鏡和器皿壁都非常薄，不考慮器皿壁對(duì)光的作用而將平凸透鏡視為薄透鏡。平凸透鏡平面曲率半徑為，由，在空氣中，以（或）、（或）代入，知凸面曲率半徑。當(dāng)透鏡貼在器皿壁外面時(shí)，如圖所示，物方介質(zhì)為水，透鏡的平面曲率半徑為，根據(jù)薄透鏡物像公式，即，由此式，當(dāng)時(shí)，即像在透鏡出射光

18、同側(cè)，是實(shí)像；當(dāng) 時(shí)，即像在透鏡出射光的另一側(cè)，是虛像；若，即所成像在距透鏡的水中一側(cè)成一放大虛像，。如果透鏡是貼在器皿內(nèi)壁，如圖所示，此時(shí)物方焦距為，；像方焦距為，由高斯公式：，這時(shí)，當(dāng)時(shí)，即在水中一側(cè)距壁處成一放大虛像，?！纠?】有一薄透鏡如圖所示，面是旋轉(zhuǎn)橢球面（橢圓繞長軸旋轉(zhuǎn)而成的曲面），其焦點(diǎn)為和；面是球面，其球心與重合。已知此透鏡放在空氣中時(shí)能使從無窮遠(yuǎn)處位于橢球長軸的物點(diǎn)射來的全部入射光線（不限于傍軸光線）會(huì)聚于一個(gè)像點(diǎn)上，橢圓的偏心率為。求此透鏡材料的折射率（要論證）；如果將此透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并能達(dá)到上述的同樣的要求，橢圓應(yīng)滿足什么條件？【分析與解】對(duì)題給薄透鏡，不需

19、要傍軸光線的條件也可會(huì)聚理想成像。我們先做出光路圖如圖，來自無窮遠(yuǎn)處主軸上物點(diǎn)的光線可視作平行于主軸，任意平行于主軸的光線入射到橢球面上任一點(diǎn)，為點(diǎn)橢球面的法線，入射角為，如若讓該光經(jīng)橢球面折射進(jìn)入透鏡中的傳播方向沿，由于同時(shí)又是球面的球心，則再經(jīng)球面折射將不改變傳播方向而到達(dá)，即為像點(diǎn)位置。由橢圓幾何性質(zhì)知，法線是與兩焦點(diǎn)、張角的平分線，；設(shè)橢球半長軸為，則；將正弦定理運(yùn)用于，得，由該二式可解得，即此透鏡材料的折射率應(yīng)取。 如果將此透鏡置于折射率為的介質(zhì)中，并同樣能理想成像，根據(jù)以上分析，應(yīng)有，則橢圓的偏心率應(yīng)滿足。 實(shí)際運(yùn)用的光學(xué)系統(tǒng)往往由多個(gè)共軸的折射面構(gòu)成，可用上面所討論的成像規(guī)律逐個(gè)

20、求解，但在解決數(shù)量很多的球面系統(tǒng)問題時(shí)，將面臨大量的運(yùn)算，這時(shí)，我們可以通過等效方法，把共軸系統(tǒng)簡化成一個(gè)等效光具組來處理。包括兩個(gè)折射面的薄透鏡就是一個(gè)簡單的光具組，我們已經(jīng)看到薄透鏡成像也遵守高斯公式，即等效于某個(gè)球面折射?？諝庵械谋⊥哥R又是最簡單的情況，其物像關(guān)系簡化為，物方的任一點(diǎn)都與像方的一點(diǎn)共軛。許多光學(xué)助視儀器如放大鏡、顯微鏡、望遠(yuǎn)鏡等都是由透鏡或透鏡組構(gòu)成，下面我們關(guān)注助視光學(xué)儀器的放大本領(lǐng)。 最簡單的放大鏡是一個(gè)單獨(dú)的凸透鏡，物體放在凸透鏡的焦點(diǎn)里面一些，隔著透鏡觀察物體可看到正立、放大的虛像，如圖。設(shè)物長，放在眼的明視距離處，肉眼直接觀察物體時(shí)的視角，使用凸透鏡后，讓物的虛

21、像成在眼睛明視距離處，設(shè)像長，觀此像時(shí)視角，故放大鏡的角放大率。 顯微鏡由四個(gè)以上的透鏡組合而成，其原理可用一個(gè)目鏡為凸透鏡和一個(gè)物鏡為凸透鏡采等效。如圖，物鏡焦距很小，用來成一實(shí)像，目鏡的焦距大于，它的作用等同于放大鏡。兩鏡共主軸，物體放在物鏡焦點(diǎn)外面一些，由物鏡成一倒立放大實(shí)像在目鏡焦點(diǎn)里面，此像對(duì)目鏡而言是物，再通過目鏡成放大虛像在眼睛明視距離處。設(shè)兩鏡間距離（即顯微鏡筒長），對(duì)物鏡，物體的物距接近，像距約等于，則物鏡的橫向放大率（像長放大率），對(duì)目鏡，像對(duì)眼所張的視角；不用顯微鏡，物體的視角，則顯微鏡的角放大率。 天文望遠(yuǎn)鏡是一種折射式望遠(yuǎn)鏡，如圖，物鏡與目鏡都是凸透鏡，兩鏡共主軸，物

22、鏡的像方焦點(diǎn)與目鏡的物方焦點(diǎn)重合，筒長，物鏡的焦距較大，用來成實(shí)像；目鏡的焦距較小。無限遠(yuǎn)處天體各點(diǎn)發(fā)出的光對(duì)物鏡而言，相當(dāng)于平行光束，經(jīng)凸透鏡折射會(huì)聚于物鏡焦平面，之后再經(jīng)目鏡折射在無窮遠(yuǎn)處成一虛像。由于肉眼直接看遙遠(yuǎn)的天體，視角，從目鏡看像，視角，則望遠(yuǎn)鏡角放大率。【例8】復(fù)式顯微鏡中物鏡焦距為，目鏡焦距為，兩者相距，觀察者明視距離為，被觀察物體應(yīng)放在物鏡前多遠(yuǎn)處？顯微鏡的放大率是多少？【分析與解】題中已知目鏡的焦距和像距，所以應(yīng)先求出目鏡的物距，現(xiàn)設(shè)為，有；。對(duì)物鏡，像距，對(duì)物鏡運(yùn)用透鏡公式：。再求總放大率。一次成像放大率為；二次成像放大率為，因此總的放大率為。即像長為物長的倍，像面積是

23、物面積的倍?！纠?】討論具有長焦距鏡頭的照相機(jī)攝遠(yuǎn)景的工作原理。【分析與解】最簡單的照相機(jī)是由一個(gè)會(huì)聚透鏡作為物鏡，使景物在底片上成倒立縮小實(shí)像，由透鏡公式，；其橫向放大率。拍攝遠(yuǎn)景時(shí)，物距遠(yuǎn)大于像距（鏡頭到底片間距離），即，橫向放大率，可知在物距比鏡頭焦距大得多時(shí)，相機(jī)鏡頭的橫向放大率與焦距成正比。因此為了在底片上留下足夠大的像，必須設(shè)法加大鏡頭的焦距，這正是遠(yuǎn)攝鏡要采用長焦距鏡頭的原理。長焦距遠(yuǎn)攝鏡可由前方的一個(gè)會(huì)聚透鏡和后方的一個(gè)共軸的發(fā)散透鏡組成，如圖。圖中從景物發(fā)出的一條平行于主軸的入射光先到達(dá)組合光具的前透鏡，經(jīng)其作用后的折射光應(yīng)指向透鏡的像方焦點(diǎn)，該光再入射在后面的發(fā)散透鏡，經(jīng)作

24、用，從光具組出射的光線與主軸交于，出射光線這樣求作：過凹透鏡光心作平行于向入射的光的副光軸，副光軸與的像方焦平面交于，為一副焦點(diǎn)；根據(jù)凹透鏡性質(zhì)與副光軸平行的入射光線，經(jīng)凹透鏡折射后，發(fā)散自副焦點(diǎn)，只需連接，并繼續(xù)延伸且與主光軸相交即可。對(duì)系統(tǒng)而言，平行于主軸的入射光折射后會(huì)聚于主焦點(diǎn)，故即為系統(tǒng)的等效凸透鏡的像方焦點(diǎn)。將出射光線反向延長與平行入射光交于，過點(diǎn)垂直于主軸的位置就是與光具組等效的一個(gè)凸透鏡之所在，我們看到等效凸透鏡的焦距變長了，因而這種相機(jī)鏡頭不但可成像，還可增大橫向放大率。若兩透鏡間距，我們用幾何方法來計(jì)算該系統(tǒng)的等效焦距。由圖所示三角形相似關(guān)系可得，其中，而，于是有代入數(shù)據(jù)后

25、得。1、圓錐面的內(nèi)表面鍍上反射層，構(gòu)成圓錐面鏡。在圓錐形內(nèi)沿軸拉緊一根細(xì)絲。要使細(xì)絲發(fā)出的光線在圓錐內(nèi)面上反射不多于一次，圓錐形最小的展開角_。2、小路燈發(fā)出的光束在離燈處會(huì)聚成小光斑。在光傳播的路徑上放兩個(gè)正方形平面鏡，如圖。兩鏡面的交線到燈的距離，并且垂直穿過光束軸。兩鏡面互相垂直，其中一個(gè)平面鏡與光束軸交成角，則現(xiàn)在光束將會(huì)聚在離燈_處。3、由點(diǎn)光源發(fā)出的近軸光線經(jīng)透明球形成像，像到透明球的距離為，如圖。如果沿垂直于水平軸將球分成兩半，左邊一半的平面上鍍銀，那么像的位置在_，與球的距離為_。4、深度為的水面上（）漂浮著厚的醇（）層，則水底距醇表面的像似深度為_。5、兩塊平面鏡寬度均為，相

26、交成角，如圖所示，構(gòu)成光通道。兩鏡的右端相距為，左端靠在光接收器的圓柱形的感光面上。試問入射光線與光通道的軸成的最大角度為多少才能射到光接收器上？6、湖灣成頂角為的楔形，岸上住有一個(gè)漁人：他的房子在點(diǎn)，如圖。從點(diǎn)到他離湖最近的點(diǎn)距離為，而到湖灣的一頭，即到點(diǎn)的距離為。湖對(duì)岸點(diǎn)處有漁人好友的房子，點(diǎn)位置與點(diǎn)相對(duì)湖對(duì)稱。漁人有一只小船，他可以速度沿岸步行或以速度乘船在湖中劃行，他從自己家出發(fā)到好友家里去。求他需要的最短時(shí)間。7、等腰直角玻璃鏡的底面和側(cè)面是光滑的，而側(cè)面是毛糙的，如圖，棱鏡的底面放在報(bào)紙上，一位觀察者從光滑面看去，只看見報(bào)紙上一篇文章的一部分，且可見部分與應(yīng)見部分之比為（按面積），試求玻璃的折射率。8、圖表示一條光線經(jīng)過薄會(huì)聚透鏡折射的光路和透鏡的后焦點(diǎn)。試用圓規(guī)和直尺，做出透鏡所在位置和它的主光軸。9、利用薄凸透鏡得到三齒的像，如圖。三齒的底邊位于主光軸上，。部分成像放大率，而部分的放大率，試求部分成像的放大率。10、在不透光的箱內(nèi)直立著一根蠟燭，箱的后壁是平面鏡，前壁嵌有透鏡，如圖，箱長為，在這光具組中觀察到蠟燭火焰的兩個(gè)像，并且像的大小相等。試求透鏡的焦距。11、凸透鏡后面距離（大于焦距）處放置有一塊垂直于主光