復變函數與積分變換第九章復習

1、第九章 拉普拉斯變換.一 拉普拉斯變換的概念；.二 拉普拉斯變換的性質；.三 拉普拉斯變換的應用；9.1( )0,)f t定義設是上的實值函數,如果對于,si復參數積分0( )( )(9.1)stF sf t edt( )( )sF sf t在復平面 的某一域內收斂,則稱為的( ) ( );( )( )F sf tf tF s拉普拉斯變換,記為稱為L( ) ( ).f tF s-1的拉普拉斯逆變換,記為L 9.1 拉普拉斯變換的概念( ) ( )tf t u t e( )f t的拉氏變換就是的拉氏變換就是 的傅氏變的傅氏變換換.()00e e ededttststtt解：L()011e,(Re

2、( )Re( ),stsss ( ).tf te例9.3求函數的拉氏變換（ 為復常數）1.線性性質( ) ( ),( ) ( ), ,F sf tG sg t 設為常數,則LL( )( )( )( ),f tg tF sG sL1( )( )( )( ).F sG sf tg t-L 9.2 拉普拉斯變換的性質 51,12sF sss例題9.5：已知求拉氏逆變換。 51231212sF sssss化簡得1tes解：由例題9.2知，L 112312F sss-1-1-1LLL 223.ttF see所以，-1L2.相似性質( ) ( ),0F sf ta設則對任意常數,有L1 ()( ).sf

3、atFaaL3.微分性質( ) ( ).F stf t 2)L( ) ( ),F sf t設則有L( )12(1)( )( )(0)(0)(0).nnnnnfts F ssfsff一般地 L( )( )0(0)lim( ).kktfft其中1) ( )( )(0).f tsF sfL( )( )( 1)( ).nnnFst f t 一般地有L微分方程的拉氏變換解法首先取拉氏變換將微分方程化為像函數的代數方程, 解代數方程求出象函數, 再取逆變換得最后的解. 如下圖所示.象原函數(微分方程的解)象函數微分方程象函數的代數方程取拉氏逆變換取拉氏變換解代數方程29.6( )( )0, (0)0,(0

4、).y ty tyy例求解方程22( ) ( ).( )(0)(0)( )0,Y sy ts Y ssyyY s解:令對方程兩邊取拉氏變換得L1( ) ( )sin.y tY st取拉氏逆變換得L22( ).Y ss代入初值得4.積分性質0( ) ( ),1( )( )tF sf tf t dtF ss設則有LL( )( ).sf tF s dstL一般地00011) ( )( ),tttnn dtdtf t dtF ss L次次( )2)( ).nsssn f tdtdtF s dt s L次次sin9.10( ).tf tt例求的拉氏變換( )( ).sf tF s dst解：L2sin1

5、1stdsts所以 Larctancot .2sarcs0sindcot .sttetarcst即：0sind.2ttt令s=0得0000()( )(0)( )s tF sf t edtFf t dt注：拉氏變換可以求積分的值：如；00( )(0)( );( )sf tFt f t dtdtF s dst ；3009.111 coscos2tttetdte dtt例計算積分.1), 2).2cos2 ( )4stF ss1)解： 已知，L303cos2(3)13tetdtF所以.22211ln211sssdsss s1 cos1 cos stt dst2)解： LL01 cos(1)2tte dtFt1所以ln2.211ssdsss2211ln( )2sF ss，5.延遲與位移性質( ) ( ),0( )0,F sf ttf t設當時則對任意非負實數 ,有L ()( ),sf teF sL( )() ().ate f tF saa， 為常數L在