滬科版軸對(duì)稱與等腰三角形總復(fù)習(xí)

1、 一對(duì)一輔導(dǎo)教案學(xué)生姓名性別年級(jí)初二學(xué)科數(shù)學(xué)授課教師上課時(shí)間 年 月 日寒假一對(duì)一課程課時(shí)： 課時(shí)教學(xué)課題 軸對(duì)稱知識(shí)點(diǎn)的回顧鞏固復(fù)習(xí)教學(xué)目標(biāo)1、回顧軸對(duì)稱的相關(guān)知識(shí)概念和性質(zhì)特點(diǎn)。2、掌握軸對(duì)稱的性質(zhì)和判定，以及運(yùn)用。3、熟練解決有關(guān)軸對(duì)稱的綜合運(yùn)用問(wèn)題。教學(xué)重點(diǎn)與難點(diǎn)熟練掌握軸對(duì)稱的相關(guān)性質(zhì)運(yùn)用和技巧教學(xué)過(guò)程知識(shí)點(diǎn)一：軸對(duì)稱（一）軸對(duì)稱圖形和軸對(duì)稱1、軸對(duì)稱圖形（1）定義：如果一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個(gè)圖形就叫做軸對(duì) 稱圖形，這條直線就是它的對(duì)稱軸。這時(shí)，我們也說(shuō)這個(gè)圖形關(guān)于這條直線（成軸）對(duì)稱。例 如，等腰三角形是軸對(duì)稱圖形，它的底邊的垂直平分線是它的對(duì)

2、稱軸其它如等邊三角形、矩 形、圓、菱形、等腰梯形等都是軸對(duì)稱圖形如圖1 （2）軸對(duì)稱圖形的性質(zhì)：軸對(duì)稱圖形的對(duì)稱軸，是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線。2、軸對(duì)稱（1）定義：把一個(gè)圖形沿著某一條直線折疊，如果它能夠與另一個(gè)圖形重合，那么就說(shuō)這兩個(gè)圖形關(guān) 于這條直線對(duì)稱，這條直線叫做對(duì)稱軸，折疊后重合的點(diǎn)是對(duì)應(yīng)點(diǎn)，叫做對(duì)稱點(diǎn)，也可以說(shuō)這兩 個(gè)圖形關(guān)于這條直線成軸對(duì)稱。如上右圖。（2）成軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形的性質(zhì)： 關(guān)于某條直線對(duì)稱的兩個(gè)圖形形狀相同，大小相等，是全等形； 如果兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，則對(duì)稱軸是任何一對(duì)對(duì)應(yīng)點(diǎn)所連線段的垂直平分線； 兩個(gè)圖形關(guān)于某條直線對(duì)稱，如果它們的對(duì)應(yīng)線段或延長(zhǎng)

3、線相交，那么它們的交點(diǎn)在對(duì)稱軸上.3、軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱的區(qū)別和聯(lián)系（1）區(qū)別：軸對(duì)稱是指兩個(gè)圖形的位置關(guān)系，軸對(duì)稱圖形是指具有特殊形狀的一個(gè)圖形；軸對(duì)稱涉及 兩個(gè)圖形，而軸對(duì)稱圖形是對(duì)一個(gè)圖形來(lái)說(shuō)的。（2）聯(lián)系：如果把一個(gè)軸對(duì)稱圖形沿對(duì)稱軸分成兩個(gè)圖形，那么這兩個(gè)圖形關(guān)于這軸對(duì)稱；如果把成 軸對(duì)稱的兩個(gè)圖形看成一個(gè)整體，那么它就是一個(gè)軸對(duì)稱圖形（二）線段的垂直平分線1線段的垂直平分線的性質(zhì)：線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等。反過(guò)來(lái)，與一條線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上。2線段的垂直平分線的作法： 分別以點(diǎn) A、B為圓心，以大于的長(zhǎng)為半徑畫弧，兩弧相交于C、

4、D兩點(diǎn)； 作直線 CD；則直線CD即為線段AB的垂直平分線。知識(shí)點(diǎn)二：作軸對(duì)稱圖形1作軸對(duì)稱圖形：（1）幾何圖形都可以看作由點(diǎn)組成，我們只要分別作出這些點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱軸的對(duì)應(yīng)點(diǎn)，再連接這些點(diǎn)， 就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形；（2）對(duì)于一些由直線、線段或射線組成的圖形，只要作出圖形中的一些特殊點(diǎn)（如線段端點(diǎn)）的對(duì)稱 點(diǎn)，連接這些對(duì)稱點(diǎn)，就可以得到原圖形的軸對(duì)稱圖形.2用坐標(biāo)表示軸對(duì)稱：點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-y）；點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,y）.知識(shí)點(diǎn)三：等腰三角形（一）等腰三角形1、定義：有兩邊相等的三角形，叫做等腰三角形。2、等腰三角形性質(zhì)（1）等腰三角形的

5、兩個(gè)底角相等，即“等邊對(duì)等角”；注意：常結(jié)合三角形內(nèi)角和定理及推論解決角度的計(jì)算問(wèn)題。 （2）等腰三角形頂角的平分線、底邊上的中線與底邊上的高線互相重合（簡(jiǎn)稱“三線合一”）。 特別地，等腰直角三角形的每個(gè)底角都等于45°。3、等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊也相等（即“等角對(duì)等邊”）。 （二）等邊三角形1、定義：三條邊都相等的三角形，叫做等邊三角形。2、等邊三角形性質(zhì)：等邊三角形的三個(gè)角相等，并且每個(gè)角都等于60°。3、等邊三角形的判定：（1）三條邊都相等的三角形是等邊三角形；（2）三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；（3）有一個(gè)角為 60&

6、#176;的等腰三角形是等邊三角形。4、直角三角形的性質(zhì)定理：在直角三角形中，如果一個(gè)銳角等于30°，那么它所對(duì)的直角邊等于斜邊 的一半。 規(guī)律方法指導(dǎo)：1、要注意軸對(duì)稱圖形與軸對(duì)稱概念的區(qū)別與聯(lián)系。2、線段的垂直平分線的兩個(gè)性質(zhì)是定理和逆定理的關(guān)系。3、點(diǎn)（x,y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（x,-y）；點(diǎn)（x,y）關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)為（-x,y）。程 度較好的學(xué)生可以考慮再拓展：點(diǎn)關(guān)于直線y=a,x=b，y=x等的對(duì)稱。4、等腰三角形“三線合一”的性質(zhì)可以這么理解：等腰三角形；頂角的平分線；底邊上的中 線；底邊上的高，以其中任意兩個(gè)作為條件，就能推出其他兩個(gè)結(jié)論。5、推理證明是

7、本章的難點(diǎn)，要克服這個(gè)難點(diǎn)，可以結(jié)合所要求證的結(jié)論一起考慮，即“兩頭湊”，幫 助我們克服這一困難。重點(diǎn)考點(diǎn)：1. 垂直平分線、角平分線的定義以及性質(zhì)運(yùn)用： 練一練：（1） 用直尺和圓規(guī)作已知線段的中垂線。（2） 用直尺和圓規(guī)作已知角的角平分線。經(jīng)典練習(xí)選講：1如圖，AP、CP分別是ABC外角MAC與NCA的平分線，它們相交于點(diǎn)P，PDBM于點(diǎn)D，PFBN于點(diǎn)F求證：BP為MBN的平分線2.如右圖所示，已知ABAC，DE垂直平分AB交AC、AB于D、E兩點(diǎn)，若AB12cm，BCl0cm，A49°，求DBC度數(shù)。 2、軸對(duì)稱變換：定義：由一個(gè)平面圖形得到它的軸對(duì)稱圖形叫做軸對(duì)稱變換；利用

8、坐標(biāo)表示軸對(duì)稱：利用平面直角坐標(biāo)系中與已知點(diǎn)關(guān)于x軸或y軸對(duì)稱點(diǎn)的坐標(biāo)的規(guī)律，可以在平面直角坐標(biāo)系中作出與一個(gè)圖形關(guān)于x軸與y軸對(duì)稱的圖形。（由點(diǎn)到線，到面）*點(diǎn)（x，y）關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)是（x，y），關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)是（x，y）,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的點(diǎn)是（x，y）, 關(guān)于y=x對(duì)稱的點(diǎn)是（y，x）。例題：1、如圖:(1)求點(diǎn)A關(guān)于y軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；(2)求點(diǎn)B關(guān)于x軸對(duì)稱的點(diǎn)的坐標(biāo)；2、3、軸對(duì)稱作圖，找點(diǎn)，使得距離之和最短問(wèn)題相應(yīng)經(jīng)典練習(xí)選講：（1）.如圖：D，E為ABC兩邊AB，AC的中點(diǎn)，將ABC沿線段DE折疊，使點(diǎn)A落在點(diǎn)F處，若B50，則BDF=_（2）.把一張長(zhǎng)方形紙片按如圖所示的方

9、式折疊，EM，F(xiàn)M為折痕，折疊后的C點(diǎn)落在BM或BM的延長(zhǎng)線上，那么EMF的度數(shù)為_。（3） .如圖所示，梯形ABCD中，AD/BC，AB=CD=AD=1，B60，直線MN為梯形ABCD的對(duì)稱軸，P為MN上一點(diǎn)，那么PCPD的最小值為_。（4） 在正方形ABCD中，M，N為AD和BC中點(diǎn)，將點(diǎn)C沿直線BE對(duì)折，使C落在MN上為F，求EBC。5、已知直線l為x+y=8，點(diǎn)P（x，y）在l上，且x0，y0，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（6，0）（1）設(shè)OPA的面積為S，求S與x的函數(shù)關(guān)系式，并直接寫出x的取值范圍；（2）當(dāng)S=9時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）在直線l上有一點(diǎn)M，使OM+MA的和最小，求點(diǎn)M的坐標(biāo)6、如圖

10、：在長(zhǎng)度為1個(gè)單位的小正方形組成的網(wǎng)格中，點(diǎn)A、B、C在小正方形的頂點(diǎn)上（1）在圖中畫出與ABC關(guān)于直線l成軸對(duì)稱的ABC；（2）ABC的面積為；（3）在直線l上找一點(diǎn)P，使PB+PC的長(zhǎng)最短，則這個(gè)最短長(zhǎng)度為個(gè)單位長(zhǎng)度（在圖形中標(biāo)出點(diǎn)P）4、等腰三角形：（1） 等腰三角形的定義：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形。相等的兩邊叫腰，另一邊叫做底邊，兩腰的夾角叫做頂角，腰和底邊的夾角叫做底角；（2） 等腰三角形的性質(zhì)：a：兩腰相等；b：兩底角相等；c：頂角平分線，底邊上的中線，高三線重合（三線合一），d：對(duì)稱性；（3） 等腰三角形的判定：如果一個(gè)三角形有兩個(gè)角相等，那么這兩個(gè)角所對(duì)的邊相等（“等

11、角對(duì)等邊”）；（4） 等邊三角形的定義：三邊都相等的三角形叫做等邊三角形；*等邊三角形是一種特殊的等腰三角形等邊三角形的性質(zhì)：a：等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等，并且每個(gè)角都等于60度；b：等邊三角形每一條邊上都是三線合一；（5） 等邊三角形的判定：a：三個(gè)角都相等的三角形是等邊三角形；b：有一個(gè)角是60度的等腰三角形是等邊三角形。經(jīng)典練習(xí)選講：題型一：等腰三角形的性質(zhì)（1）如圖：在中，ABAC，D為AC邊上一點(diǎn)，且BD=BC=AD，則A等于_。（2）等腰三角形兩邊長(zhǎng)為5cm和9cm，周長(zhǎng)為_；等腰三角形兩邊長(zhǎng)為4cm和9cm時(shí)，周長(zhǎng)為_；若等腰三角形周長(zhǎng)為40cm，一邊長(zhǎng)為14cm，其他兩邊長(zhǎng)為_

12、。（3）等腰三角形中一個(gè)角為40°，則另外兩個(gè)角為_,如果一個(gè)角為100°，那另外兩個(gè)角為_.（4）如圖所示：在ABC中，123，ABC為等邊三角形，求BEC的度數(shù)（5）如圖,ABC中,AD平分CAB交BC于D，且CD=2，C=900，DEF=900，B=FDB=22.50,AE=6,DF=4,求AB的長(zhǎng). 第（4）題圖第5題圖（6）如圖,ABC中,AB=AC,E 在CA的延長(zhǎng)線上,AEF=AFE,求證:EFBC。第6題圖（7）如圖所示：在ABC 中，BD=DE=EC=AD=AE，求BAC的度數(shù)。第（7）題圖（8）如圖，AD是等腰ABC的頂角平分線，P是AD上一點(diǎn)，連接CP

13、,BP,并分別將它們延長(zhǎng)，交AB于點(diǎn)F,交AC于點(diǎn)E(1)說(shuō)出點(diǎn)E關(guān)于AD的對(duì)稱點(diǎn)，并說(shuō)明理由；(2)找出圖中與CPE全等的三角形，并說(shuō)明理由；(3)若AD=6,BC=4,求圖中陰影部分的面積。第（8）題 題型二：等腰三角形的三線合一（1）如圖，在等腰RtABC中，ACB=90°，D為BC的中點(diǎn)，DEAB，垂足為 E，過(guò)點(diǎn)B作BFAC交DE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，連接CF （1）求證：ADCF； （2）連接AF，試判斷ACF的形狀，并說(shuō)明理由第（1）題圖（2）如圖，AC=BC,ACBC,AEBE,BD=2AE, 求證：BE平分ABC第2題圖(3)如圖，ABC=90°，D、E分別在B

14、C、AC上，ADDE，且AD=DE，點(diǎn)F是AE的中點(diǎn)，F(xiàn)D與AB相交于點(diǎn)M（1）求證：FMC=FCM；（2）AD與MC垂直嗎？并說(shuō)明理由第3題圖等邊三角形和等腰直角三角形的性質(zhì)應(yīng)用及判定（1）如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D,E分別在邊BC,AB上，BD=AE,AD與CE交于點(diǎn)F.求證：(1)AD=CE;(2)求DFC的度數(shù)。（2）如圖，在RtABC中，B=90°，ACB=60°，D是BC延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且AC=CD,則BC:CD= （3）已知，如圖，AB是等腰直角三角形ABC的斜邊，AD是 A的平分線，求證：AC+CD=AB （4）兩個(gè)全等的含30°，60°的

15、三角板ADE和三角板ABC，如圖所示放置，E,A,C三點(diǎn)在一條直線上，連接BD,取BD的中點(diǎn)M,連接ME,MC,試判斷EMC的形狀，并說(shuō)明理由。等腰三角形鞏固提高1. 如圖，在ABC中，AB=AD=DC，BAD=26°，求B和C的度數(shù)2、如圖鋼架中，焊上等長(zhǎng)的13根鋼條來(lái)加固鋼架，若AP1=P1P2=P2P3=P13P14=P14A，則A的度數(shù)是2、如圖，點(diǎn)D，E在ABC的邊BC上，ABAC，ADAE，求證BDCE3、如圖，ABC中，D、E分別是AC、AB上的點(diǎn)，BD與CE交于點(diǎn)O.給出下列三個(gè)條件：EBO=DCO;BEO=CDO;BE=CD.AEBCOD(1) 上述三個(gè)條件中，哪兩

16、個(gè)條件可判定ABC是等腰三角形（用序號(hào)寫出所有情形）(2) 選擇第（1）小題中的一種情形，證明ABC是等腰三角形ACBFEO3、如圖，ABC中，ABC與ACB的平分線交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EFBC，交AB于點(diǎn)E，交AC于點(diǎn)F求證：EF=EB+FC.4、如圖，AB，CEDA，CE交AB于E，求證CEB是等腰三角形5、如圖，已知點(diǎn)B、C、D在同一條直線上，ABC和CDE都是等邊三角形BE交AC于F，AD交CE于H，求證：BCEACD；求證：CF=CH；判斷CFH的形狀并說(shuō)明理由6、如圖在四邊形ABCD中，B+ADC=180°，AB=AD，E、F分別是邊BC、CD延長(zhǎng)線上的點(diǎn)，且EAF=BAD

17、，求證：EF=BEFD7、已知：如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為A（4，0），B（0，-4），P為y軸上B點(diǎn)下方一點(diǎn)，PB=m（m0），以AP為邊作等腰直角三角形APM，其中PM=PA，點(diǎn)M落在第四象限（1）求直線AB的解析式；（2）用m的代數(shù)式表示點(diǎn)M的坐標(biāo)；（3）若直線MB與x軸交于點(diǎn)Q，判斷點(diǎn)Q的坐標(biāo)是否隨m的變化而變化，寫出你的結(jié)論并說(shuō)明理由8、如圖，在等邊ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊BC、AC上，且AE=CD，BE與AD相交于點(diǎn)P，BQAD于點(diǎn)Q（1）求證：ABECAD；（2）請(qǐng)問(wèn)PQ與BP有何關(guān)系？并說(shuō)明理由（備注：在直角三角形中，30°所對(duì)直角邊是是斜邊

18、的一半）觀察探究：1、已知如圖（1）：ABC中，AB=AC，B、C的平分線相交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作EFBC分別交AB、AC于E、F（1）寫出線段EF與BE、CF間的數(shù)量關(guān)系？（不證明）（2）若ABAC，其他條件不變，如圖（2），圖中線段EF與BE、CF間是否存在（1）中數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由（3）若ABC中，ABAC，B的平分線與三角形外角ACD的平分線CO交于O，過(guò)O點(diǎn)作OEBC交AB于E，交AC于F，如圖（3），這時(shí)圖中線段EF與BE，CF間存在什么數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由2、已知MON=40°，OE平分MON，點(diǎn)A、B在射線OM、OE上，點(diǎn)C是射線ON上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接AC交射線OE于點(diǎn)D，設(shè)OAC=x（1）填空：若ABON，當(dāng)BAD=ABD時(shí)，（如圖），則x的度數(shù)為；當(dāng)BAD=BDA時(shí)，（如圖），則