第二次課極限定義

1、1 第二章 極限與連續(xù) 2.1 數(shù)列的極限2.2 函數(shù)的極限2“割之彌細(xì)，所失彌少，割之彌細(xì)，所失彌少，割之又割，以至于不可割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無(wú)割，則與圓周合體而無(wú)所失矣所失矣”割圓術(shù)：割圓術(shù)：播放播放劉徽劉徽 求圓的面積求圓的面積2.1 數(shù)列的極限數(shù)列的極限3R正六邊形的面積正六邊形的面積1A正十二邊形的面積正十二邊形的面積2A正正 形的面積形的面積126 nnA,321nAAAASn 圓的面積圓的面積41,2nnu 如：.161814121、稱為數(shù)列數(shù)列，按一定順序排列的數(shù)123,u u u 記做記做( ) , (1,2,3)nuf nn1( 1)1,nnun 11 (

2、 1),nnu 2 0 2 0.、1 4 3 62,2 3 4 5第n項(xiàng)un的表達(dá)式稱為通項(xiàng)公式。5自主作業(yè)：自主作業(yè)：1. 等比數(shù)列與等差數(shù)列定義等比數(shù)列與等差數(shù)列定義2. 等比數(shù)列與等差數(shù)列求和公式等比數(shù)列與等差數(shù)列求和公式6n 當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)1( 1)1,nnun 觀察數(shù)列播放播放7問題問題: 當(dāng)當(dāng) 無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí), 是否無(wú)限接近于某一是否無(wú)限接近于某一確定的數(shù)值確定的數(shù)值?如果是如果是,如何確定如何確定?nxn. 1)1(1,1無(wú)限接近于無(wú)限接近于無(wú)限增大時(shí)無(wú)限增大時(shí)當(dāng)當(dāng)nxnnn 通過上面演示，可知通過上面演示，可知:1( 1)limlim11nnnnxn稱稱1為數(shù)列為數(shù)列xn

3、的極限的極限,記為記為8,1001給定給定,10011 n由由,100時(shí)時(shí)只要只要 n,10011 nx有有,10001給定給定,1000時(shí)時(shí)只要只要 n,1000011 nx有有,100001給定給定,10000時(shí)時(shí)只要只要 n,100011 nx有有, 0 給定給定,)1(時(shí)時(shí)只要只要 Nn.1成立成立有有 nx問題問題:如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃“無(wú)限接近無(wú)限接近”？ 1nxnnn11)1(1 9定義定義 如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù) ( (不論它多么不論它多么小小),),總存在正數(shù)總存在正數(shù)N, ,使得對(duì)于使得對(duì)于Nn 時(shí)的一切時(shí)的一切nx, ,不等式不等式

4、axn都成立都成立, ,那末就稱常數(shù)那末就稱常數(shù)a是數(shù)列是數(shù)列nx的極限的極限, ,或者稱數(shù)列或者稱數(shù)列nx收斂于收斂于a, ,記為記為 ,limaxnn 或或).( naxnlimnnuA0,0,|,nNnNuA 若使，恒有103.如果數(shù)列沒有極限如果數(shù)列沒有極限,就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的就說(shuō)數(shù)列是發(fā)散的.注意：注意：;. 1的無(wú)限接近的無(wú)限接近與與刻劃了刻劃了不等式不等式axaxnn . 2有關(guān)有關(guān)與任意給定的正數(shù)與任意給定的正數(shù) N11 第二節(jié)第二節(jié) 函數(shù)的極限函數(shù)的極限1、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義定義2、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極

5、限定義定義3、函數(shù)極限的性質(zhì)、函數(shù)極限的性質(zhì)121yx 1( ).f xxx 觀察函數(shù)當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)|x|趨于無(wú)窮,1lim0 xx1lim0 xx1lim0 xxx 當(dāng)時(shí),x 當(dāng)時(shí),1、自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限自變量趨向無(wú)窮大時(shí)函數(shù)的極限定義：定義：131,( )0.xf xx 當(dāng)當(dāng)無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:稱稱0為函數(shù)為函數(shù)f (x)的極限的極限,記為記為1lim0 xx14;)()(任意小任意小表示表示AxfAxf .的過程的過程表示表示 xXx問題問題: 如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)如何用數(shù)學(xué)語(yǔ)言刻劃函數(shù)“無(wú)限接近無(wú)限接近”？1

6、5 lim( )xf xA 記記為為 lim( )xf xA 記記為為單側(cè)極限單側(cè)極限:0,( ).xf xA 當(dāng)當(dāng)且且無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于0,( ).xxf xA 當(dāng)當(dāng)且且無(wú)無(wú)限限增增大大時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于 Axfx)(lim:定定理理.)(lim)(limAxfAxfxx 且且16limarctanxx例：?jiǎn)柎嬖趩?？lim arctan2xxlim arctan2xx limarctanxx不存在22解：171,1,( )1( )1, 1.1.xxf xxxxx 觀察函數(shù)和g當(dāng)時(shí)的變化趨勢(shì)1lim ( )2xg x1lim( )2xf x2、自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)

7、的極限自變量趨向有限值時(shí)函數(shù)的極限定義：定義：181,( )g( )2.xf xx當(dāng)當(dāng)趨趨于于 時(shí)時(shí)與與都都無(wú)無(wú)限限接接近近于于通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察通過上面演示實(shí)驗(yàn)的觀察:稱稱2為函數(shù)為函數(shù)f (x)與與g(x)的極限的極限,記為記為1lim( )2xf x1lim ( )2xg x19幾何解釋幾何解釋:)(xfy AAA0 x0 x0 xxyo.2,)(,0的帶形區(qū)域內(nèi)的帶形區(qū)域內(nèi)寬為寬為為中心線為中心線線線圖形完全落在以直圖形完全落在以直函數(shù)函數(shù)域時(shí)域時(shí)鄰鄰的去心的去心在在當(dāng)當(dāng) Ayxfyxx注意：注意：;)(. 10是是否否有有定定義義無(wú)無(wú)關(guān)關(guān)在在點(diǎn)點(diǎn)函函數(shù)數(shù)極極限限與與xxf.,越越

8、小小越越好好后后找找到到一一個(gè)個(gè)顯顯然然 20定義定義 21-0 lim( )xxf xA 記記為為0 lim( )xxf xA 記記為為單側(cè)極限單側(cè)極限:00,( ).xxxf xA 當(dāng)當(dāng)且且無(wú)無(wú)限限趨趨于于 時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于00,( ).xxxf xA 當(dāng)當(dāng)且且無(wú)無(wú)限限趨趨于于 時(shí)時(shí)無(wú)無(wú)限限接接近近于于定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim00022是否存在例：判斷xxx|lim0 xyo111lim|lim00 xxxxxx1lim|lim00 xxxxxx又不存在xxx|lim0解：23三、函數(shù)極限的性質(zhì)三、函數(shù)極限的性質(zhì). 唯一性定理：唯一性定理：若在某個(gè)過程中，函數(shù)極限存若在某個(gè)過程中，函數(shù)極限存在，則唯一在，則唯一.有界性定理有界性定理:若在某個(gè)過程中，函數(shù)極限存若在某個(gè)過程中，函數(shù)極限存在，則該在，則該函數(shù)在此過程的某時(shí)函數(shù)在此過程的某時(shí)刻起有界刻起有界.保號(hào)性定理保號(hào)性定理: p6024小結(jié)：小結(jié)：掌握數(shù)列概念、掌握數(shù)列概念、數(shù)列極限概念；數(shù)列極限概念；函數(shù)極限（趨于無(wú)窮，趨于函數(shù)極限（趨于無(wú)窮，趨于x0,）概念；）概念；會(huì)求簡(jiǎn)單極限。會(huì)求簡(jiǎn)單極限。作業(yè)：作業(yè)：P90: 3（1）, 5, 6252. 無(wú)界數(shù)列必發(fā)散無(wú)界數(shù)列必發(fā)散.1. 有界數(shù)列必收斂。有