橢圓方程數(shù)值解

1、j. 橢圓方程數(shù)值解法本章考慮橢圓微分方程數(shù)值解法。首先以二維二階橢圓方程為例，給出矩形網(wǎng)和三角網(wǎng)上的差分法。然后以一維二階橢圓方程為例，簡要描述有限元法的基本思想。J.1 矩形網(wǎng)上差分方程考慮二維區(qū)域（區(qū)域=連通的開集）上的二階橢圓型偏微分方程第一邊值問題（j.1） 其中,是常數(shù)；是給定的光滑函數(shù)；是的邊界；。假設(shè)（J.1）存在光滑的唯一解。考慮一種簡單情形，即求解區(qū)域是矩形區(qū)域，并且其四個(gè)邊與相應(yīng)坐標(biāo)軸平行。令和分別為和方向的步長，用平行于坐標(biāo)軸的直線段分割區(qū)域，構(gòu)造矩形網(wǎng)格： 為網(wǎng)格內(nèi)點(diǎn)節(jié)點(diǎn)集合，為網(wǎng)格邊界節(jié)點(diǎn)集合，。對于內(nèi)點(diǎn)，用如下的差分方程逼近微分方程（J.1）：(J.2) 其中。（

2、J.2）通常稱為五點(diǎn)差分格式。方程（J.2）可以整理改寫為（J.3） +對每一內(nèi)點(diǎn)都可以列出這樣一個(gè)方程。方程中遇到邊界點(diǎn)時(shí)，注意到邊界點(diǎn)上函數(shù)值已知，將相應(yīng)的項(xiàng)挪到右端去。最后得到以的內(nèi)點(diǎn)近似值為未知數(shù)的線性方程組。這個(gè)方程組是稀疏的，并且當(dāng)和足夠小時(shí)是對角占優(yōu)的。用（J.1）的真解在網(wǎng)點(diǎn)上的值、等等分別替換（J.2）中的、等等，然后在點(diǎn)處作Tailor展開，便知差分方程（J.2）逼近微分方程（J.1）的截?cái)嗾`差階為。另外可以證明，五點(diǎn)差分格式的收斂階為，并且關(guān)于右端和初值都是穩(wěn)定的。矩形網(wǎng)格差分格式的優(yōu)點(diǎn)是計(jì)算公式簡單直觀。但是，當(dāng)是非矩形區(qū)域，并且邊界條件包含法向?qū)?shù)（第二和第三邊值條件

3、）時(shí)，在矩形網(wǎng)格邊界點(diǎn)建立差分方程是一件頗為令人煩惱的事情。矩形網(wǎng)格的另一個(gè)大缺點(diǎn)是不能局部加密網(wǎng)格。 圖J.1 一般區(qū)域的矩形網(wǎng)格 J.2. 三角網(wǎng)差分格式本節(jié)我們將積分插值法用于三角網(wǎng)，建立三角網(wǎng)差分格式。三角網(wǎng)差分格式具有網(wǎng)格靈活和法向?qū)?shù)邊界條件易于處理等優(yōu)點(diǎn)，特別地，它還保持積分守恒（質(zhì)量守恒），深受使用者歡迎。文獻(xiàn)上常稱之為有限體積法或廣義差分法。考慮有界區(qū)域上的Poisson方程（J.4） ， 在邊界的各個(gè)部分、和分別給定第一、第二和第三邊值條件：（J.5a） （J.5b） （J.5c） 其中是常數(shù)，是邊界的外法向。作的三角剖分：在上取一系列點(diǎn)，連成閉折線，并記為由圍成且逼近的多

4、邊形區(qū)域。將分割成有限個(gè)三角形之和，使每個(gè)三角形的每個(gè)內(nèi)角不大于，并且每個(gè)三角形的任一頂點(diǎn)與其他三角形或者不相交，或者相交于頂點(diǎn)。引入如下術(shù)語。節(jié)點(diǎn)：三角形的頂點(diǎn)；單元：每個(gè)三角形；相鄰節(jié)點(diǎn)：同一條邊上的兩個(gè)節(jié)點(diǎn)；相鄰單元：有一條公共邊的兩個(gè)三角形。對于任一節(jié)點(diǎn)，考慮所有以它為頂點(diǎn)的三角形單元和以它為頂點(diǎn)的三角形邊，過每一條邊作中垂線，交于外心，得到圍繞該節(jié)點(diǎn)的小多邊形，稱為對偶單元。全體對偶單元構(gòu)成區(qū)域的一個(gè)新的網(wǎng)格剖分，稱為對偶剖分。 圖J.2 三角網(wǎng)及其對偶剖分 圖J.3 內(nèi)點(diǎn)(a)與邊界點(diǎn)(b)的對偶單元， ， ，對于和，分別利用右矩形公式和梯形公式計(jì)算所涉及到的積分，導(dǎo)出如下差分近似

5、： 這里。將上述六個(gè)公式帶入（J.6）中，就得到邊界點(diǎn)的差分方程。所有內(nèi)點(diǎn)和邊界點(diǎn)的差分方程構(gòu)成一個(gè)封閉的線性方程組，其系數(shù)矩陣是稀疏的，并且當(dāng)時(shí)是對稱的。J.3 橢圓方程的有限元法有限元法是與差分法并駕齊驅(qū)的一套求解偏微分方程的方法。它的基本想法是，首先把微分方程轉(zhuǎn)化成一種變分方程（微分積分方程），從而降低了對解的光滑性和邊值條件的要求；然后，把求解區(qū)域劃分成有限個(gè)單元（有限元），構(gòu)造分片光滑函數(shù)，這個(gè)光滑函數(shù)由其在單元頂點(diǎn)上的函數(shù)值決定；最后，把這個(gè)分片光滑函數(shù)帶入到上述微分積分方程中去，就得到關(guān)于單元頂點(diǎn)函數(shù)值的一個(gè)線性方程組，解之即得有限元解。與差分法相比，有限元法易于處理邊界條件，易

6、于利用分片高次多項(xiàng)式等等來提高逼近精度。 函數(shù)集合 作為例子，我們將考慮區(qū)間上的橢圓微分方程。用表示在上勒貝格平方可積函數(shù)的集合，表示本身以及直到階的導(dǎo)數(shù)都屬于的函數(shù)的集合。我們下面用到的主要是。這里所說的導(dǎo)數(shù)準(zhǔn)確地說是應(yīng)該是廣義導(dǎo)數(shù)，對此我們不予詳細(xì)說明，只需知道比如說，連續(xù)的分片線性函數(shù)（折線函數(shù)）就屬于，其廣義導(dǎo)數(shù)是分片常數(shù)函數(shù)。另外，我們還用到函數(shù)集合。 變分方程 考慮兩點(diǎn)邊值問題 （J.7a） （J.7b）（J.7c）其中都是區(qū)間上的光滑函數(shù)，并且，是一個(gè)正常數(shù)。用中任一函數(shù)乘（J.7a）式兩端，并在上積分，得 （J.8）利用分部積分，并注意和，得 以此代入到（J.8）得到 （J.9

7、） 為了方便，定義 （J.10） （J.11）則相應(yīng)于微分方程（1）-（3）的變分方程為：求滿足（J.12）注意在（J.12）中不出現(xiàn)二階導(dǎo)數(shù)。我們已經(jīng)看到，滿足微分方程（J.7）的光滑解一定滿足變分方程（J.12）。而變分方程（J.12）的解稱為微分方程（J.7）的廣義解，它可能只有一階導(dǎo)數(shù)，因此可能不是（1）-（3）的解；但是如果它在通常意義下二階可微，則一定也是（J.7）的解。另外，注意在變分方程（J.12）中，強(qiáng)制要求廣義解滿足邊值條件，因而稱之為強(qiáng)制（或本質(zhì)）邊界條件；而對邊值條件，則不加要求。但是可以證明，如果廣義解在通常意義下二階可微，則一定有，即這個(gè)邊界條件自然滿足。這類邊界條

8、件稱之為自然邊界條件。總之，變分方程（J.12）不但降低了對解的光滑性的要求，也降低了對邊值條件的要求。有限元空間 構(gòu)造有限元法的第一步與差分法一樣，也是對求解區(qū)間作網(wǎng)格剖分。相鄰節(jié)點(diǎn)之間的小區(qū)間稱為第個(gè)單元，其長度為。記。順便說一下，有限元法不要求步長是常數(shù)。而差分法通常要求步長是常數(shù)，以免截?cái)嗾`差階數(shù)降低。在空間中，按如下原則選取有限元空間：它的元素在每一單元上是次多項(xiàng)式，并且在每個(gè)節(jié)點(diǎn)上都是連續(xù)的。當(dāng)時(shí)，就得到最簡單的線性元，這時(shí)每個(gè)可表為， （J.13）其中。圖J.3. 一維線性元 線性元的另外一種表示方法用到以下具有局部支集的基函數(shù)： （J.14） （J.15） 圖J.4. 線性元的

9、基函數(shù)顯然，任一可以表為 （J.16）有限元方程 將變分方程（9）局限在有限元空間上考慮，就得到有限元方程：求有限元解滿足 （J.17）注意到和都可以表示成（J.16）形式，容易看出（J.17）等價(jià)于如下的線性方程組：求節(jié)點(diǎn)上的近似解滿足 （J.18）這個(gè)線性方程組是三對角的，可以用追趕法求解。可以把微分方程（J.1）、變分方程（J.12）和有限元方程（J.18）比喻為確定“好人”的三種標(biāo)準(zhǔn)：他每時(shí)每刻表現(xiàn)都好；大家都說他好；一個(gè)遴選委員會說他好。誤差估計(jì) 可以證明，微分方程（J.1）的解和有限元方程（J.18）的解之間的誤差滿足 （J.19）其中是一個(gè)常數(shù)；表示如下定義的范數(shù)： （J.20）

10、二維橢圓方程有限元法 以二維區(qū)域上的Poisson方程第一邊值問題為例： ， （J.21a） （J.21b）其中是以為邊界的一個(gè)二維區(qū)域。利用Green公式，容易推出相應(yīng)的變分方程：求滿足 ， （J.22）其中函數(shù)集合由滿足以下條件的所有函數(shù)組成：在邊界上為零，且本身及其廣義偏導(dǎo)數(shù)在區(qū)域上勒貝格可積； （J.23） （J.24） 二維區(qū)域上最常用剖分是形如下圖的三角剖分：我們可以相應(yīng)地構(gòu)造三角剖分上的線性元。對內(nèi)點(diǎn)集合（例如上圖中3，6，5這三個(gè)點(diǎn)）中每個(gè)節(jié)點(diǎn)，定義其基函數(shù)為一個(gè)分片線性函數(shù)，它在節(jié)點(diǎn)取值為1，而在所有其他節(jié)點(diǎn)為0。這樣，有限元空間中任一元素就可以表示成。把它帶入到變分方程（J.22）便得有限元方程：求上的近似解滿足 （J.25）高次元 可以從兩個(gè)途徑來提高有限元法的精度，一個(gè)是加密網(wǎng)格，另一個(gè)是利用高次元。例如對于一維問題，可以使用所謂Hermite三次元，它在每一個(gè)單元上是一個(gè)三次多項(xiàng)式，由兩個(gè)端點(diǎn)上的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值總共4個(gè)待定參數(shù)確定。這時(shí)，相應(yīng)于（J.19）我們有誤差估計(jì) （J.26）對于二維問題也可以使