勾股定理經(jīng)典例題(含答案)

1、經(jīng)典例題透析1則有類型一：勾股定理的直接用法1、在 RtAABC 中，ZC=90<(1) 已知la=6,c=10,求 b, (2)已知 a=40, b=9,求 c； (3)已知 c=25, b=15,求 a.思路點(diǎn)撥：寫解的過程中，一定要先寫上在哪個直角三角形中,注意勾股定理的變形使用。 解析：(1)在ZXABC 中，ZC=90'' , a=6, c=10,b=2 _= 8 在中，ZC=90° , a=40, b=9,c=2(3)在AABC 中,ZC=90° , c=25, b=15,a=2= 20舉一反三【變式】：如圖ZB=ZACD=90°

2、 MD=13，CD=12C=3,則AB的長是多少? 【答案】V ZACDAD 二 13,CD=12aac2=ad2-cd2=132-122=25:.AC=5又 V ZABC=9O0 且 BC=3由勾股定理可得AB2=AC2 -BC2=52-32=16:.AB= 4AB的長是4類型二：勾股定理的構(gòu)造應(yīng)用2、如圖，己知：在3C 中，ZS = 60 (7 = 70, AB = 30u BC 的長BD = -AB = 5山AD = 30°,2,再由勾股定理計算出AD. DC的長，進(jìn)而求出BC的長.解析：作加門丄EU于D則因=.匕BAD = 90°-60° = 30

3、6; (尺右的兩個銳角互余)BD = -AB = 52(在總中，如果一個銳角等于加°,那么它所對的直角邊等于斜邊的一半).根據(jù)勾股定理，在&MBD中,AD =人唆防=3一1寧=1能 根據(jù)勾股定理，在直曲口中，CD =AL = V702 -152 x3 = 65 5C = + £)C= 65+15 = 80舉一反三【變式1】如圖，己知：zcr = 90°,=9 MF丄山E于p求證：BP2 =AP2+BC2A解析：連結(jié)BM,根據(jù)勾股定理，在恣豳尿中，BP2 =BM2-PM2 而在尺口必 中，則根據(jù)勾股定理有MP2 = AM2 - AP2. BP2 = BM2

4、- （AM： -AP2）=BM2- AM2+AP2 又.AM = CM （已知），.加=廁廠曲+加 在中，根據(jù)勾股定理有 BM2-CM2 =BC2,加=2 +罟2【變式2】己知：如圖，ZB=ZD=90° , ZA=60° , AB=4, CD=2。求：四邊形ABCD的面枳。分析：如何構(gòu)造直角三角形是解本題的關(guān)鍵，可以連結(jié)AC,或延長AB、DC交于F,或延長AD、EC交于點(diǎn)E,根 據(jù)本題給定的角應(yīng)選后兩種，進(jìn)一步根據(jù)本題給定的邊選第三種較為簡單。解析：延長AD、EC交于E。V ZA=Z60" , ZB=90" , A ZE=3O0。AAE=2AB=8, C

5、E=2CD=4,/. BE2=AE2-AB2=82-42=48, BE= =氓療。VDE2= CE2-CD2=42-22= 12, DE=屁=?腫。/. Sabcd=Saabe-Sacde= AB BE- 2 CD 類型三：勾股定理的實際應(yīng)用用勾股定理求兩點(diǎn)之間的距離問題圖所示，在一次夏令營活動中，小明從營地A點(diǎn)出發(fā)，沿北偏東60°方向走了5D0m到達(dá)E點(diǎn)，然后再沿北偏西30。方向走了 500m到達(dá)目的地C點(diǎn)。求A、C兩點(diǎn)之間的距離。（2）確定目的地C在營地A的什么方向。 解析：（1）過E點(diǎn)作BE/AD/ ZDAB=ZABE=60：>30° +ZCBA+ZABE=18

6、0s> ZCEA=9（T即AABC為直角三角形由已知可得：BC=500m, AB=500m由勾股定理可得：AC2 =BC2+xB2所以AC = 7BC2 +AB2=少叩 2+（500 語）2 =iooo（m）4#（2）在 RtAABC 中,/ BC=5OOnif AC= 1000m ZCAB=30° ZDAB=60> ZDAC=3（V即點(diǎn)C在點(diǎn)A的北偏東30°的方向舉一反三【變式】一輛裝滿貨物的卡車，其外形高2.5米，寬1.6米，要開進(jìn)廠門形狀如圖的某工廠，問這輛卡車能否通過該 工廠的廠門？#【答案】由于廠門寬度是否足夠卡車通過，只要看當(dāng)卡車位于廠門正中間時其高

7、度是否小于CH.如圖所示，點(diǎn)D在離廠門中線0.8米處，且CD丄AB,與地面交于H. 解：OC=1米（大門寬度一半）,OD = 0.8米（卡車寬度一半）在RtAOCD中，由勾股定理得：CD=JE-少=Uo.6 米，CH=06 + 23 = 2.9 （米）>2.5 （米）. 因此高度上有0.4米的余量，所以卡車能通過廠門（二）用勾股定理求最短問題4、國家電力總公司為了改善農(nóng)村用電電費(fèi)過高的現(xiàn)狀，目前正在全國各地農(nóng)村進(jìn)行電網(wǎng)改造，某地有四個村莊A、E、C、D,且正好位于一個正方形的四個頂點(diǎn)，現(xiàn)計劃在四個村莊聯(lián)合架設(shè)一條線路，他們設(shè)計了四種架設(shè)方案，如 圖實線部分.請你幫助計算一卞，哪種架設(shè)方案

8、最省電線B H C(4)5#思路點(diǎn)撥：解答本題的思路是：最省電線就是線路長最短，通過利用勾股定理計算線路長，然后進(jìn)行比較，得出結(jié) 論.解析：設(shè)正方形的邊長為1,則圖（1）、圖（2）中的總線路長分別為AB+EC4*CD = 3, AB+EC+CD=3圖（3）中，在RtAABC中圖（3）中的路線長為2/22.828圖（4）中，延長EF交EC于H,則FH丄BC, BH=CH由ZFBH=2及勾股定理得:EA=ED=FB=FC= ?AEF=1-2FH=1 - 3此圖中總線路的長為4EA+EF=】 +胎已27323>2.828>2.732圖（4）的連接線路最短，即圖（4）的架設(shè)方案最省電線.舉

9、_反三【變式】如圖，一圓柱體的底面周長為20cm,高AB為4cm, BC是上底面的直徑.一只螞蟻從點(diǎn) A出發(fā)，沿著圓柱的側(cè)面爬行到點(diǎn)C,試求出爬行的最短路程.解:（提問：勾股定理）.ac=JaF+心=4°+1°2 =2松=1 0.77 （cm）（勾股定理）.答：最短路程約為1 0. 7 7 cm.類型四：利用勾股定理作長為而的線段5、作長為旋、的、據(jù)的線段。思路點(diǎn)撥：由勾股定理得，直角邊為1的等腰直角三角形，斜邊長就等于血，直角邊為血和1的直角三角形斜邊 長就是的，類似地可作據(jù)。作法：如圖所示6#（1）作直角邊為1 （單位長）的等腰直角ACE,使AB為斜邊：（2）以AB為一

10、條直角邊，作另一直角邊為1的直角入妨加。斜邊為刃忍；舉一反三 【變式】在數(shù)軸上表示顧的點(diǎn)。（3）順次這樣做卞去，最后做到直角三角形曲2爲(wèi)，這樣斜邊AB 曲】、£刃2、曲3的長度就是 恵、冊、胡、據(jù)。解析：可以把看作是直角三角形的斜邊，（潁二1°,為了有利于畫圖讓其他兩邊的長為整數(shù)，而10又是9和1這兩個完全平方數(shù)的和，得另外兩邊分別是3和lo作法：如圖所示在數(shù)軸上找到A點(diǎn)，使OA=3,作AC丄OA且截取AC=1,以O(shè)C為半徑, 以O(shè)為圓心做弧，弧與數(shù)軸的交點(diǎn)B即為航。類型五：逆命題與勾股定理逆定理6、寫出卞列原命題的逆命題并判斷是否正確1. 原命題：貓有四只腳.（正確）2.

11、 原命題：對頂角相等（正確）3. 原命題：線段垂直平分線上的點(diǎn)，到這條線段兩端距離相等.（正確）4. 原命題：角平分線上的點(diǎn)，到這個角的兩邊距離相等.（正確）思路點(diǎn)撥：掌握原命題與逆命題的關(guān)系。解析：1.逆命題：有四只腳的是貓（不正確）2. 逆命題：相等的角是對頂角（不正確）3. 逆命題：到線段兩端距離相等的點(diǎn)，在這條線段的垂直平分線上.（正確）4. 逆命題：到角兩邊距離相等的點(diǎn)，在這個角的平分線上.（正確）總結(jié)升華：本題是為了學(xué)習(xí)勾股定理的逆命題做準(zhǔn)備。7、如果 ABC的三邊分別為a、b、c,且滿足a2+b2+c2+50=6a+8b+lOc,判斷A ABC的形狀。思路點(diǎn)撥：要判斷A ABC的

12、形狀，需要找到a、b、c的關(guān)系，而題目中只有條件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c,故只有從 該條件入手，解決問題。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b4-10c 得：a2-6a+9+b2-8b+16-rc2-l Oc+2 5=0、I （a-3）2+（b-4）2+（c-5）2=0oV （a-3）2M0,（b«4）2$0,（c5）2$0°/. a=3, b=4, c=5o 3*2=52, a2+b2=c2o由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形?？偨Y(jié)升華：勾股定理的逆定理是通過數(shù)量關(guān)系來研究圖形的位置關(guān)系的，在證明中也常要用到。AB=3, BC=4, CD

13、=12, AD=13,求四邊形 ABCD 的面積。舉一反三【變式1四邊形ABCD中，ZB=90：【答案】：連結(jié)ACV ZB=90° , AB=3, BC=4/.AC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）AAC=5VAC2+CD2=169, AD169AAC2+CD2=AD2 ZACD=90° （勾股定理逆定理） 綣邊嗨仞=呂叱+沁3 =肋尿+肚=矢【變式2已知:ZkABC的三邊分別為m-n-,2nm4ir+n-（m.n為正整數(shù)，且m>n）,判斷是否為直角三角形. 分析本題是利用勾股定理的的逆定理，只要證明"+夕=，即可證明:（m2 一方彳）2 + （2mn）

14、2 二/一 2異護(hù) + 尬4 + 4/?z2«2BC=血"+ 2222 +« + =0? +北2）2所以ABC是直角三角形.2【變式3】如圖正方形ABCD, E為EC中點(diǎn)，F(xiàn)為AB上一點(diǎn)，且EF=°AE°請問FE與DE是否垂直?請說明?！敬鸢浮看穑篋E丄EF。證明：設(shè) EF=s 貝lj EE=EC=2a,AF=3a, AB=4% EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2； DE2=CE2+CD2=4a2+162=2 Oa2。連接DF （如圖）DF2=AF2+AD2=9a2+162=2 52。I DF2=EF2+DE2,/. FE 丄 DEo

15、經(jīng)典例題精析類型一：勾股定理及其逆定理的基本用法1、若直角三角形兩直角邊的比是3： 4,斜邊長是20,求此直角三角形的面積。思路點(diǎn)撥：在直角三角形中知道兩邊的比值和第三邊的長度，求面積，可以先通過比值設(shè)未知數(shù)，再根據(jù)勾股定理 列出方程，求出未知數(shù)的值進(jìn)而求面積。解析：設(shè)此直角三角形兩直角邊分別是3x, 4x,根據(jù)題意得：(3x) 2+ (4x) 2=202化簡得x2=16；2直角三角形的面積=? X3xX4x=6x2 = 96總結(jié)升華：直角三角形邊的有關(guān)計算中，常常要設(shè)未知數(shù)，然后用勾股定理列方程(組)求解。 舉一反三【變式1】等邊三角形的邊長為2,求它的面積?！敬鸢浮咳鐖D，等邊ZiABC,作

16、AD丄EC于D1貝|J： bd=2bc (等腰三角形底邊上的高與底邊上的中線互相重合)VAB=AC=BC = 2 (等邊三角形各邊都相等)ABD=1在直角三角形 ABD 中，AB2=AD2+BD2,即：AD2 = AB2-BD2 = 4-1 = 3 Z.AD=2Saabc= 2 BC AD=注：等邊三角形面枳公式：若等邊三角形邊長為a,則其面積為4 ao【變式2】直角三角形周長為12cm,斜邊長為5cm,求直角三角形的面積。 【答案】設(shè)此直角三角形兩直角邊長分別是x, y,根據(jù)題意得：Jx+j; + 5 = 12(1)° 只 +b = 52(2)8由(1)得：x+y=7,(x+y)

17、2=49, x2+2xy+y2=49 (3)(3) (2),得:xv=12直角三角形的面積是2 xy= 2 X12=6 (cm2)【變式3】若直角三角形的三邊長分別是n+b n+2, n+3,求m思路點(diǎn)撥：首先要確定斜邊(最長的邊)長U+3,然后利用勾股定理列方程求解。解：此直角三角形的斜邊長為D+3,由勾股定理可得：(n+1) 2+ (n+2) 2= (n+3) 2化簡得：n2=4/n=±2,但當(dāng) n=2 時,n+l = 1<0, An=2總結(jié)升華：注意直角三角形中兩“直角邊”的平方和等于“斜邊”的平方，在題目沒有給出哪條是直角邊哪條是斜 邊的情況下，首先要先確定斜邊，直角邊

18、?！咀兪?】以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是()A、8, 15, 17 E、4, 5, 6 C、5, 8, 10 D、8, 39, 40解析：此題可直接用勾股定理的逆定理來進(jìn)行判斷，對數(shù)據(jù)較大的可以用c2=a2+b2的變形：b2=c2-a2= (c-a) (c+a)來判斷。 例如：對于選擇D,V82 (40+39) X (40-39),以8, 39, 40為邊長不能組成直角三角形。同理可以判斷其它選項?！敬鸢浮?【變式5】四邊形ABCD中，ZB=90：, 解：連結(jié)ACA,AB=3, BC=4, CD=12, AD=13,求四邊形 ABCD 的面積。V ZB=90° , AB=

19、3, BC=4AAC2=AB2+BC2=25 （勾股定理）AC=5VAC2+CD2=169, AD169.ac2+cd2=ad2ZACD=90° （勾股定理逆定理） 1 1S 卩q邊彤 abcd=Sz.abc+Saacd= ? AB EC+ ? AC CD=36類型二：勾股定理的應(yīng)用2、如圖，公路MN和公路PQ在點(diǎn)P處交匯，且ZQPN=30° ,點(diǎn)A處有一所中學(xué)，AP=160m°假設(shè)拖拉機(jī)行駛 時，周M 100m以內(nèi)會受到噪音的影響，那么拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校是否會受到噪聲影響？請說 明理由，如果受影響，己知拖拉機(jī)的速度為ISkiiVh,那么學(xué)校

20、受影響的時間為多少秒？思路點(diǎn)撥：(1)要判斷拖拉機(jī)的噪音是否影響學(xué)校A,實質(zhì)上是看A到公路的距離是否小于100m、小于100m則受 影響，大于100m則不受影響，故作垂線段AB并計算其長度。(2)要求出學(xué)校受影響的時間，實質(zhì)是要求拖拉機(jī)對學(xué) 校A的影響所行駛的路程。因此必須找到拖拉機(jī)行至哪一點(diǎn)開始影響學(xué)校，行至哪一點(diǎn)后結(jié)束影響學(xué)校。解析：作AE丄MN,垂足為E。在 RtAABP 中，VZABP = 90n , ZAPB = 30<> ,AP=160, AB=2aP = 80o (在直角三角形中，30°所對的直角邊等于斜邊的一半)點(diǎn)A到直線MN的距離小于100m.這所中學(xué)會

21、受到噪聲的影響。如圖，假設(shè)拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛到點(diǎn)C處學(xué)校開始受到影響，那么AC=100(m),110由勾股定理得：BC2= 100-80 3600匸BC = 60o11同理，拖拉機(jī)行駛到點(diǎn)D處學(xué)校開始脫離影響，那么，AD= 100（m）, BD = 60（m）,ACD=120（m）o拖拉機(jī)行駛的速度為：18kin'h=5nVst= 120m-r 5m/ s=24s。答：拖拉機(jī)在公路MN上沿PN方向行駛時，學(xué)校會受到噪聲影響，學(xué)校受影響的時間為24秒?？偨Y(jié)升華:勾股定理是求線段的長度的很重要的方法,若圖形缺少直角條件，則可以通過作輔助垂線的方法，構(gòu)造直角三 角形以便利用勾股

22、定理。舉一反三【變式1】如圖學(xué)校有一塊長方形花園，有極少數(shù)人為了避開拐角而走“'捷徑S在花園內(nèi)走出了一條“路”。 他們僅僅少走了步路（假設(shè)2步為lm）,卻踩傷了花草。#解析：他們原來走的路為3+4=7（m） 設(shè)走“捷徑”的路長為xm,則x=V32 +42 =5 故少走的路長為7-5=2（m） 又因為2步為Ini,所以他們僅僅少走了 4步路?！敬鸢浮?【變式2】如圖中的虛線網(wǎng)格我們稱之為正三角形網(wǎng)格，它的每一個小三角形都是邊長為1的正三角形，這樣的三角 形稱為單位正三角形。（1）直接寫出單位正三角形的高與面積。（2）圖中的平行四邊形ABCD含有多少個單位正三角形？平行四邊形ABCD的面枳

23、是多少？（3）求出圖中線段AC的長（可作輔助線）。#【答案】（1）單位正三角形的高為2 ,面積是24。24x = 63（2）如圖可直接得出平行四邊形ABCD含有24個單位正三角形，因此其面積 4（3）過A作AK丄EC于點(diǎn)K （如圖所示），則在RtAACK中,AK =類型三數(shù)學(xué)思想方法（一）轉(zhuǎn)化的思想方法我們在求三角形的邊或角，或進(jìn)行推理論證時，常常作垂線，構(gòu)造直角三角形，將問題轉(zhuǎn)化為直角三角形問題來解決.3、如圖所示，AABC是等腰直角三角形，AB=AC, D是斜邊EC的中點(diǎn)，E、F分別是AE、AC邊上的點(diǎn)，且DE#丄DF,若BE=12, CF=5.求線段EF的長。思路點(diǎn)撥：的特征，三角形的中線有特殊的性質(zhì)，不妨先連接AD 解：連接AD因為ZBAC=90< , AB=AC 又因為AD為ZiABC的中線, 所以 AD=DC=DB AD1BC 且 ZBAD=ZC=45° 因為 ZEDA+ ZADF=90° 又因為 ZCDF+ ZADF=9(f 所以 Z EDA= Z CDF 所以 AED 空 CFD (ASA) 所以AE