導數(shù)應用：含參函數(shù)的單調性討論(一)VIP

1、導數(shù)應用：含參函數(shù)的單調性討論 (一)、思想方法:f'(x) 0 x a b .f(x)增區(qū)間為 a,b和f'(x) 0 x c d . f(x)增區(qū)間為 c, d和xd時f'(x)0f(x)在區(qū)間d上為增函數(shù)xd時f'(x)0f (x)在區(qū)間d上為減函數(shù)xd時f'(x)0f(x)在區(qū)間d上為常函數(shù)討論函數(shù)的單調區(qū)間可化歸為求解導函數(shù)正或負的相應不等式問題的討論。、典例講解a 例1 討論f (x) * a的單調性，求其單調區(qū)間xa解：f(x) x 的定義域為(，0) (0,)x2f'(x) 1 芻 x 2 a (x 0)(它與 g(x) x2 a

2、同號) x xi)當 a 0時，f'(x) 0(x 0)恒成立，此時f (x)在(，0)和(0,)都是單調增函數(shù)，即f (x)的增區(qū)間是(，0)和(0,);ii)當 a 0時 f'(x) 0(x 0) xja或x taf '(x) 0(x 0)va x 0或 0 x ja此日f(x)在(，ja)和(4a,)都是單調增函數(shù)，f (x)在(ja,。)和(0, ja)都是單調減函數(shù),即f(x)的增區(qū)間為(，ja)和(ja,)；f(x)的減區(qū)間為(va,0)和(0,如.步驟小結：1、先求函數(shù)的定義域，2、求導函數(shù)(化為乘除分解式，便于討論正負)，3、先討論只有一種單調區(qū)間的(導

3、函數(shù)同號的)情況，4、再討論有增有減的情況(導函數(shù)有正有負，以其零點分界)5、注意函數(shù)的斷點，不連續(xù)的同類單調區(qū)間不要合并。變式練習1 :討論f (x) x aln x的單調性，求其單調區(qū)間解：f (x) x aln x的定義域為(0,)a x a_f' (x) 1 - (x 0)(匕與 g(x) x a 同方)x xi)當 a 0時，f'(x) 0(x 0)恒成立，此時f (x)在(0,)為單調增函數(shù)，即f(x)的增區(qū)間為(0,),不存在減區(qū)間；ii)當 a 0時f'(x) 0(x 0) x a;f'(x) 0(x 0)0 x a此日f (x)在(a,)為單調

4、增函數(shù)， f (x)在(0, a)是單調減函數(shù),即f(x)的增區(qū)間為(a, );f(x)的減區(qū)間為(0, a).例2.討論f (x) ax ln x的單調性解：f (x) ax in x的定義域為(0,)1 ax 1 f (x) a - (x 0)(匕與 g(x) ax 1 同號)x x1i) 當a 0時，f'(x) 0(x 0)恒成立 (此時f'(x) 0 x沒有意義)a此時f (x)在(0,)為單調增函數(shù)，即f(x)的增區(qū)間為(0,)ii) 當 a 0 時，f'(x) 0(x 0)恒成立， 1 (此時f'(x) 0 x 一不在定義域內，沒有意義) a此日f(

5、x)在(0,)為單調增函數(shù)，即f(x)的增區(qū)間為(0,)，c ,人、1iii) 當 a 0時，令 f'(x) 0 x 一 a于是，當x變化時，f'(x), f(x)的變化情況如下表：(結合g(x)圖象定號)x(0,-) a1 a(-,) af'(x)0f(x)增/減、1.1所以， 此時f(x)在(0,)為單調增函數(shù)，f(x)在(一，)是單倜減函數(shù)， aa1、1即f(x)的增區(qū)間為(0, 1)；f(x)的減區(qū)間為(1,). aa小結：導函數(shù)正負的相應區(qū)間也可以由導函數(shù)零點來分界，但要注意其定義域和連續(xù)性。即先求出f'(x)的零點，再其分區(qū)間然后定f'(x)

6、在相應區(qū)間內的符號。一般先討論f'(x) 0無解情況，再討論解f'(x) 0過程產(chǎn)生增根的情況(即解方程變形中諸如平方、去分母、去對數(shù)符號等把自變量x范圍擴大而出現(xiàn)有根，但根實際上不在定義域內的)，即根據(jù)f'(x)零點個數(shù)從少到多， 相應原函數(shù)單調區(qū) 間個數(shù)從少到多討論，最后區(qū)間(最好結合導函數(shù)的圖象)確定相應單調性。變式練習2.討論f(x) 1ax2 lnx的單調性 21 2解：f(x) - ax lnx的定義域為(0,)21 ax2 1of'(x) ax 一 (x 0),它與 g(x) ax 1 同號.x x2令 f'(x) 0 ax2 1 0(x

7、0),當a 0時，無解；當a 0時,x 1 1(另一根不在定義域內舍去).a a21、r -、i)當a 0時，f'(x) 0(x 0)恒成立(此時f'(x) 0 x沒有意義)a此時f (x)在(0,)為單調增函數(shù)，即f(x)的增區(qū)間為(0,)ii)當 a 0 時，f'(x) 0(x 0)恒成立，(此時方程ax2 1 0判別式 0,方程無解)此日f(x)在(0,)為單調增函數(shù)，即 f(x)的增區(qū)間為(0,)iii) 當 a0時，當x變化時，f'(x), f (x)的變化情況如下表：(結合g(x)圖象定號)x日)f'(x)0f(x)增/減、所以， 此時f (

8、x)在(0, j:)為單調增函數(shù)，f (x)在(j -,)是單調減函數(shù), aa即f(x)的增區(qū)間為(0, j n)；f(x)的減區(qū)間為(-,). aa小結：一般最后要綜合討論情況，合并同類的，如i),ii)可合并為一類結果。對于二次型函數(shù)(如 g(x) ax2 1)討論正負一般先根據(jù)二次項系數(shù)分三種類型討論。例3.求f (x) a2x3 ax2 x 1的單調區(qū)間解：f(x) a2x3 ax2 x 1的定義域為r,f '(x) 3a2x2 2ax 1 (3ax 1)(ax 1)i)當a 0時，f'(x)1 0 f (x)在r上單調遞減，f (x)減區(qū)間為r,無增區(qū)間。_ 2_ii

9、)當a 0時3a 0, f'(x)是開口向上的二次函數(shù)，.一 .11.令f'(x) 0得x1,x2-(a 0),因此可知(結合f'(x)的圖象)3a ai) 當 a 0 時，x1x21 .、1 -11f' (x) 0 x或乂 ;f '(x) 0 x a 3aa3a所以此時,f (x)的增區(qū)間為,1)(,)； f(x)的減區(qū)間為(_,a)a 3a3aii)0時,xix2f'(x)3a1-； af'(x)13a所以此時,f(x)的增區(qū)間為(11. . .1,，)和(，)；f(x)的減區(qū)間為(，3a a3a小結:，常見的是化為求函數(shù)單調區(qū)間可化

10、為導函數(shù)的正負討論(即分討論其相應不等式的解區(qū)間)、二次型不等式討論，當二次函數(shù)開口定且有兩根時，一般要注意討論兩根大小(分大、/1 種情況)。含參二次不等式解時要先看能否因式分解，若能則是計算簡單的問題，需看開口及兩根大小，注意結合圖象確定相應區(qū)間正負。變式練習3.求f(x) 1x3 1ax2 321的單調區(qū)間解:f(x)的定義域為r, f'(x)axf'(x)是開口向上的二次函數(shù),i)當 0所以此時2 a 2 時,f'(x)ii)令 f'(x)f (x)在r上單調遞增，a 2或a 2時0 得 a、；a2 420恒成立f(x)增區(qū)間為r,無減區(qū)間。2a . a

11、 4,又2 , xx22x(,x1)x1(x1，x2)x2(x2 ,)f'(x)00f(x)增/減、增/(結合f'(x)的圖象)f(x)與f'(x)隨x變化情況如下表因此可知所以此時，f(x)的增區(qū)間為(,、 a a2 4f(x)的減區(qū)間為(24 a . a 4一)和(,);2a a2 4,2)小結：三次函數(shù)的導函數(shù)是常見二次函數(shù)，當二次函數(shù)開口定時對其正負進行討論的，要根據(jù)判別式討 論：無根的或兩根相等的導函數(shù)只有一種符號，相應原函數(shù)是單調的較簡單應先討論；然后再討論有xi, x2代替復雜的式，最后結論才寫回。兩不等根的，結合導函數(shù)圖象列變化表，注意用根的符號個別點處

12、導數(shù)為0不影響單調性。只有在某區(qū)間內導數(shù)恒為0時，相應區(qū)間內原函數(shù)為常數(shù),般中學所見函數(shù)除分段函數(shù)和常函數(shù)外不會出現(xiàn)此種情況。三、鞏固作業(yè):a1.已知函數(shù)f(x) lnx .,求f(x)的單調區(qū)間. x解：函數(shù)的定義域為(0,+ ) , f x 1吃 ja, x x x令f x0得：x a若 a 0即a 0,則f x 0, f x在(0,)上單調遞增；若 a 0即a 0,則由f x 0得x>-a，由f x0得乂<勺f x在(a,)上單調遞增，在0,-a 上單調遞減.總之，當a 0時，f x在(0,)上單調遞增；當a 0時，f x在(a,)上單調遞增，在0,-a 上單調遞減1 .2.

13、已知函數(shù)f(x)= x2 - ax+( a - 1) ln x ,討論函數(shù)f(x)的單倜性，求出其單倜區(qū)間。 2解：f(x)的定義域為(0,).、a 1 x2 ax a 1 (x 1)(x 1 a) x 1 x a 1f (x) x a =xxxx令 f' x0 得: 1, x2 a 1若a 1 0即a 1時，f'(x) 0 x 1; f'(x) 00 x 1此時f(x)在(1,)單調遞增，在(0,1)單調遞減(2)若a 1 0即a 1時，. . (x 1)2一若a 1 1即a 2時，f (x) a->0,故f(x)在(0,)單調遞增. x若0<a 1 1,即1 a 2時，由 f'(x) 0得，a 1 x 1；由 f'(x) 0得，0 x a 1 或x 1故f(x)在(a 1,1)單調遞減，在(0,a 1),(1,)單調遞增.若a 1 1,即a 2時，由 f (x) 0 得，1 x a 1 ；由 f (x) 0得，0 x 1 或x a 1故f