D14連續(xù)性間斷點(diǎn)

1、一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義 第四節(jié)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 函數(shù)的連續(xù)性 第一章 1可見 , 函數(shù))(xf在點(diǎn)0 x一、一、 函數(shù)連續(xù)性的定義函數(shù)連續(xù)性的定義定義定義:)(xfy 在0 x的某鄰域內(nèi)有定義 , , )()(lim00 xfxfxx則稱函數(shù).)(0連續(xù)在xxf(1) )(xf在點(diǎn)0 x即)(0 xf(2) 極限)(lim0 xfxx(3). )()(lim00 xfxfxx設(shè)函數(shù)連續(xù)必須具備下列條件:存在 ;且有定義 ,存在 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2continue)()(lim, ),(000 xpxpxxx若)(xf在某區(qū)間上每一點(diǎn)都

2、連續(xù) , 則稱它在該區(qū)間上連續(xù) , 或稱它為該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)連續(xù)函數(shù) . ,bac例如例如,nnxaxaaxp10)(在),(上連續(xù) .( 有理整函數(shù) )又如又如, 有理分式函數(shù))()()(xqxpxr在其定義域內(nèi)連續(xù).在閉區(qū)間,ba上的連續(xù)函數(shù)的集合記作只要,0)(0 xq都有)()(lim00 xrxrxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 3對自變量的增量,0 xxx有函數(shù)的增量)()(0 xfxfy)()(00 xfxxf)(xfy xoy0 xxxy)()(lim00 xfxfxx)()(lim000 xfxxfx0lim0yx)()()(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù),0,0當(dāng)

3、xxx0時(shí), 有yxfxf)()(0函數(shù)0 x)(xf在點(diǎn)連續(xù)有下列等價(jià)命題:機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4例例1. 證明函數(shù)xysin在),(內(nèi)連續(xù) .證證: ),(xxxxysin)sin()cos(sin222xxx)cos(sin222xxxy122 xx0 x即0lim0yx這說明xysin在),(內(nèi)連續(xù) .同樣可證: 函數(shù)xycos在),(內(nèi)連續(xù) .0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 5在在二、二、 函數(shù)的間斷點(diǎn)函數(shù)的間斷點(diǎn)(1) 函數(shù))(xf0 x(2) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx不存在;(3) 函數(shù))(xf0 x)(lim0 xfxx存在 , 但)()(

4、lim00 xfxfxx 不連續(xù) :0 x設(shè)0 x在點(diǎn))(xf的某去心鄰域內(nèi)有定義 , 則下列情形這樣的點(diǎn)0 x之一函數(shù) f (x) 在點(diǎn)雖有定義 , 但雖有定義 , 且稱為間斷點(diǎn)間斷點(diǎn) . 在無定義 ;機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 6間斷點(diǎn)分類間斷點(diǎn)分類: :第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf均存在 , )()(00 xfxf若稱0 x, )()(00 xfxf若稱0 x第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn):)(0 xf及)(0 xf中至少一個(gè)不存在 ,稱0 x若其中有一個(gè)為振蕩 ,稱0 x若其中有一個(gè)為,為可去間斷點(diǎn) .為跳躍間斷點(diǎn) .為無窮間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn) .為振蕩間斷點(diǎn)振蕩

5、間斷點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 7xytan) 1 (2x為其無窮間斷點(diǎn) .0 x為其振蕩間斷點(diǎn) .xy1sin) 2(1x為可去間斷點(diǎn) .11)3(2xxyxoy1例如例如:xytan2xyoxyxy1sin0機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 81) 1 (1)(lim1fxfx顯然1x為其可去間斷點(diǎn) .1,1,)(21xxxxfy(4)xoy211(5) 0,10,00,1)(xxxxxxfyxyo11, 1)0(f1)0(f0 x為其跳躍間斷點(diǎn) .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 9注意注意：)()(lim00 xfxfxx0)()(lim000 xfxxfx)()()

6、(000 xfxfxf左連續(xù)右連續(xù))(. 2xf0 x第一類間斷點(diǎn)可去間斷點(diǎn)跳躍間斷點(diǎn)左右極限都存在 第二類間斷點(diǎn)無窮間斷點(diǎn)振蕩間斷點(diǎn)左右極限至少有一個(gè)不存在在點(diǎn)間斷的類型)(. 1xf0 x在點(diǎn)連續(xù)的等價(jià)形式機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 10定理定理2. 連續(xù)單調(diào)遞增 函數(shù)的反函數(shù)xx cot,tan在其定義域內(nèi)連續(xù)三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則三、連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算法則定理定理1. 在某點(diǎn)連續(xù)的有限個(gè)函數(shù)經(jīng)有限次和 , 差 , 積 ,( 利用極限的四則運(yùn)算法則證明)連續(xù)xx cos,sin商(分母不為 0) 運(yùn)算, 結(jié)果仍是一個(gè)在該點(diǎn)連續(xù)的函數(shù) .例如例如,例如例如,xysin在,22上連續(xù)單調(diào)

7、遞增，其反函數(shù)xyarcsin(遞減).(證明略)在 1 , 1 上也連續(xù)單調(diào)遞增.遞增(遞減)也連續(xù)單調(diào)機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 11定理定理3. 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)是連續(xù)的.xey 在),(上連續(xù) 單調(diào) 遞增,其反函數(shù)xyln在),0(上也連續(xù)單調(diào)遞增.證證: 設(shè)函數(shù))(xu,0連續(xù)在點(diǎn) x.)(00ux,)(0連續(xù)在點(diǎn)函數(shù)uxfy . )()(lim00ufufuu于是)(lim0 xfxx)(lim0ufuu)(0uf)(0 xf故復(fù)合函數(shù))(xf.0連續(xù)在點(diǎn) x又如又如, 且即機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 12四、初等函數(shù)的連續(xù)性四、初等函數(shù)的連續(xù)性基本初等函數(shù)在定義

8、區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)經(jīng)四則運(yùn)算仍連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)連續(xù)一切初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)例如例如,21xy的連續(xù)區(qū)間為1, 1(端點(diǎn)為單側(cè)連續(xù))xysinln的連續(xù)區(qū)間為znnn, ) 12( ,2(1cosxy的定義域?yàn)閦nnx,2因此它無連續(xù)點(diǎn)而機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 13例例2. 求.)1 (loglim0 xxax解解: 原式xxax1)1 (loglim0ealogaln1例例3. 求.1lim0 xaxx解解: 令, 1xat則, )1 (logtxa原式)1 (loglim0ttataln說明說明: 當(dāng), ea 時(shí), 有0 x)1ln(x1xexx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

9、返回 結(jié)束 14例例4. 求求.)21 (limsin30 xxx解解:原式ex0lim)21ln(sin3xxex0limx36e說明說明: 若,0)(lim0 xuxx則有)()(1lim0 xvxxxu,)(lim0 xvxxe)(1ln)(lim0 xuxvxxe)()(lim0 xuxvxx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 x2151,41,)(xxxxx例例5. 設(shè),1,21,)(2xxxxxf解解:討論復(fù)合函數(shù))(xf的連續(xù)性 . )(xf1,2xx1,2xx故此時(shí)連續(xù); 而)(lim1xfx21lim xx1)(lim1xfx)2(lim1xx3故 )(xfx = 1為第一類

10、間斷點(diǎn) .1)(),(2xx1)(, )(2xx,)(1為初等函數(shù)時(shí)xfx在點(diǎn) x = 1 不連續(xù) , 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 16第四節(jié)（一）（一）、最值定理、最值定理 （二）、介值定理（二）、介值定理 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 五、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 第一章 17注意注意: 若函數(shù)在開區(qū)間上連續(xù),結(jié)論不一定成立 .(一一)、最值定理、最值定理定理定理4 4. .在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)即: 設(shè), ,)(bacxfxoyab)(xfy 12則, ,21ba使)(min)(1xffbxa)(max)(2xffbxa值和最小值.或在閉區(qū)間內(nèi)有間斷 在該區(qū)間上一定有最大(證明

11、略)點(diǎn) ,機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 18例如例如,)1,0(,xxy無最大值和最小值 xoy1121,31,110,1)(xxxxxxfxoy1122也無最大值和最小值 又如又如, 機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 19,)(baxf在因此bxoya)(xfy 12mm推論推論. 由定理 1 可知有, )(max,xfmbax)(min,xfmbax, ,bax故證證: 設(shè), ,)(bacxf,)(mxfm有上有界 .(二二)、介值定理、介值定理定理定理5. ( 零點(diǎn)定理 ), ,)(bacxf至少有一點(diǎn), ),(ba且使xyoab)(xfy .0)(f0)()(bfaf機(jī)動(dòng) 目錄

12、 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ( 證明略 )在閉區(qū)間上連續(xù)的函數(shù)在該區(qū)間上有界. 20定理定理6. ( 介值定理 ) 設(shè) , ,)(bacxf且,)(aaf,)(babbf則對 a 與 b 之間的任一數(shù) c ,一點(diǎn), ),(ba證證: 作輔助函數(shù)cxfx)()(則,)(bacx 且)()(ba)(cbca0故由零點(diǎn)定理知, 至少有一點(diǎn), ),(ba使,0)(即.)(cf推論推論:abxoya)(xfy bc使.)(cf至少有在閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù) 必取得介于最小值與最大值之間的任何值 .機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 21例例6. 證明方程01423 xx一個(gè)根 .證證: 顯然, 1 ,014)

13、(23cxxxf又,01)0(f02) 1 (f故據(jù)零點(diǎn)定理, 至少存在一點(diǎn), ) 1 ,0(使,0)(f即01423說明說明:,21x,0)(8121f內(nèi)必有方程的根 ;) 1 ,(21取 1 ,21的中點(diǎn),43x,0)(43f內(nèi)必有方程的根 ;),(4321可用此法求近似根.二分法二分法4321x01在區(qū)間)1 ,0(的中點(diǎn)取1 ,0內(nèi)至少有機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 則則22 內(nèi)容小結(jié)一內(nèi)容小結(jié)一基本初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的四則運(yùn)算四則運(yùn)算的結(jié)果連續(xù)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)反函數(shù)連續(xù)連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)復(fù)合函數(shù)連續(xù)初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)連續(xù)說明說明: 分段函數(shù)在界點(diǎn)處是

14、否連續(xù)需討論其 左、右連續(xù)性.機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 23內(nèi)容小結(jié)二內(nèi)容小結(jié)二則設(shè), ,)(bacxf在)(. 1xf上達(dá)到最大值與最小值;上可取最大與最小值之間的任何值;4. 當(dāng)0)()(bfaf時(shí), ),(ba使. 0)(f必存在,ba上有界;在)(. 2xf,ba在)(. 3xf,ba機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 作業(yè)：p26 16,1724小結(jié)三：1.函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件函數(shù)在一點(diǎn)連續(xù)必須滿足的三個(gè)條件;3.間斷點(diǎn)的分類與判別間斷點(diǎn)的分類與判別;2.區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)區(qū)間上的連續(xù)函數(shù);第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn):可去型可去型,跳躍型跳躍型.第二類間斷點(diǎn)第二類間

15、斷點(diǎn):無窮型無窮型,振蕩型振蕩型.間斷點(diǎn)間斷點(diǎn)(見下圖見下圖)27可去型可去型第一類間斷點(diǎn)第一類間斷點(diǎn)oyx跳躍型跳躍型無窮型無窮型振蕩型振蕩型第二類間斷點(diǎn)第二類間斷點(diǎn)oyx0 xoyx0 xoyx0 x26備用題備用題1. 確定函數(shù)間斷點(diǎn)的類型.xxexf111)(解解: 間斷點(diǎn)1,0 xx)(lim0 xfx,0 x為無窮間斷點(diǎn);,1 時(shí)當(dāng)x xx1,0)(xf,1 時(shí)當(dāng)x xx1,1)(xf故1x為跳躍間斷點(diǎn). ,1,0處在x.)(連續(xù)xf機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 27備用題備用題2. 求則有0limcosxxx解解1: 令,yx2100limcoslim(cos )xyxxx

16、y21cos1cos10lim1 (cos1)yyyxy22112cos10lim1 (cos1)yyyxy12e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 28備用題備用題2. 求0limcosxxx解解2: 12200limcoslim(1 sin)xxxxxx221sin22sin0lim1 sinxxxxx2122sin0lim1 sin)xxxxx12e機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 29備用題備用題3. 求lim abnnnn ee解解:lim lim (1)(1)ababnnnnnnn een ee 1111limabnneennnlim11nabnnnnab機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁

17、返回 結(jié)束 30備用題備用題4. 設(shè)分析：對帶有極限符號的函數(shù)，先去掉極限符號2122( )lim1nnnxaxbxf xx為連續(xù)函數(shù)，試確定為連續(xù)函數(shù)，試確定a及及b。| 1x 1( );f xx2( );f xaxbx21,| 1, | 1( )1,121,12xxaxbxxf xabxabx 111lim( )lim1xxf xx機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 31解：當(dāng)時(shí)當(dāng)|x|0時(shí)，00lim( )lim0 xxf xx 則x=0是f(x)的第二類間斷點(diǎn)，而f(x)的連續(xù)區(qū)間為( )()(1)xebf xxa x1.有無窮間斷點(diǎn)x=0;2.可去間斷點(diǎn)x=1。 01lim( ),a=0b1xbf xa故，1limxf ( x) 的存在