多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)

1、多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)多面體歐拉公式的發(fā)現(xiàn)研究性課題：制作：錢曉萍一些定義：一些定義：若干個平面多邊形圍成的幾何體叫多面體若干個平面多邊形圍成的幾何體叫多面體 。圍成多面體的各個多邊形叫多面體的面圍成多面體的各個多邊形叫多面體的面 (face)。兩個面的公共邊叫多面體的棱兩個面的公共邊叫多面體的棱 (edge)。若干個面的公共頂點叫多面體的頂點若干個面的公共頂點叫多面體的頂點 (vertex)。多面體的面數(shù)多面體的面數(shù)f 4，棱數(shù)，棱數(shù)e 6，頂點數(shù)，頂點數(shù)v 4。 一個多面體至少有一個多面體至少有 個面，個面， 條棱，條棱， 個頂點個頂點464回顧知識回顧知識問題一：問題一：問題二：問題二：

2、我們知道正多邊形有無限多種，前面我們學(xué)習(xí)過，正我們知道正多邊形有無限多種，前面我們學(xué)習(xí)過，正多面體只有多面體只有5種：正四面體、正六面體、正八面體、種：正四面體、正六面體、正八面體、正十二面體、正二十面體。這是為什么呢？正十二面體、正二十面體。這是為什么呢？ 小明想用小明想用90根相同火柴棒拼出一個形如足球的多面根相同火柴棒拼出一個形如足球的多面體，他連續(xù)拼了體，他連續(xù)拼了n次次,仍然沒有合理地拼出此多面體仍然沒有合理地拼出此多面體.你能幫助他設(shè)計出來嗎？你能幫助他設(shè)計出來嗎？ 多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)之間有什么關(guān)系呢？多面體的頂點數(shù)、面數(shù)和棱數(shù)之間有什么關(guān)系呢？ 瑞士數(shù)學(xué)家歐拉早在瑞士數(shù)學(xué)

3、家歐拉早在1750年就研究過這個問題，并得出年就研究過這個問題，并得出自己的結(jié)論，下面我們就沿著歐拉的足跡來探索這個關(guān)系。自己的結(jié)論，下面我們就沿著歐拉的足跡來探索這個關(guān)系。 1、觀察下面有、觀察下面有5個多面體，分別數(shù)出它們的頂點數(shù)個多面體，分別數(shù)出它們的頂點數(shù)v、 面數(shù)面數(shù)f和棱數(shù)和棱數(shù)e，并填出下表；，并填出下表；圖形編號圖形編號 頂點數(shù)頂點數(shù)v 面數(shù)面數(shù) f 棱數(shù)棱數(shù) e(1)(2)(3)(4)(5) (1) (2) (3) (4) (5)468126898159916觀察表中填出的各組觀察表中填出的各組數(shù)據(jù)中，數(shù)據(jù)中，v、f和和e 之之間有什么規(guī)律嗎？間有什么規(guī)律嗎？4612vfe+

4、_+_=2圖形編號圖形編號 頂點數(shù)頂點數(shù)v 面數(shù)面數(shù)f棱數(shù)棱數(shù)e(1)(2)(3)5581212247812觀察表中數(shù)據(jù)，這些圖形的觀察表中數(shù)據(jù)，這些圖形的v、f和和e 符合前面所找出的規(guī)律嗎？符合前面所找出的規(guī)律嗎？出現(xiàn)這些區(qū)別的原因是什么？出現(xiàn)這些區(qū)別的原因是什么？下面有下面有3個多面體，分別數(shù)出它們的個多面體，分別數(shù)出它們的頂點數(shù)頂點數(shù)v、面數(shù)、面數(shù)f和棱數(shù)和棱數(shù)e。比較前面問題比較前面問題1 1和問題和問題2 2中的圖形，中的圖形， 如果這些多面體的如果這些多面體的表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它們內(nèi)部充表面都是用橡皮薄膜制作的，并且可以向它們內(nèi)部充氣，那么其中哪些多面體能夠連續(xù)

5、氣，那么其中哪些多面體能夠連續(xù)( (不破裂不破裂) )變形，最變形，最后其表面可變?yōu)橐粋€球面？后其表面可變?yōu)橐粋€球面？定義：表面經(jīng)過連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€球面的多面體定義：表面經(jīng)過連續(xù)變形能變?yōu)橐粋€球面的多面體 叫做簡單多面體叫做簡單多面體問題問題1 1：我們所熟悉的棱柱、棱錐、正多面體等一切：我們所熟悉的棱柱、棱錐、正多面體等一切凸多面體是簡單多面體嗎？凸多面體是簡單多面體嗎？問題問題2：五種正多面體是簡單多面體嗎？：五種正多面體是簡單多面體嗎？圖形圖形頂點數(shù)頂點數(shù)v v面數(shù)面數(shù)f f棱數(shù)棱數(shù)e e正十二面體正十二面體正二十面體正二十面體202012123030121220203030問題問題3

6、 3：五種正多面體都滿足：五種正多面體都滿足v+f-2=ev+f-2=e嗎？嗎？問題問題4 4：簡單多面體都滿足：簡單多面體都滿足v+v+f-2=ef-2=e嗎？嗎？猜想：簡單多面體的頂點數(shù)猜想：簡單多面體的頂點數(shù)v、面數(shù)、面數(shù)f、棱數(shù)、棱數(shù)e之間存在之間存在規(guī)律：規(guī)律：v+fe=2 。 歐拉歐拉（公元（公元1707-1783年）年） 出生在出生在瑞士的巴塞爾（瑞士的巴塞爾（basel）城，）城，13歲就進歲就進巴塞爾大學(xué)讀書，他從巴塞爾大學(xué)讀書，他從19歲開始發(fā)表歲開始發(fā)表論文，直到論文，直到76歲，共寫下了歲，共寫下了886本書本書籍和論文，彼得堡科學(xué)院為了整理他籍和論文，彼得堡科學(xué)院為了

7、整理他的著作，足足忙碌了四十七年他是的著作，足足忙碌了四十七年他是科學(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家?？茖W(xué)史上最多產(chǎn)的數(shù)學(xué)家。這是由歐拉在1750年發(fā)現(xiàn)的，故稱為歐拉公式。歐拉公式的背后是一門新的幾何學(xué)，這種新的幾何學(xué)只研究圖形各部分位置的相對次序，而不考慮圖形尺寸大小，如今這門學(xué)科已經(jīng)發(fā)展成數(shù)學(xué)的一個重要的分支拓樸學(xué)。 歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可歐拉著作的驚人多產(chǎn)并不是偶然的，他可以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子以在任何不良的環(huán)境中工作，他常常抱著孩子在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩過在膝上完成論文，也不顧孩子在旁邊喧嘩過度的工作使他得了眼病，不幸右眼失明了，這度的工作使他得了眼病

8、，不幸右眼失明了，這時他才時他才28歲不料沒有多久，左眼視力衰退，歲不料沒有多久，左眼視力衰退，最后完全失明仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，最后完全失明仍然以驚人的毅力與黑暗搏斗，憑著記憶和心算進行研究，直到逝世。憑著記憶和心算進行研究，直到逝世。 歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出歐拉的一生，是為數(shù)學(xué)發(fā)展而奮斗的一生，他那杰出的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)的智慧，頑強的毅力，孜孜不倦的奮斗精神和高尚的科學(xué)道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的道德，永遠(yuǎn)是值得我們學(xué)習(xí)的 以歐拉名字命名的數(shù)學(xué)公式、定理等在數(shù)學(xué)書籍中隨處可見以歐拉名字命名的數(shù)學(xué)公式、定理等在數(shù)學(xué)書籍中隨處可見,

9、, 歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號，例如歐拉還創(chuàng)設(shè)了許多數(shù)學(xué)符號，例如，i i，e e，sinsin和和coscos，tantan，x x，f(x) f(x) 等他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)等他還在物理、天文、建筑以至音樂、哲學(xué)方面取得了輝煌的成就。方面取得了輝煌的成就。17351735年，歐拉解決了天文學(xué)中計算慧年，歐拉解決了天文學(xué)中計算慧星軌道的問題，這個問題經(jīng)幾個著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€月的努力才得星軌道的問題，這個問題經(jīng)幾個著名數(shù)學(xué)家?guī)讉€月的努力才得到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了到解決，而歐拉卻用自己發(fā)明的方法，三天便完成了基礎(chǔ)知識形成性練習(xí)基礎(chǔ)知識形成性練習(xí)下列說法中正確的是

10、下列說法中正確的是（1）只有正多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（2）所有凸多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（3）所有簡單多面體的頂點數(shù)、面數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理；（4）所有多面體的頂點數(shù)、棱數(shù)滿足歐拉定理。a （1）（）（2） b（1）（）（4） c（2）（）（3） d（3）（）（4）小明想用小明想用90根相同火柴棒拼出一個形如足球的多面根相同火柴棒拼出一個形如足球的多面體，他連續(xù)拼了體，他連續(xù)拼了n次次,仍然沒有合理地拼出此多面體仍然沒有合理地拼出此多面體.現(xiàn)在你能幫助他設(shè)計出來嗎？現(xiàn)在你能幫助他設(shè)計出來嗎？解：解：設(shè)足球中形狀為五邊形和六邊形的面各設(shè)足球中形狀為五邊形和六邊形的面各有有x個和個和y個，個，棱數(shù)棱數(shù)e=90，面數(shù)面數(shù)f=x+y,根據(jù)歐拉公式，得：根據(jù)歐拉公式，得： 29060 yx另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示另一方面，棱數(shù)也可由多邊形的邊數(shù)來表示 yx6521 由以上兩方程可解出由以上兩方程可解出20,12 yx答：這個形如足球的多面體中五邊形和六邊形的答：這個形如足球的多面體中五邊形和六邊形的 面分別有面分別有12個和個和20個。個。一個頂點有三條棱，一個頂點有三條棱