【人教A版】高中數(shù)學(xué)必修二：2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)案設(shè)計(jì) 新人教A版必修2

1、人教版高中數(shù)學(xué)必修精品教學(xué)資料第二章點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)2.3.4平面與平面垂直的性質(zhì)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.探究平面與平面垂直的性質(zhì)定理,進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生的空間想象能力.2.面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用,培養(yǎng)學(xué)生的推理能力.3.通過平面與平面垂直的性質(zhì)定理的學(xué)習(xí),培養(yǎng)學(xué)生轉(zhuǎn)化的思想.合作學(xué)習(xí)一、設(shè)計(jì)問題,創(chuàng)設(shè)情境如圖,長方體abcd-a'b'c'd'中,平面a'add'與平面abcd垂直,直線a'a垂直于其交線ad.平面a'add'內(nèi)的直線a'a與平面abcd垂直嗎?二、信息交流,揭示規(guī)律

2、問題1:如圖,若,=cd,ab,abcd,abcd=b.討論直線ab與平面的位置關(guān)系.問題2:能不能用三種語言描述平面與平面垂直的性質(zhì)定理,并給出證明?問題3:平面與平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)有哪些?四、運(yùn)用規(guī)律,解決問題【例1】 如圖,已知平面,a,直線a滿足a,試判斷直線a與平面的位置關(guān)系.【例2】 如圖,四棱錐pabcd的底面是ab=2,bc=的矩形,側(cè)面pab是等邊三角形,且側(cè)面pab底面abcd.(1)證明:側(cè)面pab側(cè)面pbc;(2)求側(cè)棱pc與底面abcd所成的角;(3)求直線ab與平面pcd的距離.【例3】 如圖,把等腰直角三角形abc沿斜邊ab旋轉(zhuǎn)至abd的位置,使cd=ac.

3、(1)求證:平面abd平面abc;(2)求二面角cbda的余弦值.【例4】 如圖,在矩形abcd中,ab=33,bc=3,沿對角線bd把bcd折起,使c移到c',且c'在平面abc內(nèi)的射影o恰好落在ab上.(1)求證:ac'bc'(2)求ab與平面bc'd所成角的正弦值;(3)求二面角c'bda的正切值.五、變式演練,深化提高1.如圖,三棱柱abc-a1b1c1中,bac=90°,ab=bb1=1,直線b1c與平面abc成30°角,求二面角bb1ca的正弦值.2.如圖,邊長為2的等邊pcd所在的平面垂直于矩形abcd所在的平面

4、,bc=2,m為bc的中點(diǎn).(1)證明:ampm;(2)求二面角pamd的大小.六、反思小結(jié),觀點(diǎn)提煉請同學(xué)們回想一下,本節(jié)課我們學(xué)了哪些內(nèi)容?七、作業(yè)精選,鞏固提高課本p74習(xí)題2.3b組第1,3題.參考答案問題1:直線ab與平面垂直.問題2:兩個平面垂直的性質(zhì)定理文字語言描述為:如果兩個平面垂直,那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面.符號語言描述為:ab.圖形語言描述為:如圖兩個平面垂直的性質(zhì)定理證明過程如下:如圖,已知,=a,ab,aba于b.求證:ab.證明:在平面內(nèi)作becd垂足為b,則abe就是二面角cd的平面角.由,可知abbe.又abcd,be與cd是內(nèi)的兩條相交

5、直線,ab.問題3:兩個平面垂直的性質(zhì)定理的特點(diǎn)就是幫我們找平面的垂線,因此它是立體幾何中最重要的定理.應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理的口訣是:“見到面面垂直,立即在一個平面內(nèi)作交線的垂線”.四、【例1】 解:在內(nèi)作垂直于與交線的垂線b,b.a,ab.a,a.即直線a與平面平行.【例2】 解:(1)證明:在矩形abcd中,bcab,又平面pab底面abcd,側(cè)面pab底面abcd=ab,bc側(cè)面pab.又bc側(cè)面pbc,側(cè)面pab側(cè)面pbc.(2)如圖,取ab的中點(diǎn)e,連接pe,ce,又pab是等邊三角形,peab.又側(cè)面pab底面abcd,pe平面abcd.pce為側(cè)棱pc與底面abcd所成角.pe

6、=ba=,ce=,在rtpec中,pce=45°為所求.(3)在矩形abcd中,abcd,cd側(cè)面pcd,ab側(cè)面pcd,ab側(cè)面pcd.取cd的中點(diǎn)f,連接ef,pf,則efab.又peab,ab平面pef.又abcd,cd平面pef.平面pcd平面pef.作egpf,垂足為g,則eg平面pcd.在rtpef中,eg=為所求.【例3】 解:(1)證明:(證法一):由題設(shè),知ad=cd=bd,作do平面abc,o為垂足,則oa=ob=oc.o是abc的外心,即ab的中點(diǎn).oab,即o平面abd.od平面abd.平面abd平面abc.(證法二):取ab中點(diǎn)o,連接od,oc,則有oda

7、b,ocab,即cod是二面角cabd的平面角.設(shè)ac=a,則oc=od=a,又cd=ad=ac,cd=a.cod是直角三角形,即cod=90°.二面角是直二面角,即平面abd平面abc.(2)取bd的中點(diǎn)e,連接ce,oe,oc,bcd為正三角形,cebd.又bod為等腰直角三角形,oebd.oec為二面角cbda的平面角.同(1)可證oc平面abd,ocoe.coe為直角三角形.設(shè)bc=a,則ce=a,oe=a,cosoec=即為所求.【例4】 解:(1)證明:由題意,知c'o平面abd,c'oabc',平面abc'平面abd.又adab,平面ab

8、c'平面abd=ab,ad平面abc'.adbc'.bc'c'd,bc'平面ac'd.bc'ac'.(2)bc'平面ac'd,bc'平面bc'd,平面ac'd平面bc'd.作ahc'd于h,則ah平面bc'd,連接bh,則bh為ab在平面bc'd上的射影,abh為ab與平面bc'd所成的角.又在rtac'd中,c'd=33,ad=3,ac'=3.ah=.sinabh=,即ab與平面bc'd所成角的正弦值為.(3)

9、過o作ogbd于點(diǎn)g,連接c'g,則c'gbd,則c'go為二面角c'bda的平面角.在rtac'b中,c'o=,在rtbc'd中,c'g=.og=.tanc'go=2,即二面角c'bda的正切值為2.點(diǎn)評:直線與平面垂直是立體幾何的核心,它是證明垂直問題和求二面角的基礎(chǔ),因此利用平面與平面垂直的性質(zhì)定理找出平面的垂線,就顯得非常重要.五、1.解:由直三棱柱性質(zhì)得平面abc平面bcc1b1,過a作an平面bcc1b1,垂足為n,則an平面bcc1b1(an即為我們要找的垂線),在平面bcb1內(nèi)過n作nqb1c,垂足為q,連接qa,則nqa即為二面角的平面角.ab1在平面abc上的射影為ab,caab,cab1a.ab=bb1=1,得ab1=.直線b1c與平面abc成30°角,b1cb=30°,b1c=2.在rtb1ac中,由勾股定理,得ac=.aq=1.在rtbac中,ab=1,ac=,得an=.sinaqn=,即二面角bb1ca的正弦值為.2.解:(1)證明:如圖,取cd的中點(diǎn)e,連接pe,em,ea,pcd為正三角形,pecd,pe=pdsinpde=2sin60°=.平面pcd平面abcd,pe平面abcd.四邊形abcd是矩形,ade,ecm,ab