第七節(jié)：直線及方程

1、第六節(jié)第六節(jié) 空間直線及其方程空間直線及其方程 一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程 二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程 三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角 四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 五、小結(jié)五、小結(jié)xyzo1 2 定義定義空間直線可看成兩平面的交線空間直線可看成兩平面的交線0:11111 dzcybxa0:22222 dzcybxa 0022221111dzcybxadzcybxa空間直線的一般方程空間直線的一般方程l一、空間直線的一般方程一、空間直線的一般方程例如：例如：z 軸可以看作軸可以看作 yoz 面與面與 xoz 面的交線面的

2、交線 00yx也可以看作也可以看作 yoz 面與面與 平平 面面 x y = 0的交線的交線 00yxxxyzo方向向量的定義：方向向量的定義： 如果一非零向量平行于如果一非零向量平行于一條已知直線，這個向量稱一條已知直線，這個向量稱為這條直線的為這條直線的方向向量方向向量sl),(0000zyxm0m m ,lm ),(zyxmsmm0/),(pnms 設(shè)設(shè)),(0000zzyyxxmm 二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程二、空間直線的對稱式方程與參數(shù)方程pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程),(pnms ),(

3、0000zyxm（1）當）當 m , n , p 中有一個為中有一個為 0，如，如 m = 0, 而而 n , p 0 時，則上述方程組應(yīng)理解為時，則上述方程組應(yīng)理解為 pzznyyxx0000（2）當）當 m , n , p 中有兩個為中有兩個為 0，如，如 m = n = 0, 而而p 0 時，則上述方程組應(yīng)理解為時，則上述方程組應(yīng)理解為 0000yyxxtpzznyymxx 000令令 ptzzntyymtxx000直線的一組直線的一組方向數(shù)方向數(shù) 方向向量的方向余弦稱為直線方向向量的方向余弦稱為直線 l 的的方向余弦方向余弦，它是與方向向量同方向的單位向量。它是與方向向量同方向的單位向

4、量。直線的參數(shù)方程直線的參數(shù)方程pzznyymxx000 直線的對稱式方程直線的對稱式方程),(pnms ),(0000zyxm,|cossm ,|cossn .|cossp 例例1 1 用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解：解：（1）在直線上任求一點）在直線上任求一點),(000zyx取取10 x,063020000 zyzy解得解得2, 000 zy點坐標點坐標),2, 0 , 1( 問題：如何化一般方程為對稱式和參數(shù)方程問題：如何化一般方程為對稱式和參數(shù)方程（2）求直線的一個方向向量）求直線的一個方向向量例例1 1 用對稱式方程及參數(shù)

5、方程表示直線用對稱式方程及參數(shù)方程表示直線.043201 zyxzyx解：解：點坐標點坐標),2, 0 , 1( （2）求直線的一個方向向量）求直線的一個方向向量1 2 l1n2ns因所求直線與兩平面的法向量都垂直因所求直線與兩平面的法向量都垂直取取21nns ),3, 1, 4( 312111 kji對稱式對稱式方程方程,321041 zyx.3241 tztytx參數(shù)方程參數(shù)方程結(jié)論：若結(jié)論：若直線直線 l 的一般方程為的一般方程為.00:22221111 dzcybxadzcybxal則直線則直線 l 的一個方向向量可以取為的一個方向向量可以取為21nns 222111cbacbakji

6、 解解取取bas ),4, 0, 2( 所求直線方程所求直線方程.440322 zyxxyzo )4, 3, 2( a ),0, 3, 0( b上述方程組應(yīng)理解為上述方程組應(yīng)理解為 034422yzx定義定義直線直線:1l,111111pzznyymxx 直線直線:2l,222222pzznyymxx 222222212121212121|cospnmpnmppnnmm 兩直線的方向向量的夾角稱之兩直線的方向向量的夾角稱之.（取銳角）（取銳角）兩直線的夾角公式兩直線的夾角公式三、兩直線的夾角三、兩直線的夾角1s2s ,|),cos(212121ssssss |cos2121ssss 兩直線的位

7、置關(guān)系：兩直線的位置關(guān)系：21)1(ll , 0212121 ppnnmm21)2(ll/,212121ppnnmm 直線直線:1l直線直線:2l),0, 4, 1(1 s),1 , 0 , 0(2 s, 021 ss,21ss 例如，例如，.21ll 即即222222212121212121|cospnmpnmppnnmm 解：取解：取1233351 kjis),1, 4 , 3( 例例3：求直線：求直線 012309335:1zyxzyxl與直線與直線 0188302322:2zyxzyxl的夾角。的夾角。1831222 kjis)10, 5,10( )2 , 1, 2(5 |cos212

8、1ssss 4141169|211432| , 0 2 解解設(shè)所求直線的方向向量為設(shè)所求直線的方向向量為),(pnms 根據(jù)題意知根據(jù)題意知,1ns ,2ns 取取21nns 512401 kji.153243 zyx所求直線的方程所求直線的方程),1, 3, 4( 定義定義 直線和它在平面上的投影直線的夾直線和它在平面上的投影直線的夾角角 稱為直線與平面的夾角稱為直線與平面的夾角,:000pzznyymxxl , 0: dczbyax),(pnms ),(cban 四、直線與平面的夾角四、直線與平面的夾角 0.2 s,2),(0 ns若若 2),(ns則則,),(2 ns若若 2),(ns則

9、則| ),(2|ns |sinnsns 直線與平面的夾角公式直線與平面的夾角公式直線與平面的直線與平面的位置關(guān)系：位置關(guān)系： l)1(.pcnbma l)2(/. 0 cpbnam,2),(0 ns若若 2),(ns則則,),(2 ns若若 2),(ns則則| ),(2|ns | ),(2|sinsinns | ),cos(|ns |nsns 222222|pnmcbacpbnam 解解),2, 1, 1( n),2, 1, 2( s|sinnsns 69|22)1()1(21| .637 637arcsin 為所求夾角為所求夾角1 1、求直線與平面的交點。、求直線與平面的交點。,:000pz

10、znyymxxl , 0: dczbyax),(pnms ),(cban 五、直線與平面其它問題五、直線與平面其它問題tpzznyymxx 000:令令得直線的參數(shù)方程得直線的參數(shù)方程 ptzzntyymtxx000代入平面方程，得參數(shù)代入平面方程，得參數(shù) t ,再將再將 t 代入?yún)?shù)方程即得代入?yún)?shù)方程即得 x , y , z 。解解 tztytx2432所給直線的參數(shù)方程為：所給直線的參數(shù)方程為：代入平面方程得：代入平面方程得：6)24()3()2(2 ttt解得：解得：, 1 t所以所以, 1 x, 2 y, 2 z所求交點為：所求交點為：m ( 1 , 2 , 2 )解：分析解：分析1

11、2131 zyx本題的關(guān)鍵是求出兩垂直相交直線的交點。本題的關(guān)鍵是求出兩垂直相交直線的交點。思路：思路：例例7：求過點：求過點 m( 2 , 1 , 3 ) 且與直線且與直線l：垂直相交的直線方程。垂直相交的直線方程。將求兩垂直相交直線的交點轉(zhuǎn)化將求兩垂直相交直線的交點轉(zhuǎn)化為求直線與平面的交點為求直線與平面的交點解解先作一過點先作一過點m且與已知直線垂直的平面且與已知直線垂直的平面 0)3()1(2)2(3: zyx再求已知直線與該平面的交點再求已知直線與該平面的交點 p,令令tzyx 12131. 1213 tztytxm p ),1, 2 , 3( sn取取由點法式方程得由點法式方程得ll

12、 依題意所求直線在平面依題意所求直線在平面內(nèi)，且內(nèi)，且通過點通過點m 和和 p12131 zyx例例7：求過點：求過點 m( 2 , 1 , 3 ) 且與直線且與直線l：垂直相交的直線方程。垂直相交的直線方程。解解0)3()1(2)2(3 zyx令令tzyx 12131. 1213 tztytxm p ll 代入平面方程得代入平面方程得73 t交點交點)73,713,72( p所求直線的方向向量可取為所求直線的方向向量可取為mp12131 zyx例例7：求過點：求過點 m( 2 , 1 , 3 ) 且與直線且與直線l：垂直相交的直線方程。垂直相交的直線方程。解解m p ll 0)3()1(2)

13、2(3 zyx交點交點)73,713,72( p所求直線的方向向量可取為所求直線的方向向量可取為mpmp)373, 1713, 272( )724,76,712( 所求直線方程為所求直線方程為.431122 zyx),4 , 1, 2(76 12131 zyx例例7：求過點：求過點 m( 2 , 1 , 3 ) 且與直線且與直線l：垂直相交的直線方程。垂直相交的直線方程。2 2、過直線的平面束方程。、過直線的平面束方程。 )2(0)1(0:22221111dzcybxadzcybxal設(shè)設(shè)作三元一次方程作三元一次方程)3(0)(22221111 dzcybxadzcybxa )4(0)()()

14、()(21212121 ddzccybbxaa 0)(),(),(212121不不全全為為ccbbaa 所以方程（所以方程（4）或（）或（3）表示一個平面，且通過直線）表示一個平面，且通過直線 l反之，過直線反之，過直線 l 的任何一個平面（除平面（的任何一個平面（除平面（2）外）外），都包含在平面束（，都包含在平面束（3）中。）中。稱方程（稱方程（3）或（）或（4）為過定直線）為過定直線 l 的平面束方程的平面束方程 為任意實數(shù)為任意實數(shù)例例7 7解解且與平面且與平面求過直線求過直線 , 0405:zxzyx過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx , 04

15、)1(5)1( zyx即即).1, 5,1(1 n其其法法向向量量).8, 4, 1(2 n又已知平面的法向量又已知平面的法向量由題設(shè)知由題設(shè)知21214cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( .401284角的平面方程角的平面方程組成組成 zyx解解過已知直線的平面束方程為過已知直線的平面束方程為, 0)4(5 zxzyx 21214cosnnnn 222222)1(5)1()8()4(1)8()1()4(51)1( ,2723222 即即由此解得由此解得.43 代回平面束方程為代回平面束方程為. 012720 zyx例例7 7且與平面且與平面求

16、過直線求過直線 , 0405:zxzyx.401284角的平面方程角的平面方程組成組成 zyx2 2、求已知直線在已知平面內(nèi)的投影直線方程、求已知直線在已知平面內(nèi)的投影直線方程pzznyymxxl000: 設(shè)設(shè)0: dczbyax20: 直線直線 l 在在 內(nèi)的投影記為內(nèi)的投影記為過直線過直線 l 作一與平面作一與平面垂直的平面垂直的平面 設(shè)設(shè)l與與的夾角為的夾角為l 1則則l 即為即為 與與1的交線的交線若記若記0:11111 dzcybxa 001111dzcybxadczbyax1l l則直線則直線 的方程為的方程為l 2 2、求已知直線在已知平面內(nèi)的投影直線方程、求已知直線在已知平面內(nèi)

17、的投影直線方程pzznyymxxl000: 設(shè)設(shè)0: dczbyax ll 1,),(0000lzyxm 0m 內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點點為為又又設(shè)設(shè)1),(zyxmm 作作,0mm則則10/mm又又,/),(1 pnms,/),(1 cban,0共面共面及及mmns因此因此0)(0 mmns0,0 nsmm0000 cbapnmzzyyxx此即為平面此即為平面1的方程的方程聯(lián)立聯(lián)立 與與1的方程即為的方程即為所求投影直線的方程。所求投影直線的方程。2 2、求已知直線在已知平面內(nèi)的投影直線方程、求已知直線在已知平面內(nèi)的投影直線方程pzznyymxxl000: 設(shè)設(shè)0: dczbyax ll 1,

18、),(0000lzyxm 0m 內(nèi)內(nèi)的的任任意意一一點點為為又又設(shè)設(shè)1),(zyxmm 0,0 nsmm解解：（：（1）在在 xoy 面上：面上：0 z),5 , 1, 3(0 m),8 , 2 , 1( s),1 , 0 , 0( n0100821513 zyx052 yx即即 0052zyx故在故在 xoy 面上投影直線方程為面上投影直線方程為解解：（：（2）在在 平面平面083: zyx ),5 , 1, 3(0 m),8 , 2 , 1( s),3, 1, 1( n0311821513 zyx0261114 zyx即即 0261114083zyxzyx故在故在 上投影直線方程為上投影直線方程為例例9 9解：先求過解：先求過 l 且與且與 垂直的平面方程垂直的平面方程 :01012: 在平面在平面求直線求直線 zyxzyxl的的平平面面束束方方程程為為過過直直線線 l, 0)1()12( zyxzyx . 0)1()1()1()2( zyx即即 l則投影直線即為該平面與已知平面則投影直線即為該平面與已知平面 的交線，如圖所示。的交線，如圖所示。. 0)1()1(2)1(1)2( , 垂直于平面垂直于平面又又