隱函數(shù)的導數(shù)對數(shù)求導法

1、 四、隱函數(shù)的導數(shù)四、隱函數(shù)的導數(shù) 對數(shù)求導法對數(shù)求導法 由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)由參數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)0 隱函數(shù)的導數(shù)隱函數(shù)的導數(shù)0 對數(shù)求導法由參數(shù)對數(shù)求導法由參數(shù)0 方程所確定函數(shù)的導數(shù)方程所確定函數(shù)的導數(shù)1、隱函數(shù)的導數(shù)、隱函數(shù)的導數(shù) p78定義定義: :. )(0),(,0),(xfyyxfyxyxf 函函數(shù)數(shù)該該區(qū)區(qū)間間內(nèi)內(nèi)確確定定了了一一個個隱隱在在那那么么就就說說方方程程的的值值存存在在唯唯一一的的相相應應地地總總有有滿滿足足這這方方程程間間內(nèi)內(nèi)的的任任意意值值時時取取某某區(qū)區(qū)當當中中設設在在方方程程.)(形式稱為顯函數(shù)形式稱為顯函數(shù)xfy 0),( yxf)(xfy 隱

2、函數(shù)的顯化隱函數(shù)的顯化問題問題:隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導隱函數(shù)不易顯化或不能顯化如何求導?例例1 1)1 1).,00 xyxdxdydxdyyeexy的導數(shù)的導數(shù)所確定的隱函數(shù)所確定的隱函數(shù)求由方程求由方程解解:求求導導方方程程兩兩邊邊對對 x0 dxdyeedxdyxyyx解得解得,yxexyedxdy , 0, 0 yx由原方程知由原方程知000 yxyxxexyedxdy. 1 隱函數(shù)求導法則隱函數(shù)求導法則: :用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導用復合函數(shù)求導法則直接對方程兩邊求導.2)2)設設 y=y(x) 由方程由方程 ey =xe f(y) 確定確定, f 二階可導二階

3、可導, f 1, 求求 y .解解 方程兩邊對方程兩邊對x求導求導: ey y = e f(y) + x e f(y) f (y) y 故故)()()(yfxeeeyyfyyf )(11yfx 22)(1 )()(1 yfxyyfxyfy 332)(1 )()(1 yfxyfxyfx 3) 函數(shù)函數(shù)y=y(x)由方程由方程0)sin(222 xyeyxx所確定所確定, dxdyxyyxyyxeyx2)cos(2)cos(222222 求求y 解：解：02)22()cos(222 yxyeyyxyxx例例2 2.,)23,23(,333線線通通過過原原點點在在該該點點的的法法并并證證明明曲曲線線

4、的的切切線線方方程程點點上上求求過過的的方方程程為為設設曲曲線線ccxyyxc 解解,求導求導方程兩邊對方程兩邊對xyxyyyx 333322)23,23(22)23,23(xyxyy . 1 所求切線方程為所求切線方程為)23(23 xy. 03 yx即即2323 xy法線方程為法線方程為,xy 即即顯然通過原點顯然通過原點.例例3 3.)1 , 0(, 144處的值處的值在點在點求求設設yyxyx 解解求導得求導得方程兩邊對方程兩邊對x)1(04433 yyyxyx得得代入代入1, 0 yx;4110 yxy求導得求導得兩邊再對兩邊再對將方程將方程x)1(04)(122123222 yyy

5、yyxyx得得4110 yxy, 1, 0 yx代入代入.16110 yxy2、對數(shù)求導法、對數(shù)求導法觀察函數(shù)觀察函數(shù).,)4(1)1(sin23xxxyexxxy 方法方法: :先在方程兩邊取對數(shù)先在方程兩邊取對數(shù), 然后利用隱函數(shù)的求導然后利用隱函數(shù)的求導方法求出導數(shù)方法求出導數(shù).-對數(shù)求導法對數(shù)求導法適用范圍適用范圍: :.)()(的的情情形形數(shù)數(shù)多多個個函函數(shù)數(shù)相相乘乘和和冪冪指指函函xvxu例例4 4解解 142)1(3111)4(1)1(23 xxxexxxyx等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxxxy )4ln(2)1ln(31)1ln(ln求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對 x1

6、42)1(3111 xxxyy.,)4(1)1(23yexxxyx 求求設設例例5 5解解.),0(sinyxxyx 求求設設等式兩邊取對數(shù)得等式兩邊取對數(shù)得xxylnsinln 求導得求導得上式兩邊對上式兩邊對xxxxxyy1sinlncos1 )1sinln(cosxxxxyy )sinln(cossinxxxxxx 一般地一般地)0)()()()( xuxuxfxv)()(1)(lnxfdxdxfxfdxd 又又)(ln)()(xfdxdxfxf )()()()(ln)()()()(xuxuxvxuxvxuxfxv )(ln)()(lnxuxvxf 3、由參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)、由參

7、數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù) p79.,)()(定的函數(shù)定的函數(shù)稱此為由參數(shù)方程所確稱此為由參數(shù)方程所確間的函數(shù)關系間的函數(shù)關系與與確定確定若參數(shù)方程若參數(shù)方程xytytx 例如例如 ,22tytx2xt 22)2(xty 42x xy21 消去參數(shù)消去參數(shù)問題問題: : 消參困難或無法消參如何求導消參困難或無法消參如何求導?t),()(1xttx 具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)具有單調(diào)連續(xù)的反函數(shù)設函數(shù)設函數(shù))(1xy , 0)(,)(),( ttytx且且都可導都可導再設函數(shù)再設函數(shù)由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得由復合函數(shù)及反函數(shù)的求導法則得dxdtdtdydxdy dtdxdtdy1 )()(tt d

8、tdxdtdydxdy 即即,)()(中中在方程在方程 tytx,)()(二階可導二階可導若函數(shù)若函數(shù) tytx)(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即例例6 6解解dtdxdtdydxdy ttcos1sin taatacossin 2cos12sin2 tdxdy. 1 .方方程程處的切線處的切線在在求擺線求擺線2)cos1()sin( ttayttax.),12(,2ayaxt 時時當當 所求切線方程為所求切線方程為)12( axay)22( axy即即2) 設設 ),1(,

9、)(3tefyxfx 其中其中f 可導可導, 且且., 0)0(0 tdxdyf求求3)0()0(3)()1(30330 fftfefedxdytttt解：解：3) 求求 對數(shù)螺線對數(shù)螺線 e 在點在點)2/,(),(2/ e處的切線的直角坐標方程。處的切線的直角坐標方程。.2/ eyx解：解： sinsin,coscoseyex曲線在點曲線在點處的切線的斜率為處的切線的斜率為1sincoscossin2/)2/,(2/ eeeeye因此，所求切線方程為因此，所求切線方程為),0(2 xey 即即)2/,(2/ e點點的直角的直角 坐標為坐標為)2/,(2/ e), 0(2/ e例例7 7解解

10、.)2(;)1(,21sin,cos,002000的的速速度度大大小小炮炮彈彈在在時時刻刻的的運運動動方方向向炮炮彈彈在在時時刻刻求求其其運運動動方方程程為為發(fā)發(fā)射射炮炮彈彈發(fā)發(fā)射射角角以以初初速速度度不不計計空空氣氣的的阻阻力力ttgttvytvxv xyovxvyv0v.,)1(00可由切線的斜率來反映可由切線的斜率來反映時刻的切線方向時刻的切線方向軌跡在軌跡在時刻的運動方向即時刻的運動方向即在在tt)cos()21sin(020 tvgttvdxdy cossin00vgtv .cossin0000 vgtvdxdytt軸方向的分速度為軸方向的分速度為時刻沿時刻沿炮彈在炮彈在yxt,)2(000)cos(0ttttxtvdtdxv cos0v 00)21sin(20ttttygttvdtdyv 00singtv 時刻炮彈的速度為時刻炮彈的速度為在在0t22yxvvv 2020020s