泰勒公式課件

1、第三節(jié)泰勒公式 第三章第三章 二二 、麥克勞林、麥克勞林（maclaurin）公式公式 三三 、泰勒公式的應(yīng)用、泰勒公式的應(yīng)用一、泰勒一、泰勒（taylor）公式公式一、一、泰勒泰勒(taylor)公式公式1. 泰勒公式的建立泰勒公式的建立回顧：回顧：特點(diǎn)特點(diǎn):)(01xp )(0 xf )(0 xf )(xf)()(000 xxxfxf )(1xp以直代曲以直代曲0 x)(1xp)(01xpxxy)(xfy o設(shè)設(shè) f (x)在在 x0 處可導(dǎo)，則處可導(dǎo)，則)1,0)(00時(shí)時(shí)且且當(dāng)當(dāng) xxxf)()()()(0000 xxoxxxfxfxf x 的一次的一次多項(xiàng)式多項(xiàng)式不足不足: : 1

2、精確度不高精確度不高2 難以估計(jì)誤差難以估計(jì)誤差.,0誤差較大誤差較大不是很小時(shí)不是很小時(shí)當(dāng)當(dāng)xx ,0 xxx很很小小的的只只適適用用于于 )()(01xxoxr 只只知知道道誤誤差差：.)(1的的大大小小不不能能具具體體估估計(jì)計(jì)出出誤誤差差xr需要解決的問(wèn)題需要解決的問(wèn)題:.0很很小小的的限限制制且且去去掉掉對(duì)對(duì)于于xx ),()()(xpxfxpnn ，使使得得尋尋找找多多項(xiàng)項(xiàng)式式2 給出誤差：給出誤差：)()()(xpxfxrnn 的具體估計(jì)式的具體估計(jì)式.1)()()()(0000 xxoxxxfxfxf )(1xp觀察：觀察：)(01xp )(0 xf )(0 xf )(01xp有

3、有 )(xpn0a,)()()(020201nnxxaxxaxxa 相交相交相切相切猜猜pn(x) 與與 f (x) 在在x0 處相同的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)處相同的導(dǎo)數(shù)的階數(shù)越高，它們就有可能越接近？越高，它們就有可能越接近？pn(x) 的確定的確定:要求要求: )(xpn )(xpn, )()(00 xfxpn 1a)(202xxa 10)( nnxxan, )()(00 xfxpn ,0a,)()()(020201nnxxaxxaxxa 求系數(shù)求系數(shù)尋求尋求n次近似多項(xiàng)式：次近似多項(xiàng)式：:ia. )()(0)(0)(xfxpnnn 0a, )(0 xf 1a, )(0 xf )(0 xpn )(0

4、xpn )(xpn1a)(202xxa 10)( nnxxan要求要求:, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(0)(xfxpnnn )(xpn2!2 a20)()1( nnxxann2a, )(! 210 xf , )()(xpnnnan!na),(!10)(xfnn )(!10)(xpnnn )(! 210 xpn )(xpn)(0 xf)(00 xxxf 200)(! 21xxxf nnxxxfn)(!100)( 階階泰泰勒勒多多項(xiàng)項(xiàng)式式處處的的在在nxxf0)(帶有皮亞諾型余項(xiàng)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的n 階泰勒公式階泰勒公式),()(0baxxf的的

5、某某開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間在在包包含含若若n內(nèi)內(nèi)具具有有直直到到階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù),),(bax 有有 )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( ).)(0nxxo 則對(duì)則對(duì)2. 帶有皮亞諾型余項(xiàng)的帶有皮亞諾型余項(xiàng)的n階泰勒階泰勒(taylor)公式公式定理定理3.6rn(x) 的確定：的確定：分析分析 要證要證只需證只需證. 0)()()(lim00 nnxxxxxpxf )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( ),)(0nxxo )()()(xpxfxrnn 令令(稱(chēng)為稱(chēng)為余項(xiàng)余項(xiàng)

6、) ,. 0)()(lim00 nnxxxxxr只需證只需證)(xpn證證),()()(xpxfxrnn 令令)(0 xrn)(0 xrn . 0)(0)( xrnn則有則有, )()(00 xfxpn , )()(00 xfxpn ,. )()(0)(0)(xfxpnnn nnxxxxxr)()(lim00 10)()(lim0 nnxxxxnxr20)(1()(lim0 nnxxxxnnxr )( !)(lim0)1(0 xxnxrnnxx 00)1()1()()(lim!10 xxxrxrnnnnnxx )(!10)(xrnnn . 0 洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則定理定理3.6的條件可以的條件

7、可以減弱：減弱：注注定理定理3.6 存存在在)(0)(xfn)()(!)()(0000)(nknkkxxoxxkxfxf )(0 xux 證明同上，只需注意到：證明同上，只需注意到：提示：提示：處處可可導(dǎo)導(dǎo)在在0)1()(xxfn 內(nèi)內(nèi)有有定定義義在在某某)()(0)1(xuxfn 階階可可導(dǎo)導(dǎo)，則則處處在在若若nxxxf0)( .1)()(0階階可可導(dǎo)導(dǎo)內(nèi)內(nèi)在在某某 nxuxf帶有拉格朗日型余項(xiàng)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n 階泰勒公式階泰勒公式),()(0baxxf的的某某開(kāi)開(kāi)區(qū)區(qū)間間在在包包含含若若內(nèi)具有內(nèi)具有直到直到 n +1 階的導(dǎo)數(shù)階的導(dǎo)數(shù),),(bax 有有 )(xf)(0 xf)(0

8、0 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( 則對(duì)則對(duì)定理定理3.73. 帶有拉格朗日型余項(xiàng)的帶有拉格朗日型余項(xiàng)的n階泰勒階泰勒(taylor)公式公式),(xrn 其中其中10)1()(!)1()()( nnnxxnfxr ).0(之之間間與與在在xx 證證).()()1()1(xfxrnnn 只需證只需證.)(!)1()()(10)1( nnnxxnfxr ),()()(xpxfxrnn 令令)(0 xrn)(0 xrn , 0)(0)( xrnn則有則有柯西中值定理柯西中值定理 )( )(10 nnxxxr10)()( nnxxxrnnxnr)(1()(01

9、1 )(0 xrn 0 )01(之之間間與與在在xx )0)()1( xpnn且且),0(之之間間與與在在nx )(2)1( )(0)(xnrnnnn )(1( )(011nnxnr 1022)()1()( nnxnnr !)1()()1( nrnn )(0 xrn 0 )(0)(xrnn 0 x)102(之之間間與與在在 x即即10)()( nnxxxr!)1()()1( nrnn .)(!)1()()(10)1( nnnxxnfxr 的的冪冪展展開(kāi)開(kāi)成成帶帶有有按按求求函函數(shù)數(shù))1(1)( xxxf解解例例1.階階泰泰勒勒公公式式拉拉格格日日型型余余項(xiàng)項(xiàng)的的 n.)!1() 1()(21)

10、 1( nnnxnxf, 1)1( f,!) 1()(1)( nnnxnxf, 1)1( f, !2)1( f!.)1()(nfn ,)1()1()(121 nnnnxxr 其其中中.1之之間間與與在在x ),()1()1()1(1)(2xrxxxxfnn 因此因此注注 1 泰勒公式的余項(xiàng)估計(jì)泰勒公式的余項(xiàng)估計(jì)10)1()(!)1()()( nnnxxnfxr ,)()()1(0時(shí)時(shí)常常數(shù)數(shù)的的某某鄰鄰域域內(nèi)內(nèi)當(dāng)當(dāng)在在mxfxn ).0(之之間間與與在在xx .! )1()(10 nnxxnmxr).()()(00 xxxxoxrnn 顯然顯然的誤差為的誤差為代替代替用用)()(xfxpn有有

11、)()()(xpxfxrnn (1) 當(dāng)當(dāng) n = 0 時(shí)時(shí), 泰勒公式變?yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ硖├展阶優(yōu)槔窭嗜罩兄刀ɡ?)(xf)(0 xf)(0 xxf (2) 當(dāng)當(dāng) n = 1 時(shí)時(shí), 泰勒公式變?yōu)樘├展阶優(yōu)?)(xf)(0 xf)(00 xxxf 20)(!2)(xxf )(xf)(0 xf)(00 xxxf fd)0(之之間間與與在在xx )0(之之間間與與在在xx 2 泰勒公式泰勒公式的特例的特例, 00 x(3) 若在泰勒公式中若在泰勒公式中稱(chēng)為稱(chēng)為麥克勞林公式麥克勞林公式二、麥克勞林二、麥克勞林（maclaurin）公式公式 )(xf)0(fxf)0( 1)1(!)1()(

12、nnxnxf 2!2)0(xf nnxnf!)0()( )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 由此得近似公式由此得近似公式便可得到便可得到麥克勞林（麥克勞林（ maclaurin ）公式：）公式： , )10(,00 xx在泰勒公式中取在泰勒公式中取xxfe)()1( ,e)()(xkxf ),2,1(1)0()( kfkxe其中其中 )(xrn!)1( n)10( 1 nxx e幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式：幾個(gè)初等函數(shù)的麥克勞林公式：)0(f xf)0( 2!2)0(xf 1)1(!)1()( nnxnxf )(!)0()(xrxnfnnn 1 x !33x

13、!nxn )(xrn !22x )sin( xxxfsin)()2( )()(xfkxsinx !33x !55x )(2xrm 其中其中 )(2xrm)212sin( mx 2 k2sin)0()(kfk mk2 ,012 mk,)1(1 m),2,1( m !)12(12 mxm1)1( m)10( 12 mx!)12( m)cos()1(xm )22(cos mx!)2(2mxm xxfcos)()3( 類(lèi)似可得類(lèi)似可得xcos1 !22x !44x )(12xrm 其中其中 )(12xrm!)22( m)cos()1(1xm )10( m)1( 22 mx)1()1()()4( xxx

14、f )()(xfk )1(x 1 x 2xnx)(xrn 其中其中 )(xrn11)1(!)1()()1( nnxxnn )10( kxk )1)(1()1()1()1()0()( kfk ),2,1( k!2 ) 1(! n )1()1( n )1()1ln()()5( xxxf已知已知)1ln(x x 22x 33x nxn )(xrn 其中其中 )(xrn11)1(1)1( nnnxxn )10( 1)1( n類(lèi)似可得類(lèi)似可得 )()(xfkkkxk)1(! )1()1(1 ),2,1( k三、泰勒公式的應(yīng)用三、泰勒公式的應(yīng)用1. 在函數(shù)逼近中的應(yīng)用在函數(shù)逼近中的應(yīng)用 誤差誤差,!)1(

15、)(1 nnxnmxr其中其中m 為為)()1(xfn 在包含在包含 0 , x 的某區(qū)間上的上界的某區(qū)間上的上界.常見(jiàn)類(lèi)型常見(jiàn)類(lèi)型:1) 已知已知 x 和誤差限和誤差限 , 要求確定項(xiàng)數(shù)要求確定項(xiàng)數(shù) n ; )(xf)0(fxf)0( 2!2)0(xf nnxnf!)0()( 2) 已知項(xiàng)數(shù)已知項(xiàng)數(shù) n 和和 x , 計(jì)算近似值并估計(jì)誤差計(jì)算近似值并估計(jì)誤差;3) 已知項(xiàng)數(shù)已知項(xiàng)數(shù) n 和誤差限和誤差限 , 確定公式中確定公式中 x 的的適用范圍適用范圍.2. 在近似計(jì)算中的應(yīng)用在近似計(jì)算中的應(yīng)用在在例例2 計(jì)算無(wú)理數(shù)計(jì)算無(wú)理數(shù) e 的近似值的近似值 , 使誤差不超過(guò)使誤差不超過(guò).106 解

16、解xe中令中令 x = 1 , 得得e).10(!)1(e!1!2111 nn)10( 由于由于,3ee0 欲使欲使)1(nr!)1(3 n,106 的麥克勞林公式的麥克勞林公式!)1( nx e1 nxxe1 !33x !nxn !22x x 由計(jì)算可知當(dāng)由計(jì)算可知當(dāng) n = 9 時(shí)上式成立時(shí)上式成立 , 因此因此e!91!2111 .718281. 2 3. 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限.克克勞勞林林公公式式利利用用帶帶皮皮亞亞諾諾余余項(xiàng)項(xiàng)的的麥麥.ecoslim4220 xxxx 求極限求極限解解),(41211cos442xoxxx ！例例3)(!211e22tottt 時(shí)時(shí)，

17、當(dāng)當(dāng)22xt ),(42121e44222xoxxx ！44424420)(4! 2121 )(! 4211limxxoxxxoxxx ！4202ecoslimxxxx ),(42121e44222xoxxx ！),(41211cos442xoxxx ！.121 4440)()81241(limxxoxx )11ln(lim2xxxx )1(211lim222xxxxxx (方法方法1)用用泰勒公式泰勒公式)1(xt 令令)1ln(t t 22t 33t ntn ),(nto 1)1( n)0(ut 例例4)1(21lim22xxx .21 ).11ln(lim2xxxx 求求解解(方法方法2

18、).21 )11ln(lim2xxxx 20)1ln(limtttt 得得令令,1tx )1ln(11lim20tttt ttt2111lim0 )1(21lim0tt 用用洛必達(dá)法則洛必達(dá)法則，需換元，需換元:11)1 (! ) 1()() 1(nnxxnnnx! n) 1() 1(n)1 (x1x2x!2 ) 1( ) 10( 例例5證證21)1(1xx 21x 2)121(21!21x 325)1)(221)(121(21!31xx 3225)1(161821xxxx ).0(82112 xxxx4. 利用泰勒公式進(jìn)行證明利用泰勒公式進(jìn)行證明)10( ).0(82112 xxxx證明證明

19、證證例例6上上具具有有三三階階連連續(xù)續(xù)在在閉閉區(qū)區(qū)間間設(shè)設(shè)函函數(shù)數(shù)1 , 1)( xf, 0)0(, 1)1(, 0)1( fff且且. 3)()1 , 1( f，使使內(nèi)內(nèi)至至少少存存在在一一點(diǎn)點(diǎn)區(qū)區(qū)間間!3)(!2)0()0()0()(32xfxfxffxf 32)(61)0(21)0(xfxff 之之間間，和和介介于于其其中中x0 由麥克勞林公式有由麥克勞林公式有證明在開(kāi)證明在開(kāi)導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)，從而從而)1(0 f)01(1 兩式相減得兩式相減得)(61)0(21)0(1 fff )1(1f )10(2 )(61)0(21)0(2 fff 6)()(21 ff32)(61)0(21)0()(x

20、fxffxf 1 , 1 x從而從而由由介值定理介值定理，和和最最大大值值上上必必有有最最小小值值在在又又mmxf)(2, 1 使使得得),1 , 1(2, 1 )( f)()(2121 ff ,mm . 3)()(2121 ff1. 泰勒公式泰勒公式其中余項(xiàng)其中余項(xiàng))(0nxxo 當(dāng)當(dāng)00 x時(shí)為時(shí)為麥克勞林公式麥克勞林公式 . )(xf)(0 xf)(00 xxxf 200)(!2)(xxxf nnxxnxf)(!)(00)( )(xrn 10)1()(!)1()()( nnnxxnfxr )0(之之間間與與在在xx 內(nèi)容小結(jié)內(nèi)容小結(jié)2. 常用函數(shù)的麥克勞林公式常用函數(shù)的麥克勞林公式,ex

21、, )1ln(x ,sin x,cos x )1(x 3. 泰勒公式的應(yīng)用泰勒公式的應(yīng)用(2) 近似計(jì)算近似計(jì)算(3) 求極限求極限 (4) 證明證明(1) 利用多項(xiàng)式逼近函數(shù)利用多項(xiàng)式逼近函數(shù)思考題思考題1. 在第一在第一 章章6 中，重要極限中，重要極限)()11(lim存在存在annn 718282. 2e a為什么為什么？解解,)11(nnnx 設(shè)設(shè)!1! 2111nyn 由第一由第一 章章6 的證明，知的證明，知nnyx ,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)又又nm mmmx)11( )11()11(!1)11(! 2111mnmnm )11()11(!1mmmm )11()11(!1)11(! 2111mn

22、mnm 舍掉舍掉對(duì)于固定的對(duì)于固定的n, 令令m 得得nya n+1 項(xiàng)項(xiàng).ayxnn nnnx)11( ayxnn axnn lim 由由夾逼準(zhǔn)則，夾逼準(zhǔn)則，得得.limaynn ).10(!)1(e!1!2111e nn!1! 2111nyn )!1(e nyn elim nny一方面，一方面，另一方面，另一方面，由于由于. e a從而從而解解的的幾幾階階時(shí)時(shí)是是當(dāng)當(dāng)試試問(wèn)問(wèn)函函數(shù)數(shù)xxxx0sin 無(wú)無(wú)窮窮小小量量？),(!3sin33xoxxx 因因?yàn)闉?.),0()(! 3sin33 xxoxxx.sin0的的三三階階無(wú)無(wú)窮窮小小量量是是時(shí)時(shí)，所所以以當(dāng)當(dāng)xxxx 備用題備用題例例2

23、-1 計(jì)算計(jì)算 cos x的近似值的近似值,使其精確到使其精確到 0.005 , 試確定試確定 x 的適用范圍的適用范圍.解解近似公式的誤差為近似公式的誤差為)cos(!4)(43xxxr .244x 令令,005. 0244 x解得解得,588. 0 x即當(dāng)即當(dāng)588. 0 x時(shí)時(shí), 由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果由給定的近似公式計(jì)算的結(jié)果能準(zhǔn)確到能準(zhǔn)確到 0.005 .用近似公式用近似公式! 21cos2xx 選擇選擇解解37x211(6 ),(822xrx 例例2-2 計(jì)算計(jì)算的近似值的近似值 , 要求精確到小數(shù)點(diǎn)后的要求精確到小數(shù)點(diǎn)后的13637 .2)1(621近似值近似值階麥克勞林公式

24、來(lái)求其階麥克勞林公式來(lái)求其的的x 21)1(6x 第第5位位.).10(16)1()(3252 xxxr其其中中 )1(x 1 x 2x)(2xr !2 ) 1(,)3611(621 )361(62r33611616 ,105 . 05 因此因此符合精度要求，符合精度要求，)36181361211(6372 .08275. 6 來(lái)計(jì)算，來(lái)計(jì)算，取取)0(3610 xx其誤差為其誤差為).10(16)1()(3252 xxxr解解x4312 43 x21)431(2x 用洛必塔法則不方便用洛必塔法則不方便 !2x用泰勒公式將分子展到用泰勒公式將分子展到項(xiàng)項(xiàng),由于由于)(nxo nx! n ) 1

25、() 1(n )1(x 1x 2x !2 ) 1(2 x43 ),(1694122xox 2 )43(211x ! 21)121(21 2)43( x)(2xo 例例3-1.43443lim20 xxxx 求求x34 21)431(2x 2 20 limxx )(1692122xox .329 x43 ).(1694122xox 類(lèi)似地，類(lèi)似地，2043443limxxxx 243 xx43 ),(1694122xox 解解),(!211e4422xoxxx ),(!4!21cos542xoxxx ),()!412!21(3cos2e442xoxxx .127)(127lim4440 xxox

26、x原式原式例例3-2.3cos2elim402xxxx 求求例例3-3),(!3!21e332xoxxxx ),(!3sin33xoxxx 利用泰勒公式求極限利用泰勒公式求極限解解3333320)1()(!3)(!3!21(limxxxxoxxxoxxxx 原式原式33320)(!3!2limxxoxxx .31 .)1(sinelim30 xxxxxx 解解xxsin1 )(132xx xcos例例3-4因?yàn)橐驗(yàn)?0(),(4332 xxx x2sin22)(xx .cossin1sinlim20 xxxxx 求求)(21132xx )(21132xx )(41132xx xxxcossin

27、1 )0(),(32 xxx .34 所以所以xxxxxcossin1sinlim20 )(43)(lim32320 xxxxx 證證例例5-1上上有有二二階階導(dǎo)導(dǎo)數(shù)數(shù)，在在設(shè)設(shè)10)(xf,| )(|axf ,| )(|bxf .212| )(|)1 , 0(bacfc 有有),1 , 0( c對(duì)對(duì)任任意意給給定定的的處處有有二二階階在在點(diǎn)點(diǎn)所所以以函函數(shù)數(shù)cxxf )(泰泰勒勒中中值值公公式式成成立立，即即2)(!2)()()()(cxfcxcfcfxf 其中其中a, b是非負(fù)數(shù)，是非負(fù)數(shù)，求證：對(duì)一切求證：對(duì)一切有二階導(dǎo)數(shù)，有二階導(dǎo)數(shù)，上上，在在因因10)(xf,之之間間與與在在其其中中

28、xc 時(shí)時(shí)，和和特特別別當(dāng)當(dāng)10 xx. 1,010 cc其其中中兩式相減得兩式相減得,)0(!2)()0)()()0(20cfccfcff ,)1(!2)()1)()()1(21cfccfcff )()1)(!21)()0()1(2021cfcfcfff )1(222ccbaa 于是于是)()1)(! 21)0() 1 ()(2021cfcfffcf | )0(| ) 1(| )(|ffcf | )(|)1 ( | )(|! 212021cfcf ,| )(|axf )1 , 0(,| )(| cbxf122222 ccba.22ba 1)1(222 ccba證證上上二二階階可可導(dǎo)導(dǎo)，在在設(shè)

29、設(shè)函函數(shù)數(shù),)(baxf且且例例5-2使得使得, 0)()( bfaf),(ba 試證明存在一點(diǎn)試證明存在一點(diǎn). | )()(|)(4| )(|2afbfabf 有有點(diǎn)點(diǎn)應(yīng)應(yīng)用用泰泰勒勒公公式式點(diǎn)點(diǎn)與與分分別別在在,ba )(xf21)(! 21)()(axfaxafaf )(1xa ,)()(! 21)(21axfaf ,2bax 在在上上面面兩兩式式中中令令)1()2(可得可得 )(xf22)(! 21)()(bxfbxbfbf )(2bx ,)()(! 21)(22bxfbf 21)()(81)()2(abfafbaf 22)()(81)()2(abfbfbaf 得得用用)1()2( 0)()()(81)()(122 ffabafbf,)(, )(max| )(|21fff 取取從而得從而得),(ba 則則| )()(|)(81| )()(|122 ffabafbf ()()(81122 ffab |,)(|)(41| )()(|2 fabafbf 并有并有),(ba . | )()(|)(4| )(|2afbfabf 使得使得即存在一點(diǎn)即存在一點(diǎn)證證)1()0(f