條件極值北工大

1、一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法二、例二、例1.1.定義定義 求函數(shù)求函數(shù) 在滿足函數(shù)在滿足函數(shù)),(21nxxxfy 方程組（限制條件）方程組（限制條件）)1()(0),(0),(0),(21212211nmxxxfxxxfxxxfnmnn 的所有點(diǎn)的所有點(diǎn)),(21nxxx的極值，就是的極值，就是條件條件極值極值。函數(shù)方程組（。函數(shù)方程組（1 1）稱為）稱為聯(lián)系方程組聯(lián)系方程組。一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法一、條件極值與拉格朗日乘數(shù)法2.2.問(wèn)題問(wèn)題 討論四元函數(shù)討論四元函數(shù)),(4321xxxxfy (2)(2)滿足聯(lián)系方程組滿足聯(lián)系方程組( (限制條件限制條件)

2、 ) 0),(0),(4321243211xxxxfxxxxf(3)(3)條件下取極值的必要條件條件下取極值的必要條件. .即若點(diǎn)即若點(diǎn) 是這個(gè)條件極值的是這個(gè)條件極值的),(040302010 xxxxp極值點(diǎn)極值點(diǎn), ,其坐標(biāo)應(yīng)滿足什么樣的方程其坐標(biāo)應(yīng)滿足什么樣的方程? ?設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù) 所有偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)所有偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn) 的某鄰的某鄰21,fff0p域域 連續(xù)，且矩陣連續(xù)，且矩陣g的秩為的秩為2 2，不妨設(shè)函數(shù)行列式不妨設(shè)函數(shù)行列式. 0),(),(04321 pxxff04232221241312111pxfxfxfxfxfxfxfxf 所以方程組所以方程組(3)(3)滿足方程組確定的隱函數(shù)滿

3、足方程組確定的隱函數(shù)定理的條件，則定理的條件，則存在點(diǎn)存在點(diǎn) 的的鄰域鄰域),(02010 xxqvv隱函數(shù)組隱函數(shù)組),(),(214213xxxxxx 使使 . 0),(),(, 0),(),(,21212122121211xxxxxxfxxxxxxf ).,(),(000000214213xxxxxx （4 4）（5 5），在，在 存在唯一一組有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的存在唯一一組有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的若若 是極值點(diǎn)，則是極值點(diǎn)，則 的坐標(biāo)必滿足方程的坐標(biāo)必滿足方程(4).(4).0p0p將將(4)(4)式代入函數(shù)之中式代入函數(shù)之中, ,),(4321xxxxff化為的二元函數(shù)化為的二元函數(shù), ,設(shè)設(shè)21,

4、 xx),(),(,),(21212121xxxxxxfxxg 若點(diǎn)若點(diǎn) 是條件極值的極值點(diǎn)，則是條件極值的極值點(diǎn)，則),(040302010 xxxxp),(02001xxq點(diǎn)點(diǎn) 必是函數(shù)必是函數(shù) 的穩(wěn)定點(diǎn)。的穩(wěn)定點(diǎn)。),(21xxg根據(jù)多元函數(shù)極值的必要條件，點(diǎn)根據(jù)多元函數(shù)極值的必要條件，點(diǎn)),(02001xxq（6 6）. 021 xgxg由（由（6 6）式可得）式可得1xg , 014131 xxfxxfxf 2xg . 024232 xxfxxfxf 滿足方程組滿足方程組（7 7）再對(duì)（再對(duì)（5 5）式分別關(guān)于）式分別關(guān)于 求偏導(dǎo)數(shù)，有求偏導(dǎo)數(shù)，有21, xx , 0, 014213

5、21214113111xxfxxfxfxxfxxfxf （8 8） . 0, 02422322224123121xxfxxfxfxxfxxfxf （9 9）從方程組從方程組(8)(9)(8)(9)解出解出,2211xxxx 并將其代入并將其代入方程方程(7)(7)，可以得到點(diǎn)，可以得到點(diǎn) 必滿足的方程。必滿足的方程。),(02001xxq即選擇適當(dāng)?shù)某?shù)即選擇適當(dāng)?shù)某?shù)21, 分別乘方程分別乘方程(8)(8)兩個(gè)方程，即兩個(gè)方程，即 . 0, 01422132212214111311111xxfxxfxfxxfxxfxf 加減消去法加減消去法將它們與方程組（將它們與方程組（7 7）的第一個(gè)方程

6、等號(hào)）的第一個(gè)方程等號(hào)兩端分別相加，有兩端分別相加，有132231131221111xxfxfxfxfxfxf用同樣的方法去乘方程組（用同樣的方法去乘方程組（9 9），與（），與（7 7）的第二個(gè)方程兩端相加，有的第二個(gè)方程兩端相加，有. 014224114xxfxfxf232231132222112xxfxfxfxfxfxf. 024224114xxfxfxf為了消去偏導(dǎo)數(shù)為了消去偏導(dǎo)數(shù),2211xxxx 令令 , 0, 042241143223113xfxfxfxfxfxf （1010）從而有從而有 . 0, 022221121221111xfxfxfxfxfxf （1111）方程組轉(zhuǎn)化為

7、方程組方程組轉(zhuǎn)化為方程組(10)(11).(10)(11).若點(diǎn)若點(diǎn)),(040302010 xxxxp是極值點(diǎn)，則其坐標(biāo)和是極值點(diǎn)，則其坐標(biāo)和必須滿足六個(gè)方程必須滿足六個(gè)方程21, 常數(shù)常數(shù). 4 , 3 , 2 , 102211 ixfxfxfiii ,0),(43211 xxxxf. 0),(43212 xxxxf3.3.定理定理1 1 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(4321xxxxfy ),(43211xxxxf),(43212xxxxf的所有偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)的所有偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)),(040302010 xxxxp的某鄰域的某鄰域g g連續(xù)，且矩陣連續(xù)，且矩陣 的秩為的秩為2 2，若點(diǎn)若點(diǎn)),(040302

8、010 xxxxp是函數(shù)是函數(shù)),(4321xxxxfy 滿足滿足聯(lián)系方程組聯(lián)系方程組 0),(0),(4321243211xxxxfxxxxf的極值點(diǎn)，的極值點(diǎn)， 04232221241312111pxfxfxfxfxfxfxfxf 則存在常數(shù)則存在常數(shù)1 與與,2 與與 和點(diǎn)和點(diǎn) 的四個(gè)的四個(gè)0p04030201,xxxx必同時(shí)滿足下列方程組：必同時(shí)滿足下列方程組：（共六個(gè)方程）（共六個(gè)方程）. 4 , 3 , 2 , 102211 ixfxfxfiii ,0),(43211 xxxxf. 0),(43212 xxxxf1 2 坐標(biāo)坐標(biāo)此定理可以推廣多個(gè)函數(shù)的情況此定理可以推廣多個(gè)函數(shù)的情

9、況. .一般情況下求條件極值的步驟如下一般情況下求條件極值的步驟如下: :引進(jìn)輔助函數(shù)引進(jìn)輔助函數(shù).),(2211214321fffxxxx 令函數(shù)令函數(shù) 關(guān)于關(guān)于214321, xxxx的偏導(dǎo)數(shù)為的偏導(dǎo)數(shù)為0 0，即，即 0),(0),(432122432111211xxxxfxxxxfxfxfxfxiiii （定理（定理的六個(gè)方程）的六個(gè)方程）求求函數(shù)函數(shù)),(4321xxxxfy 在滿足在滿足聯(lián)系方聯(lián)系方0),(43211 xxxxf，0),(43212 xxxxf程組程組. 4 , 3 , 2 , 1 i 的普通的普通的極值問(wèn)題的極值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù)轉(zhuǎn)化為求輔助函數(shù)極值，稱為極值，

10、稱為拉格朗日乘數(shù)法拉格朗日乘數(shù)法。例例1 1 求三維歐氏空間求三維歐氏空間 的一點(diǎn)的一點(diǎn)3r),(cba到平面到平面 的距離的距離. . 0 dczbyax例例2 2 設(shè)設(shè)n n個(gè)正數(shù)之和之個(gè)正數(shù)之和之和是和是 , ,nxxx,21求函數(shù)的最大值求函數(shù)的最大值nnxxxu21 a練習(xí)練習(xí)zyx , ,zyxu23 將正數(shù)將正數(shù)1212分成三個(gè)正數(shù)分成三個(gè)正數(shù)之和之和 使得為最大使得為最大解解令令)12(),(23 zyxzyxzyxf , ,則則 12 0 020323322zyxyxfyzxfzyxfzyx )4( ,12)3( ,)2( ,2)1( ,323322zyxyxyzxzyx 由由 (1)(1)，(2) (2) 得得(5) ,32xy 由由 (1)(1)，(3) (3) 得得(6) ,31xz .691224623max u將將 (5)(5)，(6) (6) 代入代入 (4)(4)： 123132 xxx于是，得于是，得, 6 x, 4 y. 2 z這是唯一可能的極值點(diǎn)。這是唯一可能的極值點(diǎn)。因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，最大值一定存在，因?yàn)橛蓡?wèn)題本身可知，最大值一定存在，所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。所以最大值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得。故，最大值故，最大值即