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文檔簡介
1、數(shù)學概念的理解與教學數(shù)學概念的理解與教學人民教育出版社人民教育出版社 章建躍章建躍有效教學的關鍵有效教學的關鍵 理解數(shù)學,理解學生,理解教學。理解數(shù)學,理解學生,理解教學。 “三個理解三個理解”的內(nèi)涵:掌握豐富的數(shù)學學的內(nèi)涵:掌握豐富的數(shù)學學科知識;初中數(shù)學課程結構體系、教學重科知識;初中數(shù)學課程結構體系、教學重點的知識;學生數(shù)學學習難點的知識;關點的知識;學生數(shù)學學習難點的知識;關于重點知識的教學解釋的知識;關于評估于重點知識的教學解釋的知識;關于評估學生的知識理解水平的知識;等。學生的知識理解水平的知識;等。 特別強調(diào)特別強調(diào)“內(nèi)容所反映的數(shù)學思想方法內(nèi)容所反映的數(shù)學思想方法”的理解,決定
2、了教學所能達到的水平和效的理解,決定了教學所能達到的水平和效果。果。當前概念教學的問題當前概念教學的問題 不重視章節(jié)起始課的教學,沒有把本章節(jié)不重視章節(jié)起始課的教學,沒有把本章節(jié)要解決的主要問題、基本過程和主要思想要解決的主要問題、基本過程和主要思想方法等納入教學任務中;方法等納入教學任務中; 概念教學走過場,常常采用概念教學走過場,常常采用“一個定義,一個定義,三項注意三項注意”的方式,在概念的背景引入上的方式,在概念的背景引入上著墨不夠,沒有給學生提供充分的概括本著墨不夠,沒有給學生提供充分的概括本質(zhì)特征的機會,認為讓學生多做幾道題目質(zhì)特征的機會,認為讓學生多做幾道題目更實惠更實惠 有些老
3、師不知如何教概念有些老師不知如何教概念教概念的意義教概念的意義 李邦河院士:數(shù)學根本上是玩概念的,不李邦河院士:數(shù)學根本上是玩概念的,不是玩技巧技巧不足道也!是玩技巧技巧不足道也! 以解題教學代替概念教學的做法嚴重偏離以解題教學代替概念教學的做法嚴重偏離了數(shù)學的正軌,必須糾正否則,學生在了數(shù)學的正軌,必須糾正否則,學生在數(shù)學上耗費大量時間、精力,結果可能是數(shù)學上耗費大量時間、精力,結果可能是對數(shù)學的內(nèi)容、方法和意義知之甚少,對數(shù)學的內(nèi)容、方法和意義知之甚少,“數(shù)學育人數(shù)學育人”終將落空終將落空概念教學的核心概念教學的核心 概念教學的核心是概括:將凝結在數(shù)學概概念教學的核心是概括:將凝結在數(shù)學概
4、念中的數(shù)學家的思維打開,以典型豐富的念中的數(shù)學家的思維打開,以典型豐富的實例為載體,引導學生展開觀察、分析各實例為載體,引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性,歸事例的屬性、抽象概括共同本質(zhì)屬性,歸納得出數(shù)學概念。納得出數(shù)學概念。概念教學的基本環(huán)節(jié)概念教學的基本環(huán)節(jié) 典型豐富的具體例證典型豐富的具體例證屬性的分析、比屬性的分析、比較、綜合;較、綜合; 概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性;概括共同本質(zhì)特征得到概念的本質(zhì)屬性; 下定義(準確的數(shù)學語言描述);下定義(準確的數(shù)學語言描述); 概念的辨析概念的辨析以實例(正例、反例)為以實例(正例、反例)為載體分析關鍵詞的含義;載體分
5、析關鍵詞的含義; 用概念作判斷的具體事例用概念作判斷的具體事例形成用概念形成用概念作判斷的具體步驟;作判斷的具體步驟; 概念的概念的“精致精致”建立與相關概念的聯(lián)建立與相關概念的聯(lián)系。系。例例1 1 代數(shù)的核心概念、思想方法代數(shù)的核心概念、思想方法 代數(shù)代數(shù)以符號以符號( (不定元不定元) )代表數(shù);代表數(shù); 代數(shù)學的根源在于代數(shù)運算;代數(shù)學的根源在于代數(shù)運算; 代數(shù)運算有一系列普遍成立的運算律:交代數(shù)運算有一系列普遍成立的運算律:交換律、結合律、分配律、指數(shù)法則;換律、結合律、分配律、指數(shù)法則; 模式、關系、函數(shù):模式、關系、函數(shù):“找規(guī)律找規(guī)律”,用代數(shù),用代數(shù)符號表征和理解數(shù)學結構、數(shù)量
6、關系、變符號表征和理解數(shù)學結構、數(shù)量關系、變化化規(guī)律規(guī)律。 代數(shù)學的基本思想:有系統(tǒng)、有效力地運代數(shù)學的基本思想:有系統(tǒng)、有效力地運用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運算的運算律,去用數(shù)系的加、乘和指數(shù)運算的運算律,去解決各種各樣的代數(shù)問題:解決各種各樣的代數(shù)問題: 各種式(整式、分式、根式等)的運算各種式(整式、分式、根式等)的運算用運算律進行用運算律進行“等價變換等價變換”;作為數(shù)及;作為數(shù)及其運算的推廣。其運算的推廣。 方程方程未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)未知數(shù)、已知數(shù)之間的特定代數(shù)關系;解方程關系;解方程由代數(shù)方程式確定其中由代數(shù)方程式確定其中的的“未知數(shù)未知數(shù)”的值;的值; 解方程的基本原理:運算
7、律對任何數(shù)都解方程的基本原理:運算律對任何數(shù)都成立(通性),所以對成立(通性),所以對“未知數(shù)未知數(shù)”也成也成立、可用。有系統(tǒng)地用運算律化簡所給立、可用。有系統(tǒng)地用運算律化簡所給的方程,從而確定其中的未知數(shù)的方程,從而確定其中的未知數(shù)化化未知為已知。未知為已知。 一元一次方程是基礎,其它都用消元、一元一次方程是基礎,其它都用消元、降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。降次轉(zhuǎn)化為一元一次方程。 方程問題,從元的增加、次數(shù)的增加兩方程問題,從元的增加、次數(shù)的增加兩個方向,依照由簡到繁、由易到難順次個方向,依照由簡到繁、由易到難順次展開。展開。 從代數(shù)式(符號代表數(shù))、方程(符號從代數(shù)式(符號代表數(shù))、方程(符號
8、代表未知數(shù))到函數(shù)(符號代表變數(shù))代表未知數(shù))到函數(shù)(符號代表變數(shù))是一個飛躍,這是看問題角度的根本變是一個飛躍,這是看問題角度的根本變化化從變化過程中考察規(guī)律,函數(shù)是從變化過程中考察規(guī)律,函數(shù)是研究變化規(guī)律的。研究變化規(guī)律的。 一次函數(shù)一次函數(shù)y=kx+b的變化規(guī)律由誰反映的變化規(guī)律由誰反映不僅明確不僅明確x,y的意義,而且明確的意義,而且明確k,b的意義的意義變化規(guī)律由變化規(guī)律由k,b決定。決定。 其他函數(shù)也類似。其他函數(shù)也類似。例例2 2 乘法公式的理解及教學設計乘法公式的理解及教學設計 多項式運算就是含有字母符號的算式之間多項式運算就是含有字母符號的算式之間的運算(字母代表數(shù),數(shù)滿足運
9、算律,所的運算(字母代表數(shù),數(shù)滿足運算律,所以字母也滿足運算律);以字母也滿足運算律); 兩個多項式的乘積就是用分配律把它歸于兩個多項式的乘積就是用分配律把它歸于單項式的乘積之和來計算,單項式的乘積單項式的乘積之和來計算,單項式的乘積是用乘法的交換律、結合律和指數(shù)法則來是用乘法的交換律、結合律和指數(shù)法則來計算計算運算法則;運算法則; 乘法公式是一類特殊的多項式乘法問題,乘法公式是一類特殊的多項式乘法問題,是一個模式。是一個模式。乘法公式蘊含的思想方法乘法公式蘊含的思想方法 乘法公式是研究一般多項式乘法基礎上對乘法公式是研究一般多項式乘法基礎上對“特例特例”的考察,尋找一個模式:的考察,尋找一個
10、模式: 在在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中,字母中,字母a,b,c,d有某些特殊關系時的特殊形式,即有某些特殊關系時的特殊形式,即(1)a=c,b=d時有平方差公式;時有平方差公式;(2)a=c,b=d時有完全平方和公式;等。時有完全平方和公式;等。從一般到特殊,歸納的思想,從一般到特殊,歸納的思想,“考察特例考察特例”是數(shù)學研究的是數(shù)學研究的“基本套路基本套路”。教學過程設計教學過程設計 1復習與引入復習與引入 問題問題1 前面我們學習了單項式、多項式的前面我們學習了單項式、多項式的乘法,你能說說運算法則嗎?這些運算的乘法,你能說說運算法則嗎?這些運算的依據(jù)是什么?依據(jù)是什么
11、? 設計意圖:回顧運算法則,強化設計意圖:回顧運算法則,強化“用運算用運算律計算律計算”的意識。的意識。 先行組織者:先行組織者:(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中,中,a,b,c,d可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)可以是數(shù)、式或別的什么。數(shù)學中,經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對學中,經(jīng)常要通過考察特殊情況來獲得對問題的進一步認識,例如在兩條直線的位問題的進一步認識,例如在兩條直線的位置關系中,我們特別研究了平行、垂直兩置關系中,我們特別研究了平行、垂直兩種特殊的位置關系,得到了一些有用的結種特殊的位置關系,得到了一些有用的結論。類似的,在多項式乘法中,也有一些論。類似的,在多項式乘法中,
12、也有一些特殊情形值得研究。特殊情形值得研究。 2公式的探究公式的探究 問題問題2 (x+b)(x+d)可以利用公式直接寫出結可以利用公式直接寫出結果。它是果。它是(a+b)(c+d)在在a=c=x時的特例。在時的特例。在(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd中,你認為還有哪中,你認為還有哪些特殊情形?你能得到什么?些特殊情形?你能得到什么? 設計意圖:通過設計意圖:通過“先行組織者先行組織者”,滲透從,滲透從一般到特殊,考察特例,深入認識數(shù)學對一般到特殊,考察特例,深入認識數(shù)學對象的方法;在讓學生自主活動之前,先指象的方法;在讓學生自主活動之前,先指出已有特例出已有特例(x+b)(x+d
13、),使學生有一個類比,使學生有一個類比對象,明確思考方向。對象,明確思考方向。 問題問題3 請你用自己的語言表述平方差公式、請你用自己的語言表述平方差公式、完全平方公式。完全平方公式。 設計意圖:幫助學生理解公式。設計意圖:幫助學生理解公式。 3例題例題 本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式(字母本環(huán)節(jié)主要目的是通過變式(字母a,b取取數(shù)、式等各種變形),讓學生體會公式在數(shù)、式等各種變形),讓學生體會公式在“形式化運算形式化運算”中的作用。另外,通過適中的作用。另外,通過適當反例,糾正學生可能的疏忽。最終要讓當反例,糾正學生可能的疏忽。最終要讓學生明確:第一,具備形式學生明確:第一,具備形式(a+b)(a
14、b)或或(ab)2,就可以用公式;第二,要注意哪,就可以用公式;第二,要注意哪個代表個代表a,哪個代表,哪個代表b。 4公式的多元聯(lián)系表示公式的多元聯(lián)系表示 問題問題4 如果如果a,b表示線段的長,則表示線段的長,則a2,b2分分別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形別表示正方形的面積。你能根據(jù)公式的形式,自己構造一個圖形表示上述乘法公式式,自己構造一個圖形表示上述乘法公式嗎?嗎? 設計意圖:通過構造幾何模型表示公式,設計意圖:通過構造幾何模型表示公式,以開拓學生的思路。通過數(shù)形結合、圖形以開拓學生的思路。通過數(shù)形結合、圖形直觀,以加深理解、增強記憶。直觀,以加深理解、增強記憶。 5小結小結 (
15、1)請你總結一下本節(jié)課討論問題的基本)請你總結一下本節(jié)課討論問題的基本過程。過程。 設計意圖:引導學生總結設計意圖:引導學生總結“基本套路基本套路”,即即“多項式乘法(一般)多項式乘法(一般)乘法公式(乘法公式(特殊)特殊)公式特征分析公式特征分析與相關知識與相關知識的聯(lián)系的聯(lián)系”。 (2)為什么要討論)為什么要討論“特殊情形特殊情形”?是如何?是如何得到的?得到的? 設計意圖:體會設計意圖:體會“如何提出問題如何提出問題”。 (3)能否循著上述思路,再提出一些值得)能否循著上述思路,再提出一些值得研究的問題?研究的問題? 設計意圖:引導學生自主研究。必要時可設計意圖:引導學生自主研究。必要時
16、可作提示,如公式作提示,如公式(a+b)2=a2+2ab+b2中,推廣中,推廣“次數(shù)次數(shù)”,可以研究,可以研究(a+b)3,(a+b)4。雖然這不是雖然這不是“課標課標”要求的,但對學生思要求的,但對學生思維發(fā)展是有好處的。維發(fā)展是有好處的。例例3 3 函數(shù)概念的理解和教學函數(shù)概念的理解和教學 被扭曲的函數(shù)概念教學舉例:被扭曲的函數(shù)概念教學舉例:(1)只在形式化變形上下功夫)只在形式化變形上下功夫如圖所示是二次函數(shù)如圖所示是二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖圖像的一部分,圖像過點像的一部分,圖像過點a(3,0),對,對程軸為程軸為x=1,給出下列四個結論:,給出下列四個結論:b4ac,bc0,2a
17、+b=0,a+b+c=0,其中正確的結論是,其中正確的結論是 。(2 2)與平面幾何知識的疊加)與平面幾何知識的疊加(3)(3)將知識點拼湊、疊加,成為一種數(shù)學將知識點拼湊、疊加,成為一種數(shù)學游戲游戲據(jù)稱,這是近幾年中考常見的壓軸題。據(jù)稱,這是近幾年中考常見的壓軸題。有評論說:有評論說:“這樣的題目的特點是通過采這樣的題目的特點是通過采用寬入口、低起點、層層遞進、逐步提高用寬入口、低起點、層層遞進、逐步提高知識的綜合程度,利用點和線的圖形運動知識的綜合程度,利用點和線的圖形運動,借助函數(shù)知識來研究圖形在運動變化過,借助函數(shù)知識來研究圖形在運動變化過程中的數(shù)量關系,同時滲透多種數(shù)學思想程中的數(shù)量
18、關系,同時滲透多種數(shù)學思想方法的方式設計題目的問題,為題目的區(qū)方法的方式設計題目的問題,為題目的區(qū)分度奠定了較好的基礎。分度奠定了較好的基礎。” 完全離開了函數(shù)的背景,割裂了函數(shù)與客完全離開了函數(shù)的背景,割裂了函數(shù)與客觀世界的天然聯(lián)系。觀世界的天然聯(lián)系。 人為制造,矯揉造作!人為制造,矯揉造作!關于函數(shù)概念的理解關于函數(shù)概念的理解 說文解字:函說文解字:函信函,傳遞和交流信息信函,傳遞和交流信息的書面形式。引申為(有順序的)對應關的書面形式。引申為(有順序的)對應關系。系。 函數(shù)的來源:函數(shù)來源于運動,是應函數(shù)的來源:函數(shù)來源于運動,是應“科科學的數(shù)學化學的數(shù)學化”之所需。之所需。“數(shù)學從運動
19、的研數(shù)學從運動的研究中引出了一個基本概念。在那以后的二究中引出了一個基本概念。在那以后的二百年里,這個概念在幾乎所有的工作中占百年里,這個概念在幾乎所有的工作中占中心位置,這就是函數(shù)中心位置,這就是函數(shù)或變量間的關或變量間的關系系的概念。的概念?!保╩m克萊因)克萊因)函數(shù)概念的本質(zhì)函數(shù)概念的本質(zhì) 函數(shù)概念的本質(zhì):兩個變量之間的一種特函數(shù)概念的本質(zhì):兩個變量之間的一種特殊的對應關系。殊的對應關系?!昂瘮?shù)函數(shù)”不是一個數(shù),而不是一個數(shù),而是一個對應關系。是一個對應關系。 函數(shù)概念所反映的基本思想:運動變化的函數(shù)概念所反映的基本思想:運動變化的思想。思想。 教學的核心任務:讓學生體驗教學的核心任務
20、:讓學生體驗“一個量隨一個量隨著另一個量的變化而變化著另一個量的變化而變化”的過程的過程只只有數(shù)字、圖形游戲是辦不到的。有數(shù)字、圖形游戲是辦不到的。題目的比較題目的比較 我們習以為常的我們習以為常的題目題目: 這樣的題目,只有形式化的訓練,主要在這樣的題目,只有形式化的訓練,主要在代數(shù)運算上下功夫,函數(shù)的味道很淡,代數(shù)運算上下功夫,函數(shù)的味道很淡,“變量變量”、“運動變化運動變化”、“一個量隨另一一個量隨另一個量的變化而變化個量的變化而變化”以及變化過程中以及變化過程中“確確定的關系定的關系”或或“變化規(guī)律變化規(guī)律”等,都體現(xiàn)得等,都體現(xiàn)得不夠。不夠。 換一種方法出換一種方法出題目題目: 函數(shù)
21、味道很濃,函數(shù)味道很濃,“變量變量”、“一個量隨另一個量隨另一個量的變化而變化一個量的變化而變化”以及變化過程中以及變化過程中“確定的關系確定的關系”或或“變化規(guī)律變化規(guī)律”等,都得到等,都得到充分體現(xiàn)。一定要理解了概念才能回答,充分體現(xiàn)。一定要理解了概念才能回答,如必須真正理解斜率如必須真正理解斜率k k的實際含義才能回答的實際含義才能回答“是什么原因?qū)е铝怂麄兯嫷膱D像的不是什么原因?qū)е铝怂麄兯嫷膱D像的不同?同?” 兩種出題方法的教育功能也是不同的兩種出題方法的教育功能也是不同的后一種方法更有助于學生理解函數(shù)概念的后一種方法更有助于學生理解函數(shù)概念的本質(zhì);能讓學生感受數(shù)學的作用;對學生本
22、質(zhì);能讓學生感受數(shù)學的作用;對學生能力的培養(yǎng)更全面。能力的培養(yǎng)更全面。函數(shù)概念的發(fā)展簡史函數(shù)概念的發(fā)展簡史 背景:背景:1717世紀,科學家們致力于對運動的世紀,科學家們致力于對運動的研究。如計算天體的位置,長距離航海中研究。如計算天體的位置,長距離航海中對經(jīng)度和緯度的測量,炮彈的速度對于高對經(jīng)度和緯度的測量,炮彈的速度對于高度和射程的影響等。涉及兩個變量之間的度和射程的影響等。涉及兩個變量之間的關系,要根據(jù)這種關系對事物的變化規(guī)律關系,要根據(jù)這種關系對事物的變化規(guī)律作出判斷,如根據(jù)炮彈的速度推測它能達作出判斷,如根據(jù)炮彈的速度推測它能達到的高度和射程。到的高度和射程。 萊布尼茲用萊布尼茲用“
23、函數(shù)函數(shù)”表示隨曲線的變化而表示隨曲線的變化而改變的幾何量,如坐標、切線等。改變的幾何量,如坐標、切線等。17181718年年,貝努利強調(diào)函數(shù)要用公式表示。,貝努利強調(diào)函數(shù)要用公式表示。17551755年年,歐拉將函數(shù)定義為,歐拉將函數(shù)定義為“如果某些變量,以如果某些變量,以一種方式依賴于另一些變量,我們將前面一種方式依賴于另一些變量,我們將前面的變量稱為后面變量的函數(shù)的變量稱為后面變量的函數(shù)”。 當時很多數(shù)學家對不用公式表示函數(shù)很不當時很多數(shù)學家對不用公式表示函數(shù)很不習慣,甚至抱懷疑態(tài)度。習慣,甚至抱懷疑態(tài)度。 1837年,狄利克雷提出:年,狄利克雷提出:“如果對于如果對于x的每的每一個值,
24、一個值,y總有一個完全確定的值與之對應總有一個完全確定的值與之對應,則,則y是是x的函數(shù)的函數(shù)”。 1870年代,隨著集合概念的出現(xiàn),函數(shù)概年代,隨著集合概念的出現(xiàn),函數(shù)概念用更加嚴謹?shù)募吓c對應語言表述。念用更加嚴謹?shù)募吓c對應語言表述。 映射的語言定義函數(shù)則是更晚的事情了。映射的語言定義函數(shù)則是更晚的事情了。函數(shù)概念的教學要點函數(shù)概念的教學要點 為學生鋪設概括函數(shù)概念的通道;為學生鋪設概括函數(shù)概念的通道; 精選實際例子精選實際例子從實例出發(fā),在函數(shù)概念的引從實例出發(fā),在函數(shù)概念的引入、表示、性質(zhì)和應用等階段都要注意使用實際入、表示、性質(zhì)和應用等階段都要注意使用實際例子,為學生提供理解函數(shù)概
25、念的例子,為學生提供理解函數(shù)概念的“參照物參照物”。一個好例子勝過一千次說教。一個好例子勝過一千次說教。 不在字面含義、形式化不在字面含義、形式化“應用應用”等方面糾纏,多等方面糾纏,多讓學生用函數(shù)觀點解釋具體問題。讓學生用函數(shù)觀點解釋具體問題。 圍繞運動變化、變量、一個量隨另一個量的變化圍繞運動變化、變量、一個量隨另一個量的變化而變化等,以實例為載體開展教學,加強思想方而變化等,以實例為載體開展教學,加強思想方法、函數(shù)建模等。法、函數(shù)建模等。例例4 一次函數(shù)的例題教學一次函數(shù)的例題教學 一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方一家電信公司給顧客提供兩種上網(wǎng)收費方式:方式式:方式a以每分以每分0.
26、1元的價格按上網(wǎng)時間元的價格按上網(wǎng)時間計費;方式計費;方式b除收月基費除收月基費20元外,再以每分元外,再以每分0.05元的價格按照上網(wǎng)時間計費。如何選擇元的價格按照上網(wǎng)時間計費。如何選擇收費方式能使上網(wǎng)更合算?收費方式能使上網(wǎng)更合算? 通常的做法:列出函數(shù)解析式,畫出函數(shù)通常的做法:列出函數(shù)解析式,畫出函數(shù)圖像看出相交,再解二元一次方程組得交圖像看出相交,再解二元一次方程組得交點坐標,結合圖像,給出回答;或者引入點坐標,結合圖像,給出回答;或者引入“差額函數(shù)差額函數(shù)”,借助與,借助與x軸的交點作答。軸的交點作答。充分挖掘本題的教學價值充分挖掘本題的教學價值 問題問題1 101 10分兩種方式
27、收費各多少?分兩種方式收費各多少?2020分呢分呢?5050分呢?分呢?引導學生采用多種表征方引導學生采用多種表征方式,用表格法很方便。式,用表格法很方便。時間時間(分)(分)0 0101020203030404050506060方式方式a a0 01.01.02.02.03.03.04.04.05.05.06.06.0方式方式b b20.020.020.520.521.021.021.521.522.022.022.522.523.023.0 問題問題2 為什么可以用射線表示收費情況?為什么可以用射線表示收費情況? 問題問題3 為什么方式為什么方式a的圖像經(jīng)過原點,而方的圖像經(jīng)過原點,而方式
28、式b的圖像經(jīng)過點(的圖像經(jīng)過點(0,20)?)? 問題問題4 如何找到上網(wǎng)如何找到上網(wǎng)a分時的兩種方式各收分時的兩種方式各收費多少?費多少? 問題問題5 計費方式的哪些方面在表格或圖像計費方式的哪些方面在表格或圖像中表現(xiàn)出來了?(兩組數(shù)的差是常數(shù);每中表現(xiàn)出來了?(兩組數(shù)的差是常數(shù);每多上網(wǎng)多上網(wǎng)1分,就要再付分,就要再付0.1元或元或0.05元)。元)。 問題問題6 6 如果你不常上網(wǎng),選哪種方式更合如果你不常上網(wǎng),選哪種方式更合算?如果常上網(wǎng)呢?算?如果常上網(wǎng)呢? 問題問題7 7 如果你想盡量長時間上網(wǎng),但又不如果你想盡量長時間上網(wǎng),但又不想讓費用超過想讓費用超過4040元,該選哪種方式?
29、元,該選哪種方式? 問題問題8 8 如果方式如果方式a a收取基費,或方式收取基費,或方式b b提高提高基費,對圖像有什么影響?(截距問題)基費,對圖像有什么影響?(截距問題) 問題問題9 9 如果方式如果方式a a決定將每分決定將每分0.10.1元提高到元提高到每分每分0.150.15元,它的圖像有什么變化?(斜元,它的圖像有什么變化?(斜率問題)率問題) 問題問題10 10 如果方式如果方式a a改為不足改為不足1 1分按分按1 1分算,分算,請畫出圖像。(階梯形)請畫出圖像。(階梯形) 問題問題11 11 哪種函數(shù)表示法更容易得到收費哪種函數(shù)表示法更容易得到收費相等的時間點?相等的時間點
30、? 問題問題12 12 哪種函數(shù)表示法更容易看出每分哪種函數(shù)表示法更容易看出每分的收費標準?的收費標準? 問題問題13 13 如何從表格中確定收費標準?如何從表格中確定收費標準? 問題問題14 14 如何從圖像上確定收費增加快慢如何從圖像上確定收費增加快慢? 問題問題15 15 如何從圖像上看出用哪種方式更如何從圖像上看出用哪種方式更經(jīng)濟?經(jīng)濟?例例5 5 平行四邊形的判定平行四邊形的判定 核心:判定與性質(zhì)的邏輯關系,以此為載核心:判定與性質(zhì)的邏輯關系,以此為載體,培養(yǎng)合情推理、邏輯推理的能力體,培養(yǎng)合情推理、邏輯推理的能力 教學過程的設計要點:教學過程的設計要點: 復習復習怎樣復習?不只是羅
31、列知識點怎樣復習?不只是羅列知識點 提出判定定理的學習任務,由定義可以判提出判定定理的學習任務,由定義可以判定(講清條件:兩組對邊互相平行),但定(講清條件:兩組對邊互相平行),但條件的表現(xiàn)形式是多樣化的,根據(jù)不同條條件的表現(xiàn)形式是多樣化的,根據(jù)不同條件更靈活地判斷件更靈活地判斷學習判定定理的理由學習判定定理的理由 從操作開始,還是從逆命題開始?從操作開始,還是從逆命題開始? 暫時認同先操作:操作暫時認同先操作:操作猜想猜想“兩組對兩組對邊相等的四邊形為平行四邊形邊相等的四邊形為平行四邊形”證明證明接著干什么?(與性質(zhì)定理比較)接著干什么?(與性質(zhì)定理比較) 后續(xù)的猜想,可以從性質(zhì)出發(fā)。如果還
32、不后續(xù)的猜想,可以從性質(zhì)出發(fā)。如果還不做,則在小結時無論如何要說。做,則在小結時無論如何要說。當前存在的問題當前存在的問題 沒有關注思維的自然,邏輯推理能力的培沒有關注思維的自然,邏輯推理能力的培養(yǎng),停留在養(yǎng),停留在“實驗實驗猜想猜想證明證明應用應用”的模式上。的模式上。 過度依賴實驗,降低了平面幾何的教育價過度依賴實驗,降低了平面幾何的教育價值。值。 該推理時不推理,該證明時不證明該推理時不推理,該證明時不證明從從一般到特殊、逆命題等,都一般到特殊、逆命題等,都“該證明該證明”。例例6 用頻率估計概率用頻率估計概率 如何理解頻率?如何理解頻率?隨機變量,隨試驗結隨機變量,隨試驗結果的改變而改
33、變。果的改變而改變。 概率,隨機的還是確定的?概率,隨機的還是確定的? 事件事件a出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為0,a是不可能事件嗎是不可能事件嗎? 事件事件a出現(xiàn)的概率為出現(xiàn)的概率為1,a是必然事件嗎?是必然事件嗎?如何理解用頻率估計概率的必要性?如何理解用頻率估計概率的必要性? 用拋擲硬幣、擲骰子的例子好不好?用拋擲硬幣、擲骰子的例子好不好? 姚明投籃:在姚明罰球出手的一剎那,畫姚明投籃:在姚明罰球出手的一剎那,畫面停止,問面停止,問“姚明罰進的概率有多大?姚明罰進的概率有多大?” 接著該干什么?接著該干什么?姚明罰球的命中率客姚明罰球的命中率客觀存在,如果知道該值的大小,對對方球觀存在,如果知
34、道該值的大小,對對方球隊決策有幫助。如果該值小,罰球得分的隊決策有幫助。如果該值小,罰球得分的可能性小,可以考慮犯規(guī)后可能性小,可以考慮犯規(guī)后“隨你投隨你投”;否則考慮不犯規(guī)。否則考慮不犯規(guī)。 水到渠成地,提問:水到渠成地,提問:“如何求命中率?如何求命中率?” 現(xiàn)實中,通過統(tǒng)計歷史的罰球記錄來得到現(xiàn)實中,通過統(tǒng)計歷史的罰球記錄來得到罰球的命中率,即用頻率估計概率。罰球的命中率,即用頻率估計概率。 如果知道一個隨機事件發(fā)生的可能性的大如果知道一個隨機事件發(fā)生的可能性的大小小概率,有助于我們做決策,所以要概率,有助于我們做決策,所以要想辦法知道它。概率的統(tǒng)計定義想辦法知道它。概率的統(tǒng)計定義用頻用
35、頻率估計概率率估計概率一種得到概率的方法。一種得到概率的方法。正確理解正確理解“用頻率估計概率用頻率估計概率” 一般地,在大量重復試驗中,如果事件一般地,在大量重復試驗中,如果事件a發(fā)發(fā)生的頻率生的頻率m/n會穩(wěn)定在某個常數(shù)會穩(wěn)定在某個常數(shù)p附近,那附近,那么事件么事件a發(fā)生的概率發(fā)生的概率p(a)=p。只要試驗的次。只要試驗的次數(shù)數(shù)n足夠大,頻率足夠大,頻率m/n就可以作為概率就可以作為概率p的估的估計值。計值。 只有只有大量大量試驗的頻率才能作為概率的估計試驗的頻率才能作為概率的估計嗎?嗎?到底多少次是到底多少次是“足夠大足夠大”? 頻率總可以作為概率的估計,試驗次數(shù)影頻率總可以作為概率的
36、估計,試驗次數(shù)影響的是估計精度。次數(shù)由問題需要而定。響的是估計精度。次數(shù)由問題需要而定。 “用頻率估計概率用頻率估計概率”與與“用頻率的穩(wěn)定值估用頻率的穩(wěn)定值估計概率計概率”等價嗎?等價嗎? “頻率的穩(wěn)定值是概率的估計頻率的穩(wěn)定值是概率的估計”對嗎?對嗎? 正確理解:頻率的穩(wěn)定值就是概率。正確理解:頻率的穩(wěn)定值就是概率。 注意:僅從試驗無法知道頻率的穩(wěn)定值是注意:僅從試驗無法知道頻率的穩(wěn)定值是多少。多少。 下表是課堂實時收集的拋硬幣試驗數(shù)據(jù),下表是課堂實時收集的拋硬幣試驗數(shù)據(jù),由此能說由此能說“穩(wěn)定值是穩(wěn)定值是0.5而不是而不是0.52”嗎?嗎?次數(shù)次數(shù)n n50501001001501502
37、00200250250300300350350頻數(shù)頻數(shù)m m242454548585109109125125157157182182頻率頻率0.4800.480 0.5400.540 0.5670.567 0.5450.545 0.5000.500 0.5230.523 0.5200.520 “頻率不準確頻率不準確”,“試驗次數(shù)少,所以頻率試驗次數(shù)少,所以頻率不準確不準確”,“隨著試驗次數(shù)的增加,頻率隨著試驗次數(shù)的增加,頻率會越來越接近概率會越來越接近概率”,這些說法對嗎?,這些說法對嗎? 頻率沒有準確性標準,隨試驗結果而定;頻率沒有準確性標準,隨試驗結果而定; 試驗次數(shù)影響的是概率估計的精度
38、;試驗次數(shù)影響的是概率估計的精度; 試驗次數(shù)增加并不能絕對保證頻率越來越試驗次數(shù)增加并不能絕對保證頻率越來越接近概率接近概率否則就不是隨機變量了。否則就不是隨機變量了。 試驗次數(shù)多少次比較合適?一般而言,次試驗次數(shù)多少次比較合適?一般而言,次數(shù)越多越好,現(xiàn)實中要考慮成本、可能性數(shù)越多越好,現(xiàn)實中要考慮成本、可能性等因素。統(tǒng)計中可以根據(jù)精度要求計算。等因素。統(tǒng)計中可以根據(jù)精度要求計算。用頻率的平均值估計概率一定更好嗎?用頻率的平均值估計概率一定更好嗎? 事件事件a發(fā)生的發(fā)生的頻數(shù)表頻數(shù)表 統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)統(tǒng)計是研究如何合理收集、整理、分析數(shù)據(jù)的學科,它可以為人們制定決策提供依
39、據(jù)的學科,它可以為人們制定決策提供依據(jù)。概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科,它據(jù)。概率是研究隨機現(xiàn)象規(guī)律的學科,它為人們認識客觀世界提供了重要的思維模為人們認識客觀世界提供了重要的思維模式和解決問題的方法,同時為統(tǒng)計學的發(fā)式和解決問題的方法,同時為統(tǒng)計學的發(fā)展提供了理論基礎。展提供了理論基礎。 統(tǒng)計的基本思想是統(tǒng)計的基本思想是“用樣本估計總體用樣本估計總體”,是歸納的思想。是歸納的思想。 讓學生經(jīng)歷歸納的過程讓學生經(jīng)歷歸納的過程確定總體、收確定總體、收集樣本數(shù)據(jù)開始集樣本數(shù)據(jù)開始是統(tǒng)計教學的必由之是統(tǒng)計教學的必由之路。路。敬請批評指正敬請批評指正謝謝謝謝fnbk8g5d2a-x*u$qznvkshp
40、dmaj7f4c0z)w&s!pymujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)v&s!pxmujrfock9h6e2b+y(u%rzowlthqenbj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzowkthqembj8g4d1z-w*t!qynvjsgodlai6f3c0y)v%s#pxluirfnck8h5e2a+x(u$rznwkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodl9i6f3b0y)v%s#o
41、xluiqfnck8h5d2a+x*u$rznwkshpemaj7g4c1z)w&t!pymvjrgocl9i6e3b0y(v%r#oxltiqfnbk8h5d2a-x*u$qznwkshpdmaj7f4c1z)w&s!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w*t$qynvksgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-
42、w*t!qynvjsgpdlai6f3c0y)v&s#pxluirfnck9h5e2a+x(u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodl9i6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e2a+x*u$rznwkthpemaj7g4c1z-w&t!pymvjrgodl9i6e3b0y(v%s#oxltiqfnbk8h5d2a-x*u$qznwkshpemaj7f4c1z)w&t!pymujrgocl9i6e3b+y(v%r#oxltiqenbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfo
43、cl9h6e2b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuirfock9h6e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t!qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfnck9h5e2b+x(u$rzowkthqembj7g4d1z-w*t!qymvjsgodlai6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e2a+x(u$rznwkthpembj7g4c1z-w&t!qymvjrgodl9i6f3b0y(v%s#oxluiqfnbk8h5d2a+x*u$qznwksh
44、pemaj7f4c1z)w&t!pymujrgocl9i6e3b0y(v%r#oxltiqfnbk8g5d2a-x*u$qznvkshpdmaj7f4c0z)w&s!pymujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)v&s!pxmujrfock9h6e2b+y(u%rzowlthqenbj8g4d1a-w*t$qynfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)v&s!pxmujrfock9h6e2b+y(u%rzowl
45、thqenbj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzowkthqembj8g4d1z-w*t!qynvjsgodlai6f3c0y)v%s#pxluirfnck8h5e2a+x(u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodl9i6f3b0y)v%s#oxluiqfnck8h5d2a+x*u$rznwkshpemaj7g4c1z)w&t!pymvjrgocl9i6e3b0y(v%s#oxltiqfnbk8h5d2a-x*u$qznwkshpdmaj7f4c1z)w&
46、s!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w*t$qynvksgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h6e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t!qynvjsgpdlai6f3c0y)v&s#pxluirfnck9h5e2a+x(u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodlai6f3b0y)v%s#pxluiqfnck8h5e
47、2a+x*u$rznwkthpemaj7g4c1z-w&t!pymvjrgodl9i6e3b0y(v%s#oxltiqfnbk8h5d2a+x*u$qznwkshpemaj7f4c1z)w&t!pymujrgocl9i6e3b+y(v%r#oxltiqenbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e3b+y(u%r#owltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuirfock9h6e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t$qynvjsgpd
48、lai7f3c0y)v&s#ltiqenbj8g5d1a-x*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuirfock9h6e2b+x(u%rzowlthqenbj8g4d1a-w*t$qynvjsgpdlai7f3c0y)v&s#pxmuirfnck9h5e2b+x(u$rzowkthqembj7g4d1z-w*t!qymvjsgodlai6f3c0y)v%s#pxluirfnck8h5e2a+x(u$rznwkthpembj7g4c1z-w&t!qymvjrgodl9i6f3b0y(v%s#oxluiqfnbk8h5d2a+x*u$rznwks
49、hpemaj7g4c1z)w&t!pymvjrgocl9i6e3b0y(v%r#oxltiqfnbk8g5d2a-x*u$qznvkshpdmaj7f4c0z)w&s!pymujrfocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d1a-x*t$qznvksgpdmai7f4c0z)v&s!pxmujrfock9h6e2b+y(u%rzowlthqenbj8g4d1a-w*t$qynvksgpdlai7f3c0z)v&s#pxmuirfock9h5e2b+x(u%rzowkthqembj8g4d1z-w*t!qynvjsgodlai6f3c0y)v%s
50、#pxluirfnck9h5e2a+x(u$rzowkthpembj7g4d1z-w&t!qymvjsgodl9i6f3b0y)v%s#oxluiqfnck8h5d2a+x*u$rznwkshpemaj7g4c1z)w&t!pymvjrgodl9i6e3b0y(v%s#oxltiqfnbk8h5d2a-x*u$qznwkshpdmaj7f4c1z)w&s!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#owltiqenbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w!pymujrgocl9h6e3b+y(v%r#oxltiqenbk8g5d2a-x*t$qznvkshpdmai7f4c0z)w&s!pxmujrfocl9h6e2b+y(u%r#owlthqenbj8g5d1a-w*t$qynvksgpdmai7f3c0z)v&s!pxmuirfock9h6e2b+x(u%rzowlthqembj8g4d1a-w*t!qynvjsgpdlai6f3c0y)v&s#pxluirfnck9h5e2b+x(u$rzowkthqembj7g4d1z-w
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