第五章第2節(jié)微積分基本公式

1、1微積分基本公式第二節(jié)一、問題的提出二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)三、牛頓萊布尼茨公式四、小結2變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中位置函數(shù)與速度函數(shù)的聯(lián)系變速直線運動中路程為變速直線運動中路程為 21)(ttdttv另一方面這段路程可表示為另一方面這段路程可表示為)()(12tsts 一、問題的提出).()()(1221tstsdttvtt ).()(tvts 其中其中3 xadxxf)(考察定積分考察定積分 xadttf)(記記.)()( xadttfx積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) 如如果果上上限限x在在區(qū)區(qū)間間,ba上上任任意意變變動動，則則對對于于每每一一個個取取定定的的x值值，

2、定定積積分分有有一一個個對對應應值值，所所以以它它在在,ba上上定定義義了了一一個個函函數(shù)數(shù)，二、積分上限函數(shù)及其導數(shù)4abxyo定定理理 如如果果)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則積積分分上上限限的的函函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(在在,ba上上具具有有導導數(shù)數(shù)，且且它它的的導導數(shù)數(shù)是是)()()(xfdttfdxdxxa )(bxa 1、積分上限函數(shù)的性質(zhì)、積分上限函數(shù)的性質(zhì)xx 證證dttfxxxxa )()()()(xxx dttfdttfxaxxa )()()(x x5 dttfdttfdttfxaxxxxa )()()(,)( xxxdttf由積分中值定理得由積分中值定理得xf

3、)( ,xxx xx , 0),( fx )(limlim00 fxxx ).()(xfx abxyoxx )( x x6、變限積分求導公式、變限積分求導公式2)()()(xfdttfxa1)()()()()(xuxufdttfxua2)()()()()(xvxvfdttfbxv3)()()()()()()()(xvxvfxuxufdttfxuxv4）證明（證明（2)()()()(dttfdxddttfxuaxuadxxdudttfxdudxua)()()()()()(xuxuf7)(,sin)(xfdttxfx求求例例15321解：解：)()sin()(11232xxxf112232xxx)

4、sin(2例例)(,)(sinarctanxfdttxfxx求求1522)(cossinsin)(210111212xxxxxf25112xx)(arctan8例例3 3 求求.lim21cos02xdtextx 解解 1cos2xtdtedxd,cos12 xtdtedxd)(cos2cos xex,sin2cos xex 21cos02limxdtextx xexxx2sinlim2cos0 .21e 00分析：分析：這是這是 型不定式，應用洛必達法則型不定式，應用洛必達法則.9例例 4 4 設設)(xf在在),(內(nèi)連續(xù)，且內(nèi)連續(xù)，且0)( xf.證證明函數(shù)明函數(shù) xxdttfdtttfx

5、f00)()()(在在), 0( 內(nèi)為單調(diào)增加內(nèi)為單調(diào)增加函數(shù)函數(shù). 證證 xdtttfdxd0)(),(xxf xdttfdxd0)(),(xf 2000)()()()()()( xxxdttfdtttfxfdttfxxfxf10 ,)()()()()(200 xxdttfdttftxxfxf)0(, 0)( xxf, 0)(0 xdttf, 0)()( tftx, 0)()(0 xdttftx).0(0)( xxf故故)(xf在在), 0( 內(nèi)內(nèi)為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù).11例例 5 5 設設)(xf在在1 , 0上上連連續(xù)續(xù)，且且1)( xf.證證明明 1)(20 dttfxx在在1

6、 , 0上上只只有有一一個個解解. 證證, 1)(2)(0 dttfxxfx, 0)(2)( xfxf, 1)( xf)(xf在在1 , 0上上為為單單調(diào)調(diào)增增加加函函數(shù)數(shù)., 01)0( f 10)(1)1(dttff 10)(1dttf, 0 所以所以0)( xf即原方程在即原方程在1 , 0上只有一個解上只有一個解.令令12定理定理2 2（原函數(shù)存在定理）（原函數(shù)存在定理） 如果如果)(xf在在,ba上連續(xù)，則積分上限的函上連續(xù)，則積分上限的函數(shù)數(shù)dttfxxa )()(就是就是)(xf在在,ba上的一個上的一個原函數(shù)原函數(shù). .定理的重要意義：定理的重要意義：（1）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函

7、數(shù)是存在的）肯定了連續(xù)函數(shù)的原函數(shù)是存在的.（2）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之）初步揭示了積分學中的定積分與原函數(shù)之間的聯(lián)系間的聯(lián)系.13定理定理 3 3（微積分基本公式）（微積分基本公式）如如果果)(xf是是連連續(xù)續(xù)函函數(shù)數(shù))(xf在在區(qū)區(qū)間間,ba上上的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)，則則)()()(afbfdxxfba . .又又 dttfxxa )()(也也是是)(xf的的一一個個原原函函數(shù)數(shù), 已知已知)(xf是是)(xf的一個原函數(shù)，的一個原函數(shù)，cxxf )()(,bax 證證三、牛頓萊布尼茨公式14令令ax ,)()(caaf 0)()( dttfaaa,)(caf ),()(

8、)(afxfdttfxa ,)()(cdttfxfxa 令令 bx).()()(afbfdxxfba 牛頓牛頓萊布尼茨公式萊布尼茨公式15)()()(afbfdxxfba 微積分基本公式表明：微積分基本公式表明： baxf)( 一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間一個連續(xù)函數(shù)在區(qū)間,ba上的定積分等于上的定積分等于它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間它的任意一個原函數(shù)在區(qū)間,ba上的增量上的增量.注意注意當當ba 時，時，)()()(afbfdxxfba 仍成立仍成立.求定積分問題轉化為求原函數(shù)的問題求定積分問題轉化為求原函數(shù)的問題.166例例dxx10210331x317例例dxx3121131xarctan)arcta

9、n(arctan13)(43 12717例例8 8 求求 .)1sincos2(20 dxxx原式原式 20cossin2 xxx .23 例例9 9 設設 , 求求 . 215102)(xxxxf 20)(dxxf解解解解 102120)()()(dxxfdxxfdxxf在在2 , 1上上規(guī)規(guī)定定當當1 x時時，5)( xf, 102152dxxdx原式原式. 6 xyo1218例例10 10 求求 .,max222 dxxx解解由圖形可知由圖形可知,max)(2xxxf ,21100222 xxxxxx 21210022dxxxdxdxx原式原式.211 xyo2xy xy 122 19例

10、例11 11 求求 解解.112dxx 當當0 x時時，x1的的一一個個原原函函數(shù)數(shù)是是|ln x,dxx 121 12|ln x. 2ln2ln1ln 12例例dxx201dxxdxx211011dxx101)(dxx211)(212102121121)()(xx12013例例dxx 01 sindxxx 0222)cos(sindxxx 022cossindxxx2022 )sin(cosdxxx 222)cos(sin)(1242114例例dxxx 03sinsindxxx 021)sin(sindxxx2021cossin dxxxcossin 021dxxxxdxx)cos(sinc

11、ossin2212021343232)(2215例例dxxxnn101limdxxdxxxnn10101001110 nnnndxxxlimlim解：解：10 )(nnxnn011111010110dxxxnnlim233.微積分基本公式微積分基本公式1.積分上限函數(shù)積分上限函數(shù) xadttfx)()(2.積分上限函數(shù)的導數(shù)積分上限函數(shù)的導數(shù))()(xfx )()()(afbfdxxfba 四、小結牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學與積分學之間的關系之間的關系2424325p習題1110912119753165432,),)()()()()(,25思考題思考題 設

12、設)(xf在在,ba上上連連續(xù)續(xù)，則則dttfxa )(與與duufbx )(是是x的的函函數(shù)數(shù)還還是是t與與u的的函函數(shù)數(shù)？它它們們的的導導數(shù)數(shù)存存在在嗎嗎？如如存存在在等等于于什什么么？26思考題解答思考題解答dttfxa )(與與duufbx )(都都是是x的的函函數(shù)數(shù))()(xfdttfdxdxa )()(xfduufdxdbx 27一一、 填填空空題題：1 1、 baxdxedxd22= =_ _ _ _ _ _ _ _ . .2 2、 xadxxfdxd)(_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ . .3 3、 223)1ln(xdtttdxd_ _ _ _ _ _ _ _ .

13、 .4 4、 20)(dxxf_ _ _ _ _，其其中中 21,210,)(2xxxxxf . .5 5、設、設 ,coscos1nxdxmxi dxnxmx sinsin，練練 習習 題題28（1 1） 、當） 、當nm 時，時， 1i= =_ , ,2i= =_ _ ，（2 2） 、當） 、當nm 時，時，1i= =_ ,_ ,2i= =_ . . 6 6、設、設,sincos nxdxmx（1 1） 、當） 、當nm 時，時，3i= =_ _ , ,（2 2） 、當） 、當nm 時，時，3i= =_ . . 7 7、 94)1(dxxx_ . . 8 8、 33121xdx_ . .

14、9 9、 xdttxx020coslim_ . .29二、二、 求導數(shù)：求導數(shù)：1 1、 設函數(shù)設函數(shù))(xyy 由方程由方程0cos00 xyttdtdte所確所確定，求定，求dxdy ；2 2、 設設 12122,ln,lnttuduuyuduux)1( t, ,求求22dxyd ；3 3、 xxdttdxdcossin2)cos( ；4 4、設、設 2031)(xxdxxg，求，求)1(g . . 30三、三、 計算下列各定積分：計算下列各定積分：1 1、 2122)1(dxxx; 2; 2、 212121xdx; ;3 3、 012241133dxxxx; 4; 4、 20sindxx

15、 . .四、四、 求下列極限：求下列極限：1、 xtxtxdtedte022022)(lim; 2、2502021)cos1(limxdttxx .31五、五、 設設)(xf為連續(xù)函數(shù)，證明為連續(xù)函數(shù)，證明: : xxtdtduufdttxtf000)()( . .六、六、 求函數(shù)求函數(shù) xdttttxf02113)(在區(qū)間在區(qū)間 1,0上的最上的最大值與最小值大值與最小值 . .七、七、 設設 時，時，或或，當，當時，時，當當 xxxxxf000,sin21)( 求求 xdttfx0)()（ 在在),( 內(nèi)的表達式內(nèi)的表達式 . .32八、八、 設設 baxf,)(在在上連續(xù)且上連續(xù)且,0)( xf xaxbtfdtdttfxf)()()( , ,證明：證明： （1 1） 、） 、2)( xf ; ; （2 2） 、方程） 、方程0)( xf在在),(ba內(nèi)有且僅有一個根內(nèi)有且僅有一個根 . .33一、一、1 1、0 0； 2 2、)()(afxf ； 3 3、)1ln(23 xx ； 4 4、65； 5