勾股定理知識(shí)點(diǎn)及復(fù)習(xí)題

1、勾股定理的復(fù)習(xí)、勾股定理的內(nèi)容1、內(nèi)容：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方；2、 表示方法：如果直角三角形的兩直角邊分別為a， b，斜邊為c，那么a2亠b2 =c23、證明：勾股定理的證明方法很多，常見的是用拼圖的方法驗(yàn)證勾股定理思路：圖形進(jìn)過割補(bǔ)拼接后，只要沒有重疊，沒有空隙，面積不會(huì)改變根據(jù)同一種圖形的面積不同的表示方法，列出等式推導(dǎo)出勾股定理4 1 ab (b -a)2 =c2，化簡可證： a? - b =c22方法二：四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和等于大正方形的面積.四個(gè)直角三角形的面積與小正方形面積的和為S = 4 - ab c 2ab c22大正方形面積為 S =(a

2、 - b)2 =a2 2ab - b2化簡可證方法三：S弟形=-(a b) (a b)2S弟形11=2Sade Sabe =2 ab c2，化簡得證223 .勾股定理的適用范圍勾股定理揭示了直角三角形三條邊之間所適用于直角三角形，對(duì)于銳角三角形和鈍角 這一特征，因而在應(yīng)用勾股定理時(shí)，必須明ab存在的數(shù)量關(guān)系，它只 三角形的三邊就不具有 了所考察的對(duì)象是直角三角形4 .勾股定理的應(yīng)用 已知直角三角形的任意兩邊長，求第三邊。在AABC中, /C =90，貝V c = . a2 b2 , b = ,c2 a2 , a = .c2 -b2知道直角三角形一邊，可得另外兩邊之間的數(shù)量關(guān)系可運(yùn)用勾股定理解決

3、一些實(shí)際問題(注：在使用勾股定理時(shí)，必須把握直角三角形的前提條件，了解直角三角形中，斜 邊和直角邊各是什么，以便運(yùn)用勾股定理進(jìn)行計(jì)算，應(yīng)設(shè)法添加輔助線(通常作垂線)， 構(gòu)造直角三角形，以便正確使用勾股定理進(jìn)行求解.)5、在數(shù)軸上作出表示、n (n為正整數(shù))的點(diǎn).易錯(cuò)點(diǎn)：(1)已知直角三角形中兩邊長，求第三邊長，要弄清哪條邊是斜邊，哪條邊 是直角邊，不能確定時(shí)，要分類討論.(2)另外不論是否是直角三角形就用勾股定理； 使用勾股定理的前提是直角三角形；(2)在求解問題的過程中，常列方程或方程組來 求解；（二）、例題解析考點(diǎn)一：已知兩邊求第三邊例1 .在 ABC 中，.C =90 .已知 AC =6

4、， BC =8 .求AB的長已知AB =17, AC =15，求BC的長例4:在Rt ABC中, a , b, c分別是三條邊, 求邊長c.Z B=90°剖析：由于審題不仔細(xì)，容易忽視了/B=90°錯(cuò)把c當(dāng)成了斜邊.溫馨提示：運(yùn)用勾股定理時(shí)，一定分清斜邊和直角邊，不能機(jī)械套用c2=a2+b2例2.如圖，由Rt ABQ的三邊向外作正方形，若最大正方形的邊長為8cm,則正方形M與正方形N的面積之和為 cm2例3.若一個(gè)直角三角形的三邊分別為a、b、c, a2 =144,b2 =25,則 c2 二例5:已知一個(gè)Rt ABC的兩邊長分別為3和4,則第三邊長的平方是 剖析：此題并沒有

5、告訴我們已知的邊長4一定是直角邊，而4有可能是斜邊，因此要分類討論.溫馨提示：在用勾股定理時(shí)，當(dāng)斜邊沒有確定時(shí)，應(yīng)進(jìn)行分類討論.例6：已知a,b,c為/ ABC三邊，a=6, b=8, b<c，且c為整數(shù)，則c= 剖析：此題并沒有告訴你/ ABC為直角三角形，因此不能亂用勾股定理.正解：由b<c，結(jié)合三角形三邊關(guān)系得 8vcv6+8，即8vcv14，又因c為整數(shù)，故c邊 長為 9、10、11、12、13.溫馨提示：只有在直角三角形中，才能用勾股定理，因此解題時(shí)一定注意已知條件中 是否為直角三角形.例2.已知兩線段的長為6cm和8cm當(dāng)?shù)谌龡l線段取 時(shí)，這三條線段能組成一個(gè)直角三角形

6、。（提示：所給的兩條變長不一定都為直角邊。）例4、已知，如圖在 A ABC中，AB=BC=CA=2cmAD是邊BC上的高.求 AD的長.例5、兩只小鼴鼠在地下打洞，一只朝前方挖，每分鐘挖8cm,另一只朝左挖，每分鐘挖6cm 10分鐘之后兩只小鼴鼠相距 例6、小明想知道學(xué)校旗桿的高， 他發(fā)現(xiàn)旗桿上的繩子垂到地面還多 1m,當(dāng)它把繩子的下端拉開5m后，發(fā)現(xiàn)下端剛好接觸地面，則旗桿的高為 例7、在數(shù)軸上作出表示.10的點(diǎn).練習(xí)：1、在直角三角形中,若兩直角邊的長分別為1cm, 2cm，則斜邊長為2、直角三角形中，以直角邊為邊長的兩個(gè)正方形的面積為7cm2，8cm2，則以斜邊為邊長的正方形的面積為cm

7、2 .3、如右圖所示的圖形中，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為5,則正方形A, B, C, D的面積的和為。54、有一個(gè)小朋友拿著一根竹竿要通過一個(gè)長方形的門，如果把竹竿豎放就比門高出1尺，斜放就恰好等于門的對(duì)角線長，已知門寬4尺求竹竿高與門高.圖35、如圖3,臺(tái)風(fēng)過后，一希望小學(xué)的旗桿在離地某處斷裂, 旗桿頂部落在離旗桿底部 8m處，已知旗桿原長16m 你能求出旗桿在離底部什么位置斷裂的嗎？6、已知，在正三角形 ABC中, AB=BC=CA=4cmAD是邊BC上的高.求 AD的長7、在數(shù)軸上作出表示17的點(diǎn).考點(diǎn)三：與高、面積有關(guān)例2 .在 ABC

8、 中，.ACB =90 , AB =5 cm , BC=3cm , CD _ AB 于 D , CD =已知直角三角形的兩直角邊長之比為3:4，斜邊長為15，則這個(gè)三角形的面積為 _已知直角三角形的周長為 30 cm，斜邊長為13 cm，則這個(gè)三角形的面積為 分析：在解直角三角形時(shí)，要想到勾股定理，及兩直角邊的乘積等于斜邊與斜邊上高 的乘積.有時(shí)可根據(jù)勾股定理列方程求解解： ACAB2 - BC2 =4 , CD =AC BC =2.4ABA設(shè)兩直角邊的長分別為2 2 23k , 4k.(3k)(4k) =15 , k =3, S =54設(shè)兩直角邊分別為 a , b，則a b =17 , a2

9、 b2 =289 ,1可得 ab =60 S ab =30 cm22例2.等腰三角形的底邊為10cm,周長為36cm則它的面積是 cm25 等邊 ABC勺高為3cm,以AB為邊的正方形面積為.例1.正方形的面積是2,它的對(duì)角線長為（）6一個(gè)三角形的三邊的比為 5 ： 12 ： 13，它的周長為60cm則它的面積是練習(xí)：例1:如果一個(gè)直角三角形的兩條邊長分別是6cm和8cm,那么這個(gè)三角形的周長直角三角形斜邊上的高是和面積分別是多少？4. 等腰 ABC勺面積為12cmi,底上的高AD= 3cm則它的周長為/13、如圖：帶陰影部分的半圓的面積是 （二取3）。.例3 已知：等腰三角形中，一邊長是 6

10、cm，另一邊是8cm，求一腰上的高. 剖析對(duì)于已知等腰三角形的兩邊應(yīng)分類討論，漏解的原因可能是只對(duì)圖 3或圖6 4中的一種情況計(jì)算，而忽視了兩種情況都要計(jì)算A圖3正確解答分兩種情況討論：若以3，在2 2 2 2 2Rt ABD和Rt BCD中，分別由勾股定理，得 BD二AB -AD二BC -CD ,即 AB2 -AD2 二 BC2 -(AC -AD)2，所以 82 - AD2 = 62 -(8 - AD)2即AD234所以BD = Jab2 -AD2 =82竺)Y 14丿3 .=;若以8cm為底，6cm為腰，則4如圖 4，在Rt ABD和Rt BCD 中，分別由勾股定理，得BD2 二 AB2A

11、D2 二 BC2CD2 ,即 AB2AD2=BC ? (AC - AD),所以62 -AD2=82 -(6 AD)2，即 AD ，所以 BD 二.AB2 - AD2363285圖1D已知：在厶 ABC中, AB = 15 cm, AC =13 cm,剖析視如圖2的情況.由于給定的條件中并沒有給出圖形， 所以求解時(shí)只考慮如圖1情況，而忽正確解答 分兩種情況：如圖 1,在Rt ADB和Rt ADC中，分別由勾股定理，得 BD = AB2 - AD2 = .152 -122 = .81 = 9 ； CD= . AC2 - AD2 =.132 -122 = . 25 = 5.所以 BC =BD CD

12、=9 5=14 .故 Sa abcJbcLaDu1 14 12=84(cm2);如圖 2,在 Rt ABD 和 Rt ACD中,2 2分別由勾股定理，得 BD 二 AB2 - AD2 = . 152 -122 = 89 ;CD 二.AC2 -AD2 = 132 -122 = .25 =5.所以 BC = BD - CD =9-5 =4 .故 Sa abcHBcLjADh1 4 12=24(cm2)2 2考點(diǎn)二、利用列方程求線段的長5如圖，鐵路上 A, B兩點(diǎn)相距25km, C, D為兩村莊，DALAB于A, CBLAB于B,已知DA=15km CB=10km現(xiàn)在要在鐵路 AB上建一個(gè)土特產(chǎn)品收

13、購站E,使得C, D兩村到E站的距離相等，則 E站應(yīng)建在離A站多少km處？AE例 3 .如圖 ABC 中，.C =90 , . 1 =/2 , CD =1.5 , BD =2.5，求 AC 的長例5.如圖有兩棵樹，一棵高8 cm，另一棵高2 cm，兩樹相距8 cm，一只小鳥從一棵 樹的樹梢飛到另一棵數(shù)的樹梢，至少飛了 mADC分析：根據(jù)題意建立數(shù)學(xué)模型，如圖AB =8 m，CD =2 m , BC =8 m ,過點(diǎn)D作DE _ AB，垂足為 E ,貝V AE =6 m，DE =8 m在Rt ADE中，由勾股定理得 AD = .AE2，DE2 =10 6如圖，某學(xué)校（A點(diǎn)）與公路（直線L）的距離

14、為300米,又與公路車站（D點(diǎn)）的距離為500米，現(xiàn)要在公路上建一個(gè)小商店（C點(diǎn)），使之與 該校A及車站D的距離相等，求商店與車站之間的距離.例7:如圖，有一個(gè)直角三角形紙片，兩直角邊AC=6cm BC=8cm現(xiàn)將直角邊 AC沿直線AD折疊，使它落在斜邊重合，你能求出CD的長嗎？析解：因兩直角邊 AC=6crp BC=8cim所以由勾股定理求得 AB=10 cm,設(shè)CD=x由題 意知?jiǎng)t DE=x AE=AC=6BE=10-6=4, BD=8-x.在 Rt BDE由勾股定理得：42+x2=(8-x)2 , 解得x=3,故CD的長能求出且為3.例4.如圖Rt.SBC，三C =90 AC =3,BC

15、 =4,分別以各邊為直徑作半圓，求陰影部分面積類型二 構(gòu)造Rt，求線段的長例2 如圖，將一個(gè)邊長分別為 4、8的長方形紙片ABC折疊，使C點(diǎn)與A點(diǎn)重合, 求EB的長.例3.如圖，P為邊長為2的正方形ABCD寸角線AC上一動(dòng)點(diǎn)，E為AD邊中點(diǎn)，求ERDP 的最小值。例4、如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長、寬和高分別為20dm 3dm 2dm, A和B是這個(gè)臺(tái)階兩個(gè)相對(duì)的端點(diǎn)， A點(diǎn)有一只螞蟻，想到 B點(diǎn)去吃可口的食物，則螞蟻沿著臺(tái)階面爬到 B點(diǎn)最短路程是 dm三、展示應(yīng)用2、如圖，一圓柱高8cm，底面半徑2cm，一只螞蟻從點(diǎn)A爬到點(diǎn)B處吃食，要爬行的最短路程是cmA丿B12、. 一種盛飲料的圓

16、柱形杯，測(cè)得內(nèi)部底面半徑為2.5 cm,高為12 cm，吸管放進(jìn)杯里，杯口外面至少要露出4.6 cm，問吸管要做多長?5. 一只螞蟻從長、寬都是3，高是8的長方體紙箱的A點(diǎn)沿紙箱爬到B點(diǎn)，那么它所爬行的最短路線的長是 7.如圖：在一個(gè)高6米，長10米的樓梯表面鋪地毯,則該地毯的長度至少是 米。2、如圖，一只螞蟻從實(shí)心長方體的頂點(diǎn)A出發(fā)，沿長方體的表面爬到對(duì)角頂點(diǎn)C1處（三條棱長如圖所示），問怎樣走路線最短？最短路線長為多少？A4B11、如圖一個(gè)圓柱，底圓周長 6cm高4cm, 只螞蟻沿外 壁爬行，要從A點(diǎn)爬到B點(diǎn)，則最少要爬行cm 3、將一根24cm的筷子，置于底面直徑為 15cm,高8cm的

17、圓柱形水杯中，如右圖所示，設(shè)筷子露在杯子外面的長度hem,則h的取值范圍是（）A、h< 17cm B 、h>8cm C 、15cm< h< 16cmD 、7cm< h< 16cm二、勾股定理的逆定理（一）知識(shí)要點(diǎn)：1、勾股定理的逆定理勾股定理的逆定理：如果三角形的三邊長a、b、c滿足a2 bc2，那么這個(gè)三角形是直角三角形。判斷步驟：（1）比較a、b、c大小，找最長邊；（2 ）計(jì)算兩條短邊的平方和，看是否 與最長邊的平方相等。注：這一命題是勾股定理的逆定理它可以幫助我們判斷三角形的形狀 為根據(jù)邊的關(guān) 系解決角的有關(guān)問題提供了新的方法 定理的證明采用了構(gòu)造法利

18、用已知三角形的 邊a,b,c(a 2+b2=c2)，先構(gòu)造一個(gè)直角邊為 a,b的直角三角形，由勾股定理證明第三邊 為c,進(jìn)而通過“ SSS證明兩個(gè)三角形全等，證明定理成立 .應(yīng)用：勾股定理的逆定理是判定一個(gè)三角形是否是直角三角形的一種重要方法，它通過“數(shù)轉(zhuǎn)化為形”來確定三角形的可能形狀，在運(yùn)用這一定理時(shí)，可用兩小邊的平方和a2 b2與較長邊的平方c2作比較，若它們相等時(shí)，以 a，b，c為三邊的三角形是直角三角形；若a2 b2 : c2，時(shí)，以a，b，c為三邊的三角形是鈍角三角形；若a2 b2 c2，時(shí)，以a，b， c為三邊的三角形是銳角三角形； 定理中a，b，c及a2 b2 =c2只是一種表現(xiàn)

19、形式，不可認(rèn)為是唯一的，如若三角形三邊長a， b， c滿足a2 c2 =b2，那么以a， b， c為三邊的三角形是直角三角形，但是b為斜邊 勾股定理的逆定理在用問題描述時(shí)，不能說成：當(dāng)斜邊的平方等于兩條直角邊的平方和時(shí)，這個(gè)三角形是直角三角形2、勾股數(shù) 能夠構(gòu)成直角三角形的三邊長的三個(gè)正整數(shù)稱為勾股數(shù)，即a2 bc2中，a，b，c為正整數(shù)時(shí)，稱a， b， c為一組勾股數(shù) 記住常見的勾股數(shù)可以提高解題速度，如3,4,5 ； 6,8,10 ； 5,12,13; 8、15、17； 7,24,25 ；9， 40， 41 等知識(shí)點(diǎn)三、應(yīng)用勾股定理逆定理，判定一個(gè)三角形是否是直角三角形例6.已知三角形的三

20、邊長為 a，b，c，判定 ABC是否為Rt. ： a =1,5， b=2 ， c=2.5 a=5， b=1 ， c =43解：a2 b2 =1.52 22 =6.25，c2 =2.52 =6.25.ABC是直角三角形且.C =90 kb2c2=1，a2二25，b2c-a=ABC不是直角三角形916例1.木工師傅要做一個(gè)長方形桌面，做好后量得長為80cm寬為60cm,對(duì)角線為100cm,則這個(gè)桌面 。(填“合格”或“不合格”)例2試判斷：三邊長分別是ab2 ,a2 b2,2ab(a b)的三角形是不是直角三角形？ 例7.三邊長為a , b , c滿足a b =10 , ab =18 , c =8

21、的三角形是什么形狀? 解：此三角形是直角三角形理由：Ta2 b2 =(a b)2 _2ab =64，且 c2 =64.a2 bc2所以此三角形是直角三角形3、如圖，在我國沿海有一艘不明國籍的輪船進(jìn)入我國海域，我海軍甲、乙兩艘巡邏艇立即從相距13海里的A、B兩個(gè)基地前去攔截，六分鐘后同時(shí)到達(dá) C地將其攔截.已 知甲巡邏艇每小時(shí)航行 120海里，乙巡邏艇每小時(shí)航行 50海里，航向?yàn)楸逼?0°, 則甲巡邏艇的航向?yàn)楸逼珫| 50度.CA解： AC=12"云=12 海里，BC=5(X 兀=5 海里 / aC+bC=aB ABC是直角三角形vZ CBA=50/Z CAB=40甲的航向?yàn)楸逼珫| 50°.題型五：勾股定理與勾股定理的逆定理綜合應(yīng)用例8.已知 ABC中，AB=13cm , BC =10 cm , BC邊上的中線 AD=12cm，求證: AB =AC證明：7 AD 為中線，.BD=DC=5cm在 ABD 中，；AD2 BD2 =169 , AB2 =169 . AD2 BD2 =AB2 ,2 2 2.ADB =90 , AC =ADDC =169 , AC =