高中數(shù)學(xué)第三章導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用3.1變化率與導(dǎo)數(shù)3.1.1變化率問(wèn)題3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)案新人教A版選修1109122107

1、起3.1.1變化率問(wèn)題3.1.2導(dǎo)數(shù)的概念學(xué)習(xí)目標(biāo)：1.會(huì)求函數(shù)在某一點(diǎn)附近的平均變化率.2.會(huì)利用導(dǎo)數(shù)的定義求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(重點(diǎn)難點(diǎn))3.了解平均變化率與瞬時(shí)變化率的關(guān)系(易混點(diǎn))自 主 預(yù) 習(xí)·探 新 知1函數(shù)的平均變化率(1)定義式：.(2)實(shí)質(zhì)：函數(shù)值的改變量與自變量的改變量之比(3)作用：刻畫函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化的快慢(4)幾何意義：已知p1(x1，f(x1)，p2(x2，f(x2)是函數(shù)yf(x)的圖象上兩點(diǎn)，則平均變化率表示割線p1p2的斜率思考：x，y的取值一定是正數(shù)嗎？提示x0，yp.2函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率(1)定義式： .(2)實(shí)質(zhì)：

2、瞬時(shí)變化率是當(dāng)自變量的改變量趨近于0時(shí)，平均變化率趨近的值(3)作用：刻畫函數(shù)在某一點(diǎn)處變化的快慢3函數(shù)f(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)函數(shù)yf(x)在xx0處的瞬時(shí)變化率稱為函數(shù)yf(x)在xx0處的導(dǎo)數(shù)，記作f(x0)或y|xx0，即f(x0) .基礎(chǔ)自測(cè)1思考辨析(1)y表示f(x2)f(x1)，y的值可正可負(fù)也可以為零()(2)瞬時(shí)變化率是刻畫某函數(shù)值在區(qū)間x1，x2上變化快慢的物理量()(3)函數(shù)f(x)x在x0處的瞬時(shí)變化率為0.()答案(1)(2)×(3)×2已知函數(shù)f(x)x21，則在x2，x0.1時(shí)，y的值為()a0.40b0.41c0.43d0.44byf(2x

3、)f(2)2.1240.41.3一物體的運(yùn)動(dòng)方程是s3t2，則在一小段時(shí)間2,2.1內(nèi)的平均速度為() 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792121】a0.41b3c4d4.1d4.1.合 作 探 究·攻 重 難求函數(shù)的平均變化率(1)若函數(shù)f(x)2x21的圖象上一點(diǎn)(1,1)及鄰近一點(diǎn)(1x,1y)，則()a4b4xc42xd42(x)2(2)汽車行駛的路程s和時(shí)間t之間的函數(shù)圖象如圖3­1­1，在時(shí)間段t0，t1，t1，t2，t2，t3上的平均速度分別為，則三者的大小關(guān)系為_(kāi)圖3­1­1(3)球的半徑從1增加到2時(shí)，球的體積平均膨脹率為_(kāi)解(1)yf(1x

4、)f(1)2(1x)21(2×121)2(x)24x2x4，故選c.(2)由題意知，koa，kab，kbc.根據(jù)圖象知<<.(3)v×23×13.答案(1)c(2)<<(3)規(guī)律方法求函數(shù)yf(x)從x0到x的平均變化率的步驟(1)求自變量的增量xxx0.(2)求函數(shù)的增量yyy0f(x)f(x0)f(x0x)f(x0)(3)求平均變化率.提醒：x，y的值可正，可負(fù)，但x0，y可為零，若函數(shù)f(x)為常值函數(shù)，則y0.跟蹤訓(xùn)練1(1)函數(shù)yf(x)3x22在區(qū)間x0，x0x上的平均變化率為_(kāi)，當(dāng)x02，x0.1時(shí)平均變化率的值為_(kāi)(2)已知

5、函數(shù)f(x)x2x的圖象上的一點(diǎn)a(1，2)及臨近一點(diǎn)b(1x，2y)，則_.(1)6x03x12.3(2)x3(1)函數(shù)yf(x)3x22在區(qū)間x0，x0x上的平均變化率為6x03x.當(dāng)x02，x0.1時(shí)，函數(shù)y3x22在區(qū)間2,2.1上的平均變化率為6×23×0.112.3.(2)yf(1x)f(1)(1x)2(1x)(1)2(1)(x)23x，x3.求瞬時(shí)速度若一物體的運(yùn)動(dòng)方程為s(路程單位：m，時(shí)間單位：s)求：(1)物體在t3 s到t5 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度；(2)物體在t1 s時(shí)的瞬時(shí)速度思路探究(1)先求s，再根據(jù)求解(2)先求，再求 .解(1)因?yàn)閟3&#

6、215;522(3×322)48(m)，t2 s，所以物體在t3 s到t5 s這段時(shí)間內(nèi)的平均速度為24(m/s)(2)因?yàn)閟293(1t)32293×(13)23(t)212t(m)，所以3t12(m/s)，則物體在t1 s時(shí)的瞬時(shí)速度為 (3t12)12(m/s)規(guī)律方法1.求運(yùn)動(dòng)物體瞬時(shí)速度的三個(gè)步驟(1)求時(shí)間改變量t和位移改變量ss(t0t)s(t0)(2)求平均速度.(3)求瞬時(shí)速度，當(dāng)t無(wú)限趨近于0時(shí)，無(wú)限趨近于常數(shù)v，即為瞬時(shí)速度2求(當(dāng)x無(wú)限趨近于0時(shí))的極限的方法(1)在極限表達(dá)式中，可把x作為一個(gè)數(shù)來(lái)參與運(yùn)算(2)求出的表達(dá)式后，x無(wú)限趨近于0就是令x

7、0，求出結(jié)果即可跟蹤訓(xùn)練2質(zhì)點(diǎn)m按規(guī)律s2t23作直線運(yùn)動(dòng)(位移單位：cm，時(shí)間單位：s)求質(zhì)點(diǎn)m在t2時(shí)的瞬時(shí)速度以及在1,3上的平均速度. 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792122】解v (2t8)8(cm/s)，8(cm/s)求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)探究問(wèn)題求函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的步驟和求瞬時(shí)速度的步驟有何異同？提示：根據(jù)函數(shù)在某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)的定義知，兩者步驟完全相同(1)函數(shù)y在x1處的導(dǎo)數(shù)為_(kāi)(2)如果一個(gè)質(zhì)點(diǎn)由定點(diǎn)a開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，在時(shí)間t的位移函數(shù)為yf(t)t33，當(dāng)t14，t0.01時(shí)，求y和比值；求t14時(shí)的導(dǎo)數(shù)思路探究(1)(2)解析(1)y1， ，所以y|x1.答案(2)yf(t1t)f(t1)3

8、t·t3t1·(t)2(t)3，故當(dāng)t14，t0.01時(shí)，y0.481 201，48.120 1. 3t3t1·t(t)23t48，故函數(shù)yt33在t14處的導(dǎo)數(shù)是48，即y|t1448.規(guī)律方法求函數(shù)yf(x)在點(diǎn)x0處的導(dǎo)數(shù)的三個(gè)步驟簡(jiǎn)稱：一差、二比、三極限提醒：當(dāng)對(duì)取極限時(shí)，一定要把變形到當(dāng)x0時(shí)，分母是一個(gè)非零常數(shù)的形式跟蹤訓(xùn)練3求函數(shù)yx在x1處的導(dǎo)數(shù)解y(1x)x，1.當(dāng)x0時(shí)，2，f(1)2，即函數(shù)yx在x1處的導(dǎo)數(shù)為2.當(dāng) 堂 達(dá) 標(biāo)·固 雙 基1已知函數(shù)f(x)2x24的圖象上一點(diǎn)(1，2)及鄰近一點(diǎn)(1x，2y)，則等于()a4b4xc42x d42(x)2c42x.2一質(zhì)點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)方程是s42t2，則在時(shí)間段1,1t內(nèi)相應(yīng)的平均速度為()a2t4 b2t4c4 d2t24tb2t4.3一質(zhì)點(diǎn)按規(guī)律s(t)2t2運(yùn)動(dòng)，則在t2時(shí)的瞬時(shí)速度為_(kāi). 【導(dǎo)學(xué)號(hào)：97792123】8s(2t)s(2)2(2t)22×2