曲面及其方程

1、第四節(jié)第四節(jié) 曲面及其方程曲面及其方程一、一、曲面方程的概念曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面三、柱面三、柱面四、二次曲面四、二次曲面一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念求到兩定點(diǎn)a(1,2,3) 和b(2,-1,4)等距離的點(diǎn)的222)3()2() 1(zyx07262zyx化簡得即說明說明: 動(dòng)點(diǎn)軌跡為線段 ab 的垂直平分面.引例引例: :顯然在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程, 不在此平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程.222)4() 1()2(zyx解解: :設(shè)軌跡上的動(dòng)點(diǎn)為, ),(zyxm,bmam 則軌跡方程. 定義定義1. 1. 0),(zyxfszyxo如果曲面 s 與方程 f

2、( x, y, z ) = 0 有下述關(guān)系:(1) 曲面 s 上的任意點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程;則 f( x, y, z ) = 0 叫做曲面曲面 s 的的方程方程, 曲面 s 叫做方程 f( x, y, z ) = 0 的圖形圖形.兩個(gè)基本問題兩個(gè)基本問題 : :(1) 已知一曲面作為點(diǎn)的幾何軌跡時(shí),(2) 不在曲面 s 上的點(diǎn)的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2) 已知方程時(shí) , 研究它所表示的幾何形狀( 必要時(shí)需作圖 ). 故所求方程為例例1. 求動(dòng)點(diǎn)到定點(diǎn)),(zyxm),(0000zyxm方程. 特別,當(dāng)m0在原點(diǎn)時(shí),球面方程為解解: 設(shè)軌跡上動(dòng)點(diǎn)為rmm0即依題意距離為 r 的軌跡xy

3、zom0m222yxrz表示上(下)球面 .rzzyyxx202020)()()(2202020)()()(rzzyyxx2222rzyx例例2. 研究方程024222zxzyx解解: : 配方得5, )1, 0 , 2(0m此方程表示:說明說明: : 如下形式的三元二次方程 ( a 0 )都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面. . 表示怎樣半徑為的球面.0)(222gfzeydxzyxa球心為 一個(gè)球面球面, 或點(diǎn)點(diǎn) , 或虛軌跡虛軌跡.5) 1()2(222zyx定義定義2. . 一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲

4、面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)軸軸 . .例如例如 :機(jī)動(dòng) 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 建立建立yoz面上曲線面上曲線c 繞繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的的方程方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為, ),(zyxm當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),0),(11zyf,), 0(111czym若點(diǎn)給定 yoz 面上曲線 c: ), 0(111zym),(zyxm1221,yyxzz則有0),(22zyxf則有該點(diǎn)轉(zhuǎn)到0),(zyfozyxc思考：當(dāng)曲線當(dāng)曲線 c 繞繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，方程如何？0),(:zyfcoyxz0),(22zxyf例例3. 求坐標(biāo)面yoz 上的橢圓12222bzay繞 z 軸

5、旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 z 軸旋轉(zhuǎn)122222bzayx即1222222bzayax這種曲面叫做旋轉(zhuǎn)橢球面.所成曲面方程為例例4. 求坐標(biāo)面xoy 上的拋物線)0(22ppyx繞 y 軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程. 解解: :繞 y 軸旋轉(zhuǎn)pyzx222這種曲面叫做旋轉(zhuǎn)拋物面.所成曲面方程為例例5. 試建立頂點(diǎn)在原點(diǎn), 旋轉(zhuǎn)軸為z 軸, 半頂角為的圓錐面方程. 解解: 在yoz面上直線l 的方程為cotyz 繞z 軸旋轉(zhuǎn)時(shí),圓錐面的方程為cot22yxz)(2222yxazcota令xyz兩邊平方l), 0(zymxyz三、柱面三、柱面引例引例. 分析方程表示怎樣的曲面

6、 .的坐標(biāo)也滿足方程222ryx解解: :在 xoy 面上，表示圓c, 222ryx222ryx沿曲線c平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓圓故在空間222ryx過此點(diǎn)作柱面柱面. .對任意 z ,平行 z 軸的直線 l ,表示圓柱面圓柱面oc在圓c上任取一點(diǎn) , )0 ,(1yxmlm1m),(zyxm點(diǎn)其上所有點(diǎn)的坐標(biāo)都滿足此方程,xyzxyzol定義3. 平行定直線并沿定曲線 c 移動(dòng)的直線 l 形成的軌跡叫做柱面柱面. 表示拋物柱面拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面橢圓柱面.xy2212222byaxz 軸的平面平面.0 yx表示母線平行

7、于 c(且 z 軸在平面上)表示母線平行于c 叫做準(zhǔn)線準(zhǔn)線, l 叫做母線母線.xyzooxzy2l一般地一般地, ,在三維空間在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線表示方程0),(yxf表示方程0),(zyg表示方程0),(xzhxyz3lxyz1l例例7. 下列方程各表示何種曲面1) 3(1)2(149) 1 (22222xzzyyx解解: :（1 1）因?yàn)榉匠讨腥眤 z,所以它表示母線平行于z軸的橢圓柱面。橢圓柱面。 （2 2）因?yàn)榉匠讨腥眡

8、 x,所以它表示母線平行于x軸的雙曲柱面。雙曲柱面。 （3 3）因?yàn)榉匠讨腥眣 y,所以它表示母線平行于y軸的拋物柱面拋物柱面。四、二次曲面四、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點(diǎn)進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面二次曲面. fzxeyxdxyczbyax2220jizhygx(二次項(xiàng)系數(shù)不全為 0 )zyx1. 橢球面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax(1)范圍：czbyax,(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓,012222zbyax,012222xc

9、zby 012222yczax1222222czbyax與)(11czzz的交線為橢圓：1zz (4) 當(dāng) ab 時(shí)為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣)(11byyy的截痕）（axxx11及也為橢圓.當(dāng)abc 時(shí)為球面.(3) 截痕:1)()(212221222222zcyzcxcbcacba,(為正數(shù))z2. 拋物面zqypx2222(1) 橢圓拋物面( p , q 同號)(2) 雙曲拋物面（鞍形曲面）zqypx2222zyx特別,當(dāng) p = q 時(shí)為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.( p , q 同號)zyx3. 雙曲面(1)(1)單葉雙曲面單葉雙曲面by 1) 1上的截痕為平面1zz 橢圓.時(shí), 截痕為2212

10、2221byczax(實(shí)軸平行于x 軸；虛軸平行于z 軸）1yy zxy),(1222222為正數(shù)cbaczbyax1yy 平面 上的截痕情況:雙曲線: 虛軸平行于x 軸）by 1)2時(shí), 截痕為0czax)(bby或by 1)3時(shí), 截痕為22122221byczax(實(shí)軸平行于z 軸;1yy zxyzxy相交直線: 雙曲線: 0(2) 雙葉雙曲面),(1222222為正數(shù)cbaczbyax上的截痕為平面1yy 雙曲線上的截痕為平面1xx 上的截痕為平面)(11czzz橢圓注意單葉雙曲面與雙葉雙曲面的區(qū)別: 雙曲線zxyo222222czbyax單葉雙曲面11雙葉雙曲面p18 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 圖形圖形4. 橢圓錐面),(22222為正數(shù)bazbyax上的截痕為在平面tz 橢圓在平面 x0 或 y0 上的截痕為過原點(diǎn)的兩直線 .zxyo1)()(2222t byt axtz ,可以證明, 橢圓上任一點(diǎn)與原點(diǎn)的連線均在曲面上.xyz內(nèi)容小結(jié)1. 空間曲面三元方程0),(zyxf 球面2202020)()()(rzzyyxx 旋轉(zhuǎn)曲面如, 曲線00),(xzyf繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)曲面:0),(22zyxf 柱面如,曲面0),(yxf表示