曲面及其方程

1、7-2-17.3 曲面及其方程曲面及其方程曲面方程的概念曲面方程的概念旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面柱面柱面二次曲面二次曲面小結(jié)小結(jié) 思考題思考題 作業(yè)作業(yè)7-2-2一、曲面方程的概念一、曲面方程的概念定義定義(1) 曲面曲面s上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程上任一點(diǎn)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足方程;(2)不不在曲面在曲面s上的點(diǎn)的坐標(biāo)都上的點(diǎn)的坐標(biāo)都不不滿(mǎn)足方程滿(mǎn)足方程;如果曲面如果曲面s0),( zyxf有下述關(guān)系有下述關(guān)系:那么那么,0),( zyxf方程方程就叫做曲面就叫做曲面s的方程的方程,而曲面而曲面s就叫做方程的圖形就叫做方程的圖形.曲面及其方程曲面及其方程與三元方程與三元方程xyzos0),( zyxf7-3-3

2、曲面的參數(shù)方程為曲面的參數(shù)方程為凡三元方程都表示空間一曲面凡三元方程都表示空間一曲面是一個(gè)三元方程是一個(gè)三元方程, 1222 zyx注注但不表示任何曲面但不表示任何曲面.錯(cuò)錯(cuò), , ),(),(),(vuzzvuyyvuxx如如曲面及其方程曲面及其方程7-3-4解解rmm |0 202020)()()(zzyyxx2202020)()()(rzzyyxx 所求方程為所求方程為球心在原點(diǎn)的球面方程球心在原點(diǎn)的球面方程2222rzyx 的的、半徑為、半徑為建立球心在點(diǎn)建立球心在點(diǎn)rzyxm),(0000.球球面面方方程程特殊特殊),(zyxm設(shè)設(shè)是球面上任一點(diǎn)是球面上任一點(diǎn),r2122122122

3、1)()()(zzyyxxmm 曲面及其方程曲面及其方程例例7-2-5例例解解 |0mmmo 222222432zyxzyx 911634132222 zyx所求方程所求方程),(zyxm設(shè)設(shè)是曲面上任一點(diǎn)是曲面上任一點(diǎn),的全體所組成的曲面方程的全體所組成的曲面方程.的的點(diǎn)點(diǎn)：的的距距離離之之比比為為及及求求與與原原點(diǎn)點(diǎn)21)4 , 3 , 2(0mo2121曲面及其方程曲面及其方程7-3-6 研究空間曲面有研究空間曲面有(1)已知曲面已知曲面,(2)已知方程已知方程,兩個(gè)基本問(wèn)題兩個(gè)基本問(wèn)題(討論旋轉(zhuǎn)曲面討論旋轉(zhuǎn)曲面)(討論柱面討論柱面, 二次曲面二次曲面)求方程求方程;研究圖形研究圖形.曲

4、面及其方程曲面及其方程7-2-7二、旋轉(zhuǎn)曲面二、旋轉(zhuǎn)曲面1.定義定義曲面及其方程曲面及其方程此定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸此定直線(xiàn)叫旋轉(zhuǎn)曲面的軸. 此曲線(xiàn)稱(chēng)此曲線(xiàn)稱(chēng)稱(chēng)此曲面為稱(chēng)此曲面為旋轉(zhuǎn)曲面旋轉(zhuǎn)曲面. .一周所成的曲面一周所成的曲面, ,母線(xiàn)母線(xiàn). . 為方便為方便,取作坐標(biāo)面取作坐標(biāo)面, 常把曲線(xiàn)所在平面常把曲線(xiàn)所在平面以一條平面曲線(xiàn)以一條平面曲線(xiàn)繞繞其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)其平面上的一條直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)母線(xiàn)母線(xiàn)軸軸旋轉(zhuǎn)軸取作坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)軸取作坐標(biāo)軸.定義定義7-2-82. 旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程d),z , y,x(m任取曲面上的點(diǎn)任取曲面上的點(diǎn)zz 1)1(22yxd 將將,1zz 0),(11 zyf

5、), 0(111zym0),(22 zyxf得方程得方程軸的距離軸的距離到到點(diǎn)點(diǎn)zm)2(|1y 221yxy 代入代入曲面及其方程曲面及其方程0),(11 zyfxyzo), 0(111zym ),(zyxm0),(: zyfc0 )z , y(fyoz坐坐標(biāo)標(biāo)面面上上設(shè)設(shè)有有曲曲線(xiàn)線(xiàn)：在在7-3-90),( yf22zx 旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)曲面方程為旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的由上面的分析得：由上面的分析得：0),( zyfyoz坐標(biāo)面上的已知曲線(xiàn)坐標(biāo)面上的已知曲線(xiàn)同理同理,0),( zyfyoz坐標(biāo)面上的已知曲線(xiàn)坐標(biāo)面上的已知曲線(xiàn)旋轉(zhuǎn)曲面方程旋轉(zhuǎn)曲面方程為為旋轉(zhuǎn)一周的旋轉(zhuǎn)一周的0),(22 zy

6、xf繞繞z軸軸繞繞y軸軸曲面及其方程曲面及其方程7-3-10 曲線(xiàn)方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng)曲線(xiàn)方程中與旋轉(zhuǎn)軸相同的變量不動(dòng), 總之總之,位于坐標(biāo)面上的曲線(xiàn)位于坐標(biāo)面上的曲線(xiàn)c,繞其上的繞其上的一個(gè)一個(gè) 坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng)坐標(biāo)軸轉(zhuǎn)動(dòng),所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以所成的旋轉(zhuǎn)曲面方程可以這樣得到這樣得到 :而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根而用另兩個(gè)的變量的平方和的平方根(加正、加正、負(fù)號(hào)負(fù)號(hào))替代曲線(xiàn)方程中另一個(gè)變量即可替代曲線(xiàn)方程中另一個(gè)變量即可.曲面及其方程曲面及其方程7-2-11例例 解解 cotyz 圓錐面方程圓錐面方程 cot22yxz 曲面稱(chēng)為曲面稱(chēng)為圓錐面圓錐面.兩直線(xiàn)的交點(diǎn)稱(chēng)為圓錐面的兩直線(xiàn)的

7、交點(diǎn)稱(chēng)為圓錐面的頂點(diǎn)頂點(diǎn),兩直線(xiàn)的夾角兩直線(xiàn)的夾角)20( 稱(chēng)為圓錐面的稱(chēng)為圓錐面的半頂角半頂角.試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)試建立頂點(diǎn)在坐標(biāo)原點(diǎn)o, 旋轉(zhuǎn)軸為旋轉(zhuǎn)軸為z軸軸,半頂角為半頂角為 的圓錐面的方程的圓錐面的方程.yoz面上直線(xiàn)方程為面上直線(xiàn)方程為曲面及其方程曲面及其方程),(zyxm ), 0(111zym 直線(xiàn)直線(xiàn)l繞另一條與繞另一條與l相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)相交的直線(xiàn)旋轉(zhuǎn)一周所得旋轉(zhuǎn)yxzoxyzo7-3-12說(shuō)明：說(shuō)明： cot22yxz 有圓錐面方程有圓錐面方程)cot()(2222 ayxaz可表示為可表示為,a時(shí)時(shí)特特別別是是1 222yxz 曲面及其方程曲面及其方程圓錐面

8、方程圓錐面方程 7-3-13 將下列各曲線(xiàn)繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周將下列各曲線(xiàn)繞對(duì)應(yīng)的軸旋轉(zhuǎn)一周,求生成求生成的旋轉(zhuǎn)曲面的方程的旋轉(zhuǎn)曲面的方程.122 cz旋轉(zhuǎn)雙曲面旋轉(zhuǎn)雙曲面例例雙曲線(xiàn)雙曲線(xiàn)(1)12222 czax分別繞分別繞x軸和軸和z軸軸;繞繞x軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)2c22zy 22ax1 22yx 2a曲面及其方程曲面及其方程7-3-14繞繞y軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)繞繞z軸軸旋旋轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)122222 czxay122222 czayx旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)橢球面pzyx222 旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面(2)12222 czayyoz坐標(biāo)面上的橢圓坐標(biāo)面上的橢圓繞繞y軸和軸和z軸軸;(3)pzyyoz22

9、坐標(biāo)面上的拋物線(xiàn)坐標(biāo)面上的拋物線(xiàn)繞繞z軸軸.曲面及其方程曲面及其方程7-3-15 選擇題選擇題 b方程方程222)(yxaz (a) xoz平面平面上曲線(xiàn)上曲線(xiàn) 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面; 22)(xaz (b) xoz平面平面上直線(xiàn)上直線(xiàn) 繞繞z軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；xaz (c) yoz平面平面上直線(xiàn)上直線(xiàn) 繞繞y軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；軸旋轉(zhuǎn)所得曲面；yaz (d) yoz平面平面上曲線(xiàn)上曲線(xiàn) 繞繞x軸旋轉(zhuǎn)所得曲面軸旋轉(zhuǎn)所得曲面.22)(yaz 表示表示( ).曲面及其方程曲面及其方程7-2-16定義定義三、柱面三、柱面平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)平行于定直線(xiàn)并沿定曲線(xiàn)c這條定曲線(xiàn)

10、這條定曲線(xiàn)c 稱(chēng)為柱面的稱(chēng)為柱面的動(dòng)直線(xiàn)動(dòng)直線(xiàn)l稱(chēng)為柱面的稱(chēng)為柱面的準(zhǔn)線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn),母線(xiàn)母線(xiàn).曲面及其方程曲面及其方程所形成的曲面稱(chēng)為所形成的曲面稱(chēng)為移動(dòng)的直線(xiàn)移動(dòng)的直線(xiàn)l 柱面柱面. .lc準(zhǔn)線(xiàn)準(zhǔn)線(xiàn)母線(xiàn)母線(xiàn)7-3-17因此因此,該方程的圖形是以該方程的圖形是以xoy面上圓為準(zhǔn)線(xiàn)面上圓為準(zhǔn)線(xiàn), 例例 討論方程討論方程 的圖形的圖形.222ryx 在在xoy面上面上, 222ryx 解解母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于z軸的軸的柱面柱面.曲面及其方程曲面及其方程表一個(gè)表一個(gè)圓圓c.過(guò)點(diǎn)過(guò)點(diǎn)作平行作平行z軸的直線(xiàn)軸的直線(xiàn)l,)0 ,(1yxm設(shè)點(diǎn)設(shè)點(diǎn) 在圓在圓c上上, 對(duì)任意對(duì)任意z,點(diǎn)點(diǎn)的坐標(biāo)也滿(mǎn)足方程的坐標(biāo)也滿(mǎn)

11、足方程沿曲線(xiàn)沿曲線(xiàn)c, 平行于平行于z軸的一切直線(xiàn)所形成的曲面上的點(diǎn)軸的一切直線(xiàn)所形成的曲面上的點(diǎn)的坐標(biāo)的坐標(biāo)都滿(mǎn)足此方程都滿(mǎn)足此方程, ,在在空間空間, ,222ryx 就是就是圓柱面方程圓柱面方程. .此曲面稱(chēng)為此曲面稱(chēng)為圓柱面圓柱面. .),(zyxmlxyzoc 1m m )0 ,(1yxm,222ryx 7-3-18xyzoxyzoxy 平面平面表示母線(xiàn)平行于表示母線(xiàn)平行于zxy22 .22xy xy 表示母線(xiàn)平行于表示母線(xiàn)平行于z軸軸.xy 曲面及其方程曲面及其方程xy22 拋物柱面拋物柱面柱面舉例柱面舉例 其準(zhǔn)線(xiàn)是其準(zhǔn)線(xiàn)是xoy面面上的拋物線(xiàn)上的拋物線(xiàn)軸的柱面軸的柱面, 的柱面的

12、柱面,其準(zhǔn)線(xiàn)是其準(zhǔn)線(xiàn)是xoy面上面上的直線(xiàn)的直線(xiàn)7-3-19總結(jié)：總結(jié)：柱面的特征柱面的特征：（其他類(lèi)推）（其他類(lèi)推）實(shí)實(shí) 例例12222 czby橢圓橢圓柱面柱面12222 byax雙曲雙曲柱面柱面 pzx22 拋物拋物柱面柱面 , 0),(, yxfzyx的方程的方程而缺而缺只含只含直角坐標(biāo)系中表示平行于直角坐標(biāo)系中表示平行于z軸的柱面軸的柱面,在空間在空間為為xoy面上的曲線(xiàn)面上的曲線(xiàn)c.其準(zhǔn)線(xiàn)其準(zhǔn)線(xiàn)曲面及其方程曲面及其方程母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于x軸軸母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于z軸軸母線(xiàn)平行于母線(xiàn)平行于y軸軸7-2-20二次曲面的定義二次曲面的定義四、二次曲面四、二次曲面曲面及其方程曲面及其方程

13、具體形式為：具體形式為：三元二次方程三元二次方程所表示的曲面稱(chēng)為所表示的曲面稱(chēng)為0222 qnzmyhxgzxfyzexyczbyaxqnmlgfecba,其中其中均為常數(shù)均為常數(shù).球面、球面、二次曲面二次曲面.如如某些柱面某些柱面(圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面等圓柱面、拋物柱面、雙曲柱面等)都是二次曲面都是二次曲面.7-3-21 研究二次曲面的方法是采用研究二次曲面的方法是采用截痕法截痕法.下面用下面用截痕法截痕法討論上面幾種特殊的二次曲面討論上面幾種特殊的二次曲面.即用即用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截,考察其交線(xiàn)考察其交線(xiàn)(即截痕即截痕)的形狀的形

14、狀, 然后加以綜合然后加以綜合,從而了解曲面的全貌從而了解曲面的全貌.曲面及其方程曲面及其方程7-2-221. 橢球面橢球面(橢圓面橢圓面)1222222 czbyax曲面及其方程曲面及其方程)0, 0, 0( cba由方程可知：由方程可知：, 1, 1, 1222222 czbyax即即,|,|,|czbyax 說(shuō)明橢球面包含在由平面說(shuō)明橢球面包含在由平面圍成的長(zhǎng)方體內(nèi)圍成的長(zhǎng)方體內(nèi).czbyax ,7-3-23曲面及其方程曲面及其方程先考慮橢球面與坐標(biāo)面的截痕：先考慮橢球面與坐標(biāo)面的截痕： 012222yczax 012222zbyax去截這個(gè)曲面去截這個(gè)曲面,所得截痕的方程是所得截痕的方

15、程是)|0(11czzz 012222xczby1222222 czbyax1z000這些截痕都是這些截痕都是橢圓橢圓.再用平行于再用平行于xoy面的平面面的平面 122122221zzczbyax這些截痕也都是這些截痕也都是橢圓橢圓.7-3-24橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化橢圓截面的大小隨平面位置的變化而變化.曲面及其方程曲面及其方程與平面與平面 ,1xx 1yy 橢圓橢圓.同理同理,的截痕也是的截痕也是1222222 czbyax1x1yzxyoxyzo7-3-25橢球面的幾種特殊情況橢球面的幾種特殊情況:)1(1222222 czayax旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)橢球面橢球面12222 czax由

16、橢圓由橢圓旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的旋轉(zhuǎn)橢球面與橢球面的區(qū)別區(qū)別：122222 czayx方程可寫(xiě)為方程可寫(xiě)為與平面與平面1zz )| (1cz ba 1222222 czbyaxa繞繞z軸旋轉(zhuǎn)而成軸旋轉(zhuǎn)而成.的交線(xiàn)為的交線(xiàn)為圓圓.曲面及其方程曲面及其方程7-3-26cba )2(1222222 azayax球面球面2222azyx 方程可寫(xiě)為方程可寫(xiě)為曲面及其方程曲面及其方程xyzo7-2-272. 拋物面拋物面zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq橢圓拋物面橢圓拋物面用截痕法討論用截痕法討論用平面用平面)0( zxoy設(shè)設(shè)0, 0 qp原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的原點(diǎn)叫做橢圓拋物面的去截這曲面去

17、截這曲面,頂點(diǎn)頂點(diǎn).0(1)曲面及其方程曲面及其方程截痕為截痕為原點(diǎn)原點(diǎn).用平面用平面1zz 11212122zzqzypzx)0(1 z去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為橢圓橢圓.,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)z截痕退縮為原點(diǎn)截痕退縮為原點(diǎn);,01時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng) z截痕不存在截痕不存在.1z7-3-28用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( yxoz 022ypzx截痕為截痕為拋物線(xiàn)拋物線(xiàn).zqypx 2222(2)0曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,用平面用平面1yy 121222yyqyzpx它的軸平行于它的軸平行于 軸軸z頂點(diǎn)頂點(diǎn) qyy2, 0211去截這曲面去截這曲面, 截痕為截痕為拋物線(xiàn)拋物線(xiàn).1y7-3

18、-29用坐標(biāo)面用坐標(biāo)面)0( xyoz1xx 同理當(dāng)同理當(dāng)0, 0 qpzqypx 2222(3)時(shí)可類(lèi)似討論時(shí)可類(lèi)似討論.01x曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,及平面及平面截痕為截痕為拋物線(xiàn)拋物線(xiàn).0, 0 qp0, 0 qp橢圓拋物面的圖形如下：橢圓拋物面的圖形如下：zxyoozxyxyzo7-3-30,時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)qp zpypx 2222旋轉(zhuǎn)拋物面旋轉(zhuǎn)拋物面)0( p(由由 面上的拋物線(xiàn)面上的拋物線(xiàn)xozpzx22 11222zzpzyx用平面用平面1zz )0(1 z當(dāng)當(dāng) 變動(dòng)時(shí)，這種圓變動(dòng)時(shí)，這種圓的的中心中心都在都在 軸上軸上.1zz特殊地特殊地方程變?yōu)榉匠套優(yōu)閦qyp

19、x 2222而成的而成的)p p1z曲面及其方程曲面及其方程去截這曲面去截這曲面,截痕為截痕為圓圓.繞繞z軸旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)7-3-31zqypx 2222（ 與與 同號(hào)）同號(hào)）pq雙曲拋物面雙曲拋物面用截痕法討論：用截痕法討論：設(shè)設(shè)0, 0 qp圖形如下：圖形如下： 有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng)有兩個(gè)異號(hào)的平方項(xiàng),另一變量另一變量方程方程 z = xy表示表示什么曲面？什么曲面？馬鞍面馬鞍面特點(diǎn)是特點(diǎn)是:是一次項(xiàng)是一次項(xiàng), 無(wú)常數(shù)項(xiàng)無(wú)常數(shù)項(xiàng).(馬鞍面馬鞍面)曲面及其方程曲面及其方程xyzo7-2-323. 雙曲面雙曲面單葉雙曲面單葉雙曲面1222222 czbyax特點(diǎn)是特點(diǎn)是: 平方項(xiàng)有一個(gè)取負(fù)號(hào)平方項(xiàng)有

20、一個(gè)取負(fù)號(hào),另兩個(gè)取正號(hào)另兩個(gè)取正號(hào).曲面及其方程曲面及其方程oxyzxyzo7-3-33類(lèi)似地類(lèi)似地,1222222 czbyax1222222 czbyax亦表示亦表示單葉雙曲面單葉雙曲面.方程方程曲面及其方程曲面及其方程7-3-34雙葉雙曲面雙葉雙曲面1222222 czbyax1222222 czbyax 或或特點(diǎn)是特點(diǎn)是:平方項(xiàng)有一個(gè)取正號(hào)平方項(xiàng)有一個(gè)取正號(hào),另兩個(gè)取負(fù)號(hào)另兩個(gè)取負(fù)號(hào).它分成上、下兩個(gè)曲面它分成上、下兩個(gè)曲面.注注曲面及其方程曲面及其方程xyzo 類(lèi)似地類(lèi)似地,1222222 czbyax或或1222222 czbyax亦表示亦表示方程方程雙葉雙曲面雙葉雙曲面.7-3-35方程方程表示表示( )(a) 雙曲柱面雙曲柱面;(d) 錐錐面面.(c)雙葉雙曲面雙葉雙曲面;(b)旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)雙曲面雙曲面;b