根的判別式與韋達(dá)定理

1、 德 陽(yáng) 市 新 陽(yáng) 光 綜 合 培 訓(xùn) 學(xué) 校一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系應(yīng)用例析及訓(xùn)練對(duì)于一元二次方程，當(dāng)判別式時(shí)，其求根公式為：；當(dāng)時(shí)，設(shè)一元二次方程的兩根為，有：，；根與系數(shù)的這種關(guān)系又稱為韋達(dá)定理；它的逆定理也是成立的，即當(dāng)，時(shí)，那么則是方程的兩根。一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，綜合性強(qiáng)，應(yīng)用極為廣泛，在中學(xué)數(shù)學(xué)中占有極重要的地位，也是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中的重點(diǎn)。學(xué)習(xí)中，除了要求熟記一元二次方程根的判別式存在的三種情況外，還常常要求應(yīng)用韋達(dá)定理解答一些變式題目，以及應(yīng)用求根公式求出方程的兩個(gè)根，進(jìn)而分解因式，即。下面就對(duì)韋達(dá)定理的應(yīng)用可能出現(xiàn)的問(wèn)題舉例做些分析，希望能帶來(lái)小小的幫助。一、根據(jù)判別

2、式，討論一元二次方程的根。例1：已知關(guān)于x的方程(1)有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，且關(guān)于x的方程(2)沒(méi)有實(shí)數(shù)根，問(wèn)a取什么整數(shù)時(shí)，方程(1)有整數(shù)解？分析：在同時(shí)滿足方程(1)，(2)條件的a的取值范圍中篩選符合條件的a的整數(shù)值。解： 說(shuō)明：熟悉一元二次方程實(shí)數(shù)根存在條件是解答此題的基礎(chǔ)，正確確定a的取值范圍，并依靠熟練的解不等式的基本技能和一定的邏輯推理，從而篩選出a，這是解答本題的基本技巧。二、判別一元二次方程兩根的符號(hào)。例2：不解方程，判別方程兩根的符號(hào) 。判別根的符號(hào)，需要把“根的判別式”和“根與系數(shù)的關(guān)系”結(jié)合起來(lái)進(jìn)行確定，倘若由題中，所以可判定方程的根為一正一負(fù)；倘若，仍需考

3、慮的正負(fù)，倘若，則方程有兩個(gè)正數(shù)根；倘若，則方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根。解：說(shuō)明：對(duì)于來(lái)說(shuō)，往往二次項(xiàng)系數(shù)，一次項(xiàng)系數(shù)，常數(shù)項(xiàng)皆為已知，可據(jù)此求出根的判別式，但只能用于判定根的存在與否，若判定根的正負(fù)，則需要確定 或的正負(fù)情況。因此解答此類題的關(guān)鍵是：既要求出判別式的值，又要確定 或的正負(fù)情況。三、已知一元二次方程的一個(gè)根，求出另一個(gè)根以及字母系數(shù)的值。例3：已知方程的一個(gè)根為2，求另一個(gè)根及m的值。 分析：此類題通常有兩種解法：一是根據(jù)方程根的定義，把x=2代入原方程，先求出m的值，再通過(guò)解方程辦法求出另一個(gè)根；二是利用一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系求出另一個(gè)根及m的值。解

4、法一： 解法二：  例4：已知方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，且兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21，求m的值。分析：本題若利用轉(zhuǎn)化的思想，將等量關(guān)系“兩個(gè)根的平方和比兩根的積大21”轉(zhuǎn)化為關(guān)于m的方程，即可求得m的值。 解：說(shuō)明：當(dāng)利用根與系數(shù)的關(guān)系求出m后，還需注意使用韋達(dá)定理的必要條件，應(yīng)舍去不合題意的m。四、運(yùn)用判別式及根與系數(shù)的關(guān)系解題。例5：已知是關(guān)于x的一元二次方程的兩個(gè)非零實(shí)數(shù)根，問(wèn)和能否同號(hào)？若能同號(hào)，請(qǐng)求出相應(yīng)的m的取值范圍；若不能同號(hào)，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：   說(shuō)明：一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系深刻揭示了一元二次方程中根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，

5、是分析研究有關(guān)一元二次方程根的問(wèn)題的重要工具，也是計(jì)算有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題的重要工具。知識(shí)的運(yùn)用方法靈活多樣，是設(shè)計(jì)考察創(chuàng)新能力試題的良好載體，在中考中與此有聯(lián)系的試題出現(xiàn)頻率很高，是重點(diǎn)練習(xí)的內(nèi)容。五、運(yùn)用一元二次方程根的意義及根與系數(shù)的關(guān)系解題。 例6：已知是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，求的值。分析：本題可充分運(yùn)用根的意義和根與系數(shù)的關(guān)系解題，應(yīng)摒棄常規(guī)的求根后，再帶入的方法，力求簡(jiǎn)解。解法一： 解法二： 說(shuō)明：既要熟悉問(wèn)題的常規(guī)解法，也要隨時(shí)想到特殊的簡(jiǎn)捷解法，是解題能力提高的重要標(biāo)志，是努力的方向。有關(guān)一元二次方程根的計(jì)算問(wèn)題，當(dāng)根是無(wú)理數(shù)時(shí)，運(yùn)算將十分繁瑣，這時(shí)，如

6、果方程的系數(shù)是有理數(shù)，利用根與系數(shù)的關(guān)系解題可起到化難為易、化繁為簡(jiǎn)的作用。這類問(wèn)題在解法上靈活多變，式子的變形具有創(chuàng)造性，重在考查能力。 六、運(yùn)用一元二次方程根的意義及判別式解題。 例7：已知兩方程和至少有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，求這兩個(gè)方程的四個(gè)實(shí)數(shù)根的乘積。分析：可設(shè)兩方程的相同根為，根據(jù)根的意義，可以構(gòu)成關(guān)于和m的二元方程組，得解后再由根與系數(shù)的關(guān)系求值。解：說(shuō)明：本題的易錯(cuò)點(diǎn)為求解出關(guān)于、m的二元方程組后，忽略m對(duì)方程和判別式的討論。與韋達(dá)定理綜合訓(xùn)練一、填空題： 1、如果關(guān)于x的方程的兩根之差為2，那么k=     &

7、#160;      。  2、已知關(guān)于x的一元二次方程兩根互為倒數(shù)，則a=            。 3、已知關(guān)于x的方程的兩根為，且，則m=            。 4、已知是方程的兩個(gè)根，那么：          

8、;  ；            ；            。  5、已知關(guān)于x的一元二次方程的兩根為，且，則m=            ；         &#

9、160;  。  6、如果關(guān)于x的一元二次方程的一個(gè)根是，那么另一個(gè)根是            ，a的值為            。  7、已知是的一根，則另一根為            ，k的值為   

10、60;        。 8、一個(gè)一元二次方程的兩個(gè)根是和，那么這個(gè)一元二次方程為：            。 二、求值題：  1、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。 2、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。 3、已知是方程的兩個(gè)根，利用根與系數(shù)的關(guān)系，求的值。  4、已知兩數(shù)的和等于6，這兩數(shù)的積是4，求這兩數(shù)。 5、已知關(guān)于x的方程的兩根滿足關(guān)系式，求m的值

11、及方程的兩個(gè)根。  6、已知方程和有一個(gè)相同的根，求m的值及這個(gè)相同的根。三、能力提升題：  1、實(shí)數(shù)k為何值時(shí)，方程有正的實(shí)數(shù)根？  2、已知關(guān)于x的一元二次方程 (1)求證：無(wú)論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。 (2)若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足，求m的值。 3、若，關(guān)于x的方程有兩個(gè)相等的正的實(shí)數(shù)根，求的值。 4、是否存在實(shí)數(shù)k，使關(guān)于x的方程的兩個(gè)實(shí)根，滿足，如果存在，試求出滿足條件的k的值，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 5、已知關(guān)于x的一元二次方程的兩實(shí)數(shù)根為，若，求m的值。  6、實(shí)數(shù)m、n分別滿足方程和，求代數(shù)

12、式 的值。 答案與提示： 一、填空題：  1、提示：， ，解得：  2、提示：，由韋達(dá)定理得：， 解得：，代入檢驗(yàn)，有意義，。  3、提示：由于韋達(dá)定理得：， ，解得：。  4、提示：由韋達(dá)定理得：， ；由，可判定方程的兩根異號(hào)。有兩種情況：設(shè)0，0，則；設(shè)0，0，則。 5、提示：由韋達(dá)定理得：，。 6、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：，解得：，即。 7、提示：設(shè)，由韋達(dá)定理得：， 8、提示：設(shè)所求的一元二次方程為，那么，即；設(shè)所求的一元二次方程為： 2、 求值題： 1、提示：由韋達(dá)

13、定理得：， 2、   3、提示：由韋達(dá)定理得：，  4、提示：由韋達(dá)定理得：， 5、提示：設(shè)這兩個(gè)數(shù)為，于是有，因此可看作方程的兩根，即，所以可得方程：，解得：，所以所求的兩個(gè)數(shù)分別是，。  6、提示：由韋達(dá)定理得，化簡(jiǎn)得：；解得：，；以下分兩種情況： 當(dāng)時(shí)，組成方程組： ；解這個(gè)方程組得：； 當(dāng)時(shí)，組成方程組：；解這個(gè)方程組得：  7、提示：設(shè)和相同的根為，于是可得方程組：；得：，解這個(gè)方程得：；以下分兩種情況：（1）當(dāng)時(shí)，代入得（2）當(dāng)時(shí)，代入得。所以和相同的根為，的值分別為，。 三、能力提升題：  1、提示：方程有正的實(shí)數(shù)根的條件必須同時(shí)具備：判別式0；0，0；于是可得不等式組：  解這個(gè)不等式組得：1 2、提示：（1）的判別式0，所以無(wú)論取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根。（2）利用韋達(dá)定理，并根據(jù)已知條件可得：解這個(gè)關(guān)于的方程組，可得到：，由于，所以可得，解這個(gè)方程，可得：，；  3、提示：可利用韋達(dá)定理得出0，0；于是得到不等式組： 求得不等式組的解，且兼顧；即可得到，再由可得：，接下去