基本不等式的變形及應(yīng)用

1、基本不等式a2 b2 2ab的變式及應(yīng)用不等式a2 b2 2ab是課本中的一個(gè)定理，它是重要的基本不等式之一，對(duì)于它及它各種變式的掌握與熟練運(yùn)用是求解很多與不等式有關(guān)問(wèn)題的重要方法，這里介紹它的幾種 常見(jiàn)的變式及應(yīng)用1十種變式aba2b2_ a b 2 ab ()；2a b、22 ab2（ ）;22若b 0，2則a2ab ;b1若a,b R ,(1)24abab上述不等式中等號(hào)成立的允要條件均為2 a b . 2(a2 b2)a2a,bR ,則114ab ab若ab0 ,則12 a1b2a bbm時(shí)等號(hào)成立）若 m, n R ,a,b R，則b2(a b)(當(dāng)且僅當(dāng)anm n(a b c)23

2、(a2b2c2（當(dāng)且僅當(dāng)a b c時(shí)等號(hào)成立）2、應(yīng)用例 1、若 a,b,c Rc 2，求證：.a 1. b 1 c 14證法一：由變式得即.a 1HI 二理同b- 2VC匕止因C- 2 a- 24C- 2b- 21由于三個(gè)不等式中的等號(hào)不能同時(shí)成立，故 a 1 .b 1 . c 1 4a2 b2評(píng)論：本解法應(yīng)用“ ab”觀察其左右兩端可以發(fā)現(xiàn)，對(duì)于某一字母左邊是2一次式，而右邊是二次式，顯然，這個(gè)變式具有升幕與降幕功能，本解法應(yīng)用的是升幕功證法二：由變式得 a1 b 12(a 1b 1)同理：.c 11. 2(c_1一1).a 1.b 1、c112(ab 2). 2(c2). 2(a b c

3、 4).12 5故結(jié)論成立評(píng)論：本解法應(yīng)用“ a b J2(a2 b2) ”這個(gè)變式的功能是將“根式合并”，將“離 散型”要根式轉(zhuǎn)化為統(tǒng)一根式，顯然，對(duì)問(wèn)題的求解起到了十分重要的作用。證法三：由變式得( a 1. b 1、c 1)23(a 1 b 1 c 1) 15故.a 1. b 1. c 14 即得結(jié)論評(píng)論：由基本不等式a b 2ab易產(chǎn)生2a 2b 2c 2ab 2bc 2ca，兩邊同時(shí)加上a2 b2 c2即得3(a2 b2 c2) (a b c)2，于是便有了變式，本變式的功 能可以將平方進(jìn)行“分拆”與“合并”。本解法是將平方進(jìn)行分拆，即由整體平方轉(zhuǎn)化為個(gè)整平方，從而有效的去掉了根號(hào)。

4、例2、設(shè) a,b,c R ，求證:ab.b . cJa Vb Jca證明：由變式得v'b2 . a , b， b=2勺 b Jc， 廠2i c Q aca三式相加即得：Vbbccaa、b 、c評(píng)論:本解法來(lái)至于“若ba20，則b2a b”這個(gè)變式將基本不等式轉(zhuǎn)化成更為靈活的形式，當(dāng)分式的分子與分母出現(xiàn)平方與一次的關(guān)系時(shí)，立即可以使用，方便快捷。2 2例3、實(shí)數(shù)a,b滿足(a 4) (b 3)2，求a b的最大值與最小值解析：結(jié)合變式得2(a 4)2(b 3)2 (ab7)24343因此 、14 a b7.14 即 7,14 a b7.143.143.14a3a 3當(dāng)且僅當(dāng)3(a 4)4

5、( b3)、再結(jié)合條件得7及7時(shí)，分4. 14414b4b 477別獲得最小值與最大值；評(píng)論：由a2m22 2b n2mnabn(m n)a2m(m n)b2mn (a2b)再結(jié)合個(gè)很特別的公式，它溝通了兩分式和與由兩分式產(chǎn)生的一m, n R即得變式，這可是個(gè)特殊分式的關(guān)系，它的靈活應(yīng)用不僅可以為我們解決基本不等式的最值問(wèn)題，也為我們 處理圓錐曲線問(wèn)題中的最值問(wèn)題開辟了新的途徑。例4、已知x, y (2,2)，且 xy 1，解析：由變式u44 x22X)(14(14x22 (T27)125上述兩不等式當(dāng)且僅當(dāng)屮、再結(jié)合xy2時(shí),_63取得最小值;評(píng)論：由a2 b22abb(a b) a(a b

6、)4ab結(jié)合a,b R ,兩邊同除以ab(a b)即得變式，本題兩次使用基本不等式，第一次應(yīng)用變式，第二次應(yīng)用基本不 等式。值得注意的是兩次等號(hào)成立的條件必須一致，否則，最值是取不到的。例5、當(dāng)0 x a時(shí)，不等式 2x(a x)22恒成立，求a的最大值;解：由變式、得11(丄 1 )2x2 (ax)22 x a x14142 x(a x)2(X a x)2上述三個(gè)不等式中等號(hào)均在同一時(shí)刻8由篤 20 a 2a故a的最大值為2 ；x a x時(shí)成立評(píng)論：由(a b)24ab再結(jié)合a,b2R即得變式；又由ab22ab得2 2 2 2 2 1 2 2 22(a b ) (a b) b a (a b)結(jié)合ab 0 ,兩邊同除a b即得變式。本題的求解，雖然“廖廖幾步”，但來(lái)之實(shí)在不易。首先這兩個(gè)變式不一定大家都熟悉，其次,三次使用變式進(jìn)行轉(zhuǎn)化，必須保證等號(hào)在同一時(shí)