極坐標(biāo)和參數(shù)方程基礎(chǔ)知識(shí)及重點(diǎn)題型

1、高中數(shù)學(xué)回歸課本校本教材24（一）基礎(chǔ)知識(shí)參數(shù)極坐標(biāo)1.極坐標(biāo)定義 ：M 是平面上一點(diǎn)，表示OM的長(zhǎng)度，是MOx ，則有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì)(, ) ,叫極徑，叫極角；一般地，0,2) ，0 。2.常見(jiàn)的曲線的極坐標(biāo)方程（ 1）直線過(guò)點(diǎn) M(0 ,0 ) ,傾斜角為常見(jiàn)的等量關(guān)系：正弦定理OPOM， OMP0 OPM；sinOMP sinOPM（ 2）圓心 P(0 ,0 ) 半徑為 R 的極坐標(biāo)方程的等量關(guān)系：勾股定理或余弦定理；（ 3）圓錐曲線極坐標(biāo)：ep，當(dāng) e1 時(shí)，方程表示雙曲線； 當(dāng) e1 時(shí)，方程表示拋物線； 當(dāng) 0 e 1ecos1時(shí)，方程表示橢圓 . 提醒 ：極點(diǎn)是焦點(diǎn)，一般不是直角坐

2、標(biāo)下的坐標(biāo)原點(diǎn)。極坐標(biāo)方程3表示的曲線2 4cos是雙曲線3. 參數(shù)方程：（ 1）圓2( x22的參數(shù)方程：x ar cos , xbr sin(x a)b)r（ 2）橢圓 x2y21的參數(shù)方程：xa cos , x b sina2b2（ 3）直線過(guò)點(diǎn) M( x0 , y0 ) ,傾斜角為的參數(shù)方程： tanyy0即 xx0yy0t ，xx0cossin即 x x0 t cos y y0 t sin注 ： cosx x0 ， siny y0 據(jù) 銳 角 三 角 函 數(shù) 定 義 ， Tuuur幾何意義是有向線段 MP 的數(shù)量tt其中表示直線上以定點(diǎn)為起點(diǎn)，任意一點(diǎn)，為終點(diǎn)的有向線段uuuuuur

3、的數(shù)量，M0M0 MM0MtlM ( x y)；當(dāng)點(diǎn)M在的上方時(shí)，t；當(dāng)點(diǎn)M在的下方時(shí)，t0.M 00M 04拋物線y22px p0的參數(shù)方程為： x2 pt2(t為參數(shù) y2 pt)由于 y1，因此參數(shù) t的幾何意義是拋物線上的點(diǎn)與拋物線的頂點(diǎn)連線的斜率的倒數(shù)xtx2 sin2將 y sin2代入 x 2sin 2即可，但是如： 將參數(shù)方程( 為參數(shù) ) 化為普通方程為 y x 2(2 x 3)ysin 20 sin21 ；xcos2x2y24. 極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)互化公式：或y，的象限由點(diǎn) (x,y) 所在象限確定 .ysintan(x 0)x（ 1）它們互化的條件則是：極點(diǎn)與原點(diǎn)重合，極軸

4、與x 軸正半軸重合 .（ 2）將點(diǎn) (, ) 變成直角坐標(biāo) (cos ,sin) ，也可以根據(jù)幾何意義和三角函數(shù)的定義獲得。5. 極坐標(biāo)的幾個(gè)注意點(diǎn)：（ 1）極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)轉(zhuǎn)化的必要條件是具有共同的坐標(biāo)原點(diǎn)x3 2cos( 極點(diǎn) ) 如：已知圓 C 的參數(shù)方程為（y2sin為參數(shù)），若 P 是圓 C 與 y 軸正半軸的交點(diǎn)，以圓心 C 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求過(guò)點(diǎn)P的圓 C的切線的極坐標(biāo)方程。cos(5 ) 26如：已知拋物線y24 x ，以焦點(diǎn) F 為極點(diǎn)， x 軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，求拋物線的極坐標(biāo)方程。即2。1 cos（2）對(duì)極坐標(biāo)中的極徑和參數(shù)方程中的參

5、數(shù)的幾何意義認(rèn)識(shí)不足如：已知橢圓的長(zhǎng)軸長(zhǎng)為 6，焦距過(guò)橢圓左焦點(diǎn)1 作一直線，交橢圓于兩點(diǎn)M、N，設(shè)1(0當(dāng)為F1F24 2 ,F),F2 FM何值時(shí)， MN與橢圓短軸長(zhǎng)相等？或 566（ 3）直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)一般不要混合使用：如：已知某曲線的極坐標(biāo)方程為22sin()2 0 。（ 1）將上24述曲線方程化為普通方程； （2）若點(diǎn) P( x, y) 是該曲線上任意點(diǎn)，求xy 的取值范圍。 222,222（二）基本計(jì)算1. 求點(diǎn)的極坐標(biāo) ：有序?qū)崝?shù)實(shí)數(shù)對(duì)( ,) ,叫極徑，叫極角；如：點(diǎn)M 的直角坐標(biāo)是( 1,3)，則點(diǎn) M 的極坐標(biāo)為(2, 2 ) 提示： (2,2 k2 ),kZ 都是點(diǎn) M

6、 的極坐標(biāo) .332. 求曲線軌跡的方程步驟：（ 1）建立坐標(biāo)系 ；（2）在曲線上取一點(diǎn)P (,) ；（3）寫出等式 ；（4）根據(jù),幾何意義用 ,表示上述等式，并化簡(jiǎn)（注意： x, y）；（5）驗(yàn)證。 如：長(zhǎng)為 2a的線段，其端點(diǎn)在Ox 軸和 Oy 軸正方向上滑動(dòng)，從原點(diǎn)作這條線段的垂線，垂足為M ，求點(diǎn) M 的軌跡的極坐標(biāo)方程（Ox 軸為極軸），再化為直角坐標(biāo)方程 .解：設(shè)點(diǎn) M 的極坐標(biāo)為 (,) ，則OBMAOM，且 | OA | 2a sin，| OA |cos2asincosa sin2，點(diǎn) M的軌跡的極坐標(biāo)方程為a sin 2(02) .由a sin2可得32a2 sincos，3

7、3 ( x 2 y2 ) 2 2axy 其直角坐標(biāo)方程為( x2y2 ) 22axy( x 0, y 0) .3. 求軌跡方程的常用方法：直接法：直接通過(guò)建立x、 y 之間的關(guān)系，構(gòu)成F ( x, y)0 ,是求軌跡最基本的方法 .待定系數(shù)法：可先根據(jù)條件設(shè)所求曲線的方程,再由條件確定其待定系數(shù), 代回方程代入法 ( 相關(guān)點(diǎn)法或轉(zhuǎn)移法 ). 如：從極點(diǎn)作圓2a cos 的弦 , 求各弦中點(diǎn)的軌跡方程. 解 : 設(shè)所求曲線上的動(dòng)點(diǎn)M 的極坐標(biāo)為 (, ),圓2a cos上的動(dòng)點(diǎn)的極坐標(biāo)為 (1,1) 由題設(shè)可知 ,1, 將其代入圓的方程得 :a cos () .2122定義法：如果能夠確定動(dòng)點(diǎn)軌

8、跡滿足某已知曲線定義, 則可由曲線定義直接寫出方程 .交軌法 ( 參數(shù)法 ) ：當(dāng)動(dòng)點(diǎn) P( x, y) 坐標(biāo)之間的關(guān)系不易直接找到, 也沒(méi)有相關(guān)動(dòng)點(diǎn)可用時(shí), 可考慮將 x 、 y 均用一中間變量 ( 參數(shù) ) 表示 , 得參數(shù)方程 , 再消去參數(shù)得普通方程 .4. 參數(shù)和極徑的幾何意義的運(yùn)用：表示 OM 的長(zhǎng)度； T 幾何意義是有向線段uuur3) 的直線 l與 xMP 的數(shù)量 ；如：已知過(guò)點(diǎn) P(9,軸正半軸、 y 軸正半軸分別交于A B 兩點(diǎn)，則 AB 最小值為83 提示：設(shè)x9t cos傾斜角為，則 ABt1t2 或y3t sin93939sin3cos33AB=| t1 |t 2 |

9、 ， t19sin3cos()0 ，, t2，則 l ( )cos， l ()2222令 lcossinsincossincos sin331所以， tan1,o)mino938 3 注意：本題可以取 傾斜角的補(bǔ)tan9(3) 33150 ， l(l (150)oocos150sin150角為如 過(guò)拋物線 y 28x 的焦點(diǎn) F 作傾斜角為的直線，交拋物線于 A, B 兩點(diǎn)，求線段 AB 的長(zhǎng)度 .解：對(duì)此拋物線有 e1, p4 ，4所以拋物線的極坐標(biāo)方程為14， A, B 兩點(diǎn)的極坐標(biāo)分別為和 5， |FA|4 (1cos4) 4(22) ，|FB|4(1 cos5 4)4(22) ，cos

10、44|AB| |FA|FB|16 .線段 AB 的長(zhǎng)度為 16.5. 參數(shù)方程的應(yīng)用 -求最值： 如：已知點(diǎn) P( x, y) 是圓 x2y22y 上的動(dòng)點(diǎn)，（ 1）求 2xy 的取值范圍；（ 2）若 x y a0恒成立，求實(shí)數(shù)a 的取值范圍。 51, 51 . （2） xyacossin 1a 0 2 1,) .如：在橢圓x 2y 21 上找一點(diǎn)，使這一點(diǎn)到直線x2 y12 0 的距離的最小值.解：設(shè)橢圓的參數(shù)方程為x4cos，1612y2 3sind4cos43sin124 5 cos3sin34 5 2cos()3當(dāng) cos()1 ，即5時(shí)， dmin4 5，此5553335時(shí)所求點(diǎn)為

11、(2,3) .C.選修 4 4 參數(shù)方程與極坐標(biāo)已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與 x 軸的正半軸重合。 若曲線 C 1 的方程為28 sin 15 ，x2 2 cos ,為參數(shù)）。曲線 C 2 的方程為(y 2 sin（ 1）將 C1 的方程化為直角坐標(biāo)方程；（ 2）若 C2 上的點(diǎn) Q 對(duì)應(yīng)的參數(shù)為 =3， P 為 C1 上的動(dòng)點(diǎn)，求PQ 的最小值。4提示：（ 1） x2y28y15 0（2）當(dāng)3時(shí)，得 Q(2,1) ，點(diǎn) Q 到 C1 的圓心的距離為13 ， 所以 PQ 的最小值為 131 4PAB在極坐標(biāo)系中，求經(jīng)過(guò)三點(diǎn)O(0， 0)，A (2，)，B(2 2，)的圓的極

12、坐標(biāo)方程24xO解：設(shè) P( , ) 是所求圓上的任意一點(diǎn)，則OB cos() ， 故所求的圓的極坐標(biāo)方程為( 圖)OP2 2 cos() 44已知極坐標(biāo)系的極點(diǎn)與直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合，極軸與x.l的極坐標(biāo)方程為軸的正半軸重合 若直線sin() 32.4（ 1）把直線 l 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)系方程；（ 2）已知 P 為橢圓 C : x2y2x4cos，1 上一點(diǎn)（已知曲線 C 的參數(shù)方程為，）求 P 到直線 l 的y3sin為參數(shù)169距離的最大值 .解：（ 1）直線 l 的極坐標(biāo)方程sin32，則2sin2cos32 ，224即 sincos6 ，所以直線 l 的直角坐標(biāo)方程為x y

13、6 0；（ 2） P 為橢圓 C : x2y 21 上一點(diǎn)，設(shè) P(4cos, 3sin) ，其中0,2) ，169則 P 到直線 l 的距離 d|4cos3sin 6|5cos() 6 | ，其中 cos4225所以當(dāng) cos()1時(shí)， d 的最大值為 1122在極坐標(biāo)系中，圓C 的方程為22 sin(4) ，以極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，極軸為x 軸的正半軸建立平面直角坐標(biāo)系，直線 l 的參數(shù)方程為xt,（ t 為參數(shù)），判斷直線 l 和圓 C 的位置關(guān)系y1 2t解： 消去參數(shù) t ，得直線 l 的直角坐標(biāo)方程為y2x1；22(sin) 即2(sincos ) ，4兩邊同乘以得22(sincos)

14、，得 C 的直角坐標(biāo)方程為：( x1)2( x 1)22 ,圓心 C 到直線 l 的距離 d| 211|2 52，所以直線 l 和 C 相交22125x3 t 2,已知曲線 C 的極坐標(biāo)方程是2sin，直線 l 的參數(shù)方程是5（ t 為參數(shù)）y4 t5（ 1）將曲線 C 的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（ 2）設(shè)直線 l 與 x 軸的交點(diǎn)是 M ,N是曲線 C上一動(dòng)點(diǎn) ,求MN的最大值 .解：（ 1）曲線 C 的極坐標(biāo)方程可化為22 sin又 x2y22 ,xcos, ysin,所以曲線 C 的直角坐標(biāo)方程為222 y0xy（ 2）將直線 l 的參數(shù)方程化為直角坐標(biāo)方程,得 y4 ( x2)3令

15、 y 0 ,得 x 2 ,即 M 點(diǎn)的坐標(biāo)為 (2,0).又曲線 C 為圓，圓 C 的圓心坐標(biāo)為(1,0)，半徑 r1，則 MC5所以 MN MCr51在極坐標(biāo)系中，已知點(diǎn)A(，到直線l：sin()m m 0的距離為3.2 0)4uuur uuur求實(shí)數(shù) 的值；設(shè) 是直線上的動(dòng)點(diǎn)，在線段上，且滿足，12lOP gOQ 1mPQOP求點(diǎn) Q的軌跡方程，并指出軌跡是什么圖形解析： 以極點(diǎn)為原點(diǎn)，極軸為軸的正半軸，建立直角坐標(biāo)系，則點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(，1xA2 0)直線 的直角坐標(biāo)方 程為x y2m因?yàn)?到直線 的距離d| 22m |，所以m 2.l0.Al21 m 301012由1得直線 的方程為s

16、in()設(shè)P(，則l2.0, 0),Q( , ).400因?yàn)辄c(diǎn) P( 0，0 )在直線 l 上，所以 r0sin(0)2.將代入，得 1 sin() 2，44即1這就是點(diǎn)的軌跡方 程sin()Q24化為直角坐標(biāo)方程為22221因此點(diǎn) 的軌跡是以131(x)( y)(，)為圓心， 為半徑的圓16.Q44884變式訓(xùn)練(2010g浙江卷 )如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，已知曲線：C:4sin()；142C:4cos(或3；22)422C:4(0)321 求由曲線 C1， C2， C3圍成的區(qū)域的面積；2 設(shè)M (4， )，N 2,0 ，射線(0，)與242曲線 C1， C2分別交于 A， B(不同于極點(diǎn) O)兩點(diǎn)若線段AB的中點(diǎn)恰好落在直線 MN 上，求 tan 的值解析： 由已知，1212所以12，SOSP222 2(2) 412.S陰影部分弓形422故所求面積 S142122464.422 設(shè)AB的中點(diǎn) 為 G(，)， ONG，由題意知 ，AB2sin2cos，2sin2 ，1在OGN中，ONOG，5cos.sinOGNsin ONG5即22sin2cos，)sinsin(所以 sin