02數(shù)量積與向量積

1、一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)量積 向量積 第七七章 1m一、兩向量的數(shù)量積一、兩向量的數(shù)量積沿與力夾角為的直線移動,w1. 定義定義設(shè)向量的夾角為 ,稱 記作數(shù)量積 (點積) .引例引例. 設(shè)一物體在常力 f 作用下, f位移為 s , 則力f 所做的功為cossfsfw2mbacosba的與為baba,s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0baba2. 性質(zhì)性質(zhì)為兩個非零向量, 則有aa) 1 (2aba,)2(機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 0cos2bababa20cos0cos0bababa證明：證

2、明：(3)兩個非零向量的夾角的余弦babacos3. 運算律運算律(1) 交換律(2) 結(jié)合律),(為實數(shù)abbaba)()( ba)(ba)()(ba)(ba)(ba(3) 分配律cbcacba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 abcabc例例1. 證明三角形余弦定理cos2222abbac證證:則cos2222abbac如圖 . 設(shè),abc,baccbabac2c)()(babaaabbba22a2bcos2baccbbaa,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 數(shù)量積的坐標(biāo)表示數(shù)量積的坐標(biāo)表示設(shè)則 212121222111zzyyxxkzjyixkzjyixba2222222121212

3、12121coszyxzyxzzyyxxbaba兩向量的夾角公式兩向量的夾角公式 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 ,222111kzjyixbkzjyixa. i j kijk 1 0 0 0 1 0 0 0 1mb,ma bm例例2. 已知三點, )2,1 ,2(),1 ,2,2(, )1 , 1 , 1(bam amb . a解解:, 1, 1 0, 1,0 1則ambcos10022213amb求mbmama mb故機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 二、兩向量的向量積二、兩向量的向量積引例引例. 設(shè)o 為杠桿l 的支點 , 有一個與杠桿夾角為oqolpq符合右手規(guī)則oqffsino

4、psinopmfopopm m矩是一個向量 m :的力 f 作用在杠桿的 p點上 ,則力 f 作用在杠桿上的力fopfmfm 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 1. 定義定義定義向量方向 :(叉積)記作且符合右手規(guī)則模 :向量積 ,，的夾角為設(shè)ba,c,acbccsinabbac稱c的與為向量babacba引例中的力矩fopm思考思考: 右圖三角形面積abba21s機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 2. 性質(zhì)性質(zhì)為非零向量, 則，0sin或即0aa) 1 (0ba,)2(0baba,0,0時當(dāng)baba0basinab03. 運算律運算律(2) 分配律(3) 結(jié)合律(證明略)abcba )(

5、cbcaba )()( ba)(baba) 1 (證明證明:機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 4. 向量積的坐標(biāo)表示式向量積的坐標(biāo)表示式 i j kijk 0 k -j-k 0 i j -i 0,222111kzjyixbkzjyixa設(shè)機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 kyxyxjzxzxizyzyzziyzjxzizyyykxyjzxkyxxxkzjyixkzjyixba122112211221212121212121212121222111000則向量積的行列式計算法向量積的行列式計算法機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 222111122112211221222111zyxzyxk

6、jikyxyxjzxzxizyzykzjyixkzjyixba說明：在計算時，按照行列式的第一行展開說明：在計算時，按照行列式的第一行展開舉例,3,22kjibkjia設(shè)baba ,求ba131221kji 5261123211bakji38例例4. 已知三點, )7,4,2(),5,4,3(, )3,2, 1(cba角形 abc 的面積 解解: 如圖所示,cbasabc21kji222124)(21,4,622222)6(42114sin21ab ac21acab求三機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 思考與練習(xí)思考與練習(xí)1. 設(shè)計算并求夾角 的正弦與余弦 .)3, 1, 1 (,321co

7、s1211sin答案答案:2. 用向量方法證明正弦定理:ccbbaasinsinsinba,1baba,2jibkjia,baba及babcac機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 證證: 由三角形面積公式acbsinbacsinbbaasinsin所以ccsincbasin因babcacabacsabc21bcba21cacb21abacbcbacacb機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22343cos322)2(17備用題備用題1. 已知向量的夾角且解：解：,43ba ,. |ba 求, 2|a, 3|b2ba)()(babaaaba2bb22cos2bbaa17ba機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 22200)2(211abcd在頂點為三角形中, , ) 2 , 1, 1 ( a)0, 1 , 1 (b的和) 1,3, 1(c求 ac