一輪北師大版理數(shù)學(xué)教案：第7章 第4節(jié)　垂直關(guān)系 Word版含解析

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5第四節(jié)垂直關(guān)系考綱傳真1.以立體幾何的定義、公理和定理為出發(fā)點，認(rèn)識和理解空間中線面垂直的有關(guān)性質(zhì)與判定定理.2.能運用公理、定理和已獲得的結(jié)論證明一些空間圖形的垂直關(guān)系的簡單命題1直線與平面垂直(1)定義：如果一條直線和一個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個平面垂直(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么該直線與此平面垂直l性質(zhì)定理如果兩條直線同垂直于一個平面，那么這兩條直線平行 ab2.二面角(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個半平面所組成的圖形叫作二面角這條直線叫作二面角的棱，這兩個半平面叫作

2、二面角的面(2)二面角的度量二面角的平面角：以二面角的棱上任一點為端點，在兩個半平面內(nèi)分別作垂直于棱的兩條射線，這兩條射線所成的角叫作二面角的平面角平面角是直角的二面角叫作直二面角3平面與平面垂直(1)定義：兩個平面相交，如果所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直(2)定理文字語言圖形語言符號語言判定定理如果一個平面經(jīng)過另一個平面的垂線，那么這兩個平面互相垂直性質(zhì)定理兩個平面垂直，則一個平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個平面垂直l1(思考辨析)判斷下列結(jié)論的正誤(正確的打“”，錯誤的打“×”)(1)直線l與平面內(nèi)的無數(shù)條直線都垂直，則l.()(2)垂直于同一個平面的兩平面平行()

3、(3)若兩條直線與一個平面所成的角相等，則這兩條直線平行()(4)若兩個平面垂直，則其中一個平面內(nèi)的任意一條直線垂直于另一個平面()答案(1)×(2)×(3)×(4)×2(教材改編)設(shè)，是兩個不同的平面，l，m是兩條不同的直線，且l，m.()a若l，則b若，則lmc若l，則d若，則lmal，l，(面面垂直的判定定理)，故a正確3(20xx·浙江高考)已知互相垂直的平面，交于直線l，若直線m，n滿足 m，n，則()amlbmncnldmncl，l.n，nl.4如圖7­4­1，已知pa平面abc，bcac，則圖中直角三角形的個數(shù)

4、為_圖7­4­14pa平面abc，paab，paac，pabc，則pab，pac為直角三角形由bcac，且acpaa，bc平面pac，從而bcpc.因此abc，pbc也是直角三角形5邊長為a的正方形abcd沿對角線bd折成直二面角，則折疊后ac的長為_. 【導(dǎo)學(xué)號：57962336】a如圖所示，取bd的中點o，連接ao，co，則aoc是二面角a­bd­c的平面角即aoc90°，又aocoa，aca，即折疊后ac的長(ac)為a.線面垂直的判定與性質(zhì)如圖7­4­2，在三棱錐a­bcd中，ab平面bcd，cdbd. 圖

5、7­4­2(1)求證：cd平面abd；(2)若abbdcd1，m為ad中點，求三棱錐a­mbc的體積解(1)證明：因為ab平面bcd，cd平面bcd，所以abcd.2分又因為cdbd，abbdb，ab平面abd，bd平面abd，所以cd平面abd.5分(2)由ab平面bcd，得abbd.又abbd1，所以sabd×12.8分因為m是ad的中點，所以sabmsabd.根據(jù)(1)知，cd平面abd，則三棱錐c­abm的高h(yuǎn)cd1，故va­mbcvc­abmsabm·h.12分規(guī)律方法1.證明直線和平面垂直的常用方法：(

6、1)判定定理；(2)垂直于平面的傳遞性(ab，ab)；(3)面面平行的性質(zhì)(a，a)；(4)面面垂直的性質(zhì)2證明線面垂直的核心是證線線垂直，而證明線線垂直則需借助線面垂直的性質(zhì)因此，判定定理與性質(zhì)定理的合理轉(zhuǎn)化是證明線面垂直的基本思想變式訓(xùn)練1如圖7­4­3所示，已知ab為圓o的直徑，點d為線段ab上一點，且addb，點c為圓o上一點，且bcac，pd平面abc，pddb.圖7­4­3求證：pacd.證明因為ab為圓o的直徑，所以accb，在rtabc中，由acbc，得abc30°.3分設(shè)ad1，由3addb，得db3，bc2，由余弦定理得cd

7、2db2bc22db·bccos 30°3，所以cd2db2bc2，即cdao.8分因為pd平面abc，cd平面abc，所以pdcd，由pdaod，得cd平面pab，又pa平面pab，所以pacd.12分面面垂直的判定與性質(zhì)(20xx·鄭州調(diào)研)如圖7­4­4，三棱臺def­abc中，ab2de，g，h分別為ac，bc的中點 圖7­4­4(1)求證：bd平面fgh；(2)若cfbc，abbc，求證：平面bcd平面egh.證明(1)如圖所示，連接dg，cd，設(shè)cdgfm，連接mh.1分在三棱臺def­abc

8、中，ab2de，g為ac的中點，可得dfgc，dfgc，所以四邊形dfcg為平行四邊形.3分則m為cd的中點，又h為bc的中點，所以hmbd，由于hm平面fgh，bd平面fgh，故bd平面fgh.5分(2)連接he，ce，cd.因為g，h分別為ac，bc的中點，所以ghab.6分由abbc，得ghbc.又h為bc的中點，所以efhc，efhc，因此四邊形efch是平行四邊形，所以cfhe.10分由于cfbc，所以hebc.又he，gh平面egh，heghh.所以bc平面egh.又bc平面bcd，所以平面bcd平面egh.12分規(guī)律方法1.面面垂直的證明的兩種思路：(1)用面面垂直的判定定理，即

9、先證明其中一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線；(2)用面面垂直的定義，即證明兩個平面所成的二面角是直二面角，把證明面面垂直的問題轉(zhuǎn)化為證明平面角為直角的問題2垂直問題的轉(zhuǎn)化關(guān)系： 變式訓(xùn)練2如圖7­4­5，在三棱錐p­abc中，平面pab平面abc，papb，m，n分別為ab，pa的中點圖7­4­5(1)求證：pb平面mnc；(2)若acbc，求證：pa平面mnc.證明(1)因為m，n分別為ab，pa的中點，所以mnpb，2分又因為mn平面mnc，pb平面mnc，所以pb平面mnc.5分(2)因為papb，mnpb，所以pamn.因為acbc，a

10、mbm，所以cmab.7分因為平面pab平面abc，cm平面abc，平面pab平面abcab.所以cm平面pab.10分因為pa平面pab，所以cmpa.又mncmm，所以pa平面mnc.12分平行與垂直的綜合問題角度1多面體中平行與垂直關(guān)系的證明(20xx·江蘇高考)如圖7­4­6，在直三棱柱abc­a1b1c1中，d，e分別為ab，bc的中點，點f在側(cè)棱b1b上，且b1da1f，a1c1a1b1.圖7­4­6求證：(1)直線de平面a1c1f；(2)平面b1de平面a1c1f.證明(1)在直三棱柱abc­a1b1c1中，

11、a1c1ac.在abc中，因為d，e分別為ab，bc的中點，所以deac，于是dea1c1.3分又因為de平面a1c1f，a1c1平面a1c1f，所以直線de平面a1c1f.5分(2)在直三棱柱abc­a1b1c1中，a1a平面a1b1c1.因為a1c1平面a1b1c1，所以a1aa1c1.7分又因為a1c1a1b1，a1a平面abb1a1，a1b1平面abb1a1，a1aa1b1a1，所以a1c1平面abb1a1.因為b1d平面abb1a1，所以a1c1b1d.10分又因為b1da1f，a1c1平面a1c1f，a1f平面a1c1f，a1c1a1fa1，所以b1d平面a1c1f.因為

12、直線b1d平面b1de，所以平面b1de平面a1c1f.12分規(guī)律方法1.三種垂直的綜合問題，一般通過作輔助線進(jìn)行線線、線面、面面垂直間的轉(zhuǎn)化2垂直與平行結(jié)合問題，求解時應(yīng)注意平行、垂直的性質(zhì)及判定的綜合應(yīng)用角度2平行垂直中探索開放問題(20xx·秦皇島調(diào)研)如圖7­4­7(1)所示，在rtabc中，c90°，d，e分別為ac，ab的中點，點f為線段cd上的一點，將ade沿de折起到a1de的位置，使a1fcd，如圖7­4­7(2)所示(1)(2)圖7­4­7(1)求證：a1fbe；(2)線段a1b上是否存在點q，

13、使a1c平面deq？并說明理由. 【導(dǎo)學(xué)號：57962337】證明(1)由已知，得acbc，且debc.所以deac，則dedc，deda1，因為dcda1d，所以de平面a1dc.2分由于a1f平面a1dc，所以dea1f.又因為a1fcd，cdded，所以a1f平面bcde，又be平面bcde，所以a1fbe.5分(2)線段a1b上存在點q，使a1c平面deq.6分理由如下：如圖，分別取a1c，a1b的中點p，q，連接pq，則pqbc.又因為debc，則depq.所以平面deq即為平面deqp.9分由(1)知，de平面a1dc，所以dea1c.又因為p是等腰三角形da1c底邊a1c的中點，

14、所以a1cdp.又dpded，所以a1c平面deqp.從而a1c平面deq.故線段a1b上存在點q，使得a1c平面deq.12分規(guī)律方法1.對命題條件探索性的主要途徑：(1)先猜后證，即先觀察與嘗試給出條件再證明；(2)先通過命題成立的必要條件探索出命題成立的條件，再證明充分性2平行(垂直)中點的位置探索性問題：一般是先根據(jù)條件猜測點的位置再給出證明，探索點存在問題，點多為中點或三等分點中某一個，也可以根據(jù)相似知識建點.線面角的求法與應(yīng)用(20xx·浙江高考)如圖7­4­8，在三棱臺abc­def中，平面bcfe平面abc，acb90°，bee

15、ffc1，bc2，ac3.圖7­4­8(1)求證：bf平面acfd；(2)求直線bd與平面acfd所成角的余弦值解(1)證明：延長ad，be，cf相交于一點k，如圖所示.1分因為平面bcfe平面abc，且acbc，所以ac平面bck，3分因此，bfac.又因為efbc，beeffc1，bc2，所以bck為等邊三角形，且f為ck的中點，則bfck.所以bf平面acfd.5分(2)因為bf平面ack，所以bdf是直線bd與平面acfd所成的角.8分在rtbfd中，bf，df，得cosbdf，所以直線bd與平面acfd所成角的余弦值為.12分規(guī)律方法1.利用綜合法求空間角的步驟：

16、(1)找：根據(jù)圖形找出相關(guān)的線面角或二面角(2)證：證明找出的角即為所求的角(3)算：根據(jù)題目中的數(shù)據(jù)，通過解三角形求出所求角2線面角的求法：找出斜線在平面上的射影，關(guān)鍵是作垂線，找垂足，要把線面角轉(zhuǎn)化到一個三角形中求解變式訓(xùn)練3如圖7­4­9，在四棱錐p­abcd中，pa底面abcd，abad，accd，abc60°，paabbc，e是pc的中點圖7­4­9(1)求pb和平面pad所成的角的大??；(2)證明：ae平面pcd.解(1)在四棱錐p­abcd中，pa底面abcd，ab平面abcd，故paab.又abad，paada，從而ab平面pad，2分故pb在平面pad內(nèi)的射影為pa，從而apb為pb和平面pad所成的角在rtpab中，abpa，故apb45°.pb和平面pad所成的角的大小為45°.5分(2)證明：在四棱錐p­abcd中，pa底面abcd，cd平面abcd，故cdpa.由條件cdac，paaca，cd平面pac.7分又ae平面pac，aecd.由paabbc，abc60°，可得acpa.e是pc的中點，aepc.10分又pccdc，故ae平面pcd.12分思想與方法1證明線面垂直的方法：(1