高考數(shù)學(xué)理一輪知識點專題講座：線面、面面垂直的判定與性質(zhì)含答案

1、高考數(shù)學(xué)精品復(fù)習(xí)資料 2019.5【名師面對面】20xx屆數(shù)學(xué)一輪知識點講座：考點40線面、面面垂直的判定與性質(zhì)（解析版）加（*）號的知識點為了解內(nèi)容，供學(xué)有余力的學(xué)生學(xué)習(xí)使用一.考綱目標(biāo)線面、面面垂直的定義、判定定理與性質(zhì)定理及應(yīng)用.二知識梳理1.線面垂直定義：如果一條直線和一個平面相交，并且和這個平面內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說這條直線和這個平面互相垂直,其中直線叫做平面的垂線，平面叫做直線的垂面,交點叫做垂足直線與平面垂直簡稱線面垂直，記作：a2.直線與平面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直于這個平面3.直線和平面垂直的性質(zhì)定理:如果兩條直

2、線同垂直于一個平面,那麼這兩條直線平行4.三垂線定理 在平面內(nèi)的一條直線，如果它和這個平面的一條斜線的射影垂直，那么它也和這條斜線垂直說明：（1）定理的實質(zhì)是判定平面內(nèi)的一條直線和平面的一條斜線的垂直關(guān)系；（2）推理模式： 5.三垂線定理的逆定理：在平面內(nèi)的一條直線，如果和這個平面的一條斜線垂直，那麼它也和這條斜線的射影垂直推理模式： 注意：三垂線指pa，po，ao都垂直內(nèi)的直線a 其實質(zhì)是：斜線和平面內(nèi)一條直線垂直的判定和性質(zhì)定理要考慮a的位置，并注意兩定理交替使用6.兩個平面垂直的定義：兩個相交成直二面角的兩個平面互相垂直；相交成直二面角的兩個平面叫做互相垂直的平面7.兩平面垂直的判定定理

3、： 如果一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，那么這兩個平面互相垂直推理模式：，8.兩平面垂直的性質(zhì)定理： 若兩個平面互相垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們的交線的直線垂直于另一個平面推理模式： 9.向量法證明直線與平面、平面與平面垂直的方法：證明直線與平面垂直的方法：直線的方向向量與平面的法向量平行；證明平面與平面垂直的方法：兩平面的法向量垂直三考點逐個突破1.線面位置關(guān)系的判定例1.（1）設(shè)兩個平面，直線l，下列三個條件：l；l；.若以其中兩個作為前提，另一個作為結(jié)論，則可構(gòu)成三個命題，這三個命題中正確命題的個數(shù)為()a3 b2 c1 d0答案c解析； l，此時可能l，/ l，此時l與還可能平行

4、、斜交，故選c.(2)設(shè)l，m是兩條不同的直線，是一個平面，則下列命題正確的是()a若lm，m，則lb若l，m，則lmc若l，lm，則md若l，m，則lm答案b解析直線垂直于平面中兩條相交直線，才能垂直于平面，故a錯；c中m可能包含在平面中；d中兩條直線可能平行、相交或異面（3）若l為一條直線，、為三個互不重合的平面，給出下面三個命題：，；，；l，l.其中的真命題有()a0個 b1個 c2個 d3個答案c解析中與可能平行，故錯，正確2.線面垂直的判定與性質(zhì)例2. 如圖，四邊形abcd為正方形，qa平面abcd，pdqa，qaabpd.(1)證明：pq平面dcq；(2)求棱錐qabcd的體積與棱

5、錐pdcq的體積的比值解析(1)由條件知pdaq為直角梯形因為qa平面abcd，所以平面pdaq平面abcd，交線為ad.又四邊形abcd為正方形，dcad，所以dc平面pdaq，可得pqdc.在直角梯形pdaq中可得dqpqpd，則pqqd.所以pq平面dcq.(2)設(shè)aba.由題設(shè)知aq為棱錐qabcd的高，所以棱錐qabcd的體積v1a3，由(1)知pq為棱錐pdcq的高，而pqa，dcq的面積為a2，所以棱錐pdcq的體積v2a3.故棱錐qabcd的體積與棱錐pdcq的體積的比值為1.3.面面垂直的判定與性質(zhì)例3. (1)已知點p是菱形abcd外一點，dab60°，其邊長為a

6、，側(cè)面pad是正三角形，其所在平面垂直于底面abcd，g為ad的中點(1)求證：adpb；(2)若e為bc邊中點，能否在棱pc上找一點f，使平面def平面abcd.并證明你的結(jié)論分析(1)要證adpb，pad為正三角形，g為ad中點，adpg，故只需證明ad平面pbg即可(2)假設(shè)存在點f使平面def平面abcd，則平面def必過平面abcd的垂線，由于pg平面abcd，而pg不可能在平面def內(nèi)，故需過直線de作平面pbg的平行平面，由此可得點f的位置解析(1)證明：連接bg、pg.四邊形abcd是菱形且dab60°.bgad.又pad為正三角形，且g是ad中點，pgad.pgbg

7、g，ad平面pbg.又pb平面pbg，adpb.(2)當(dāng)f是pc中點時，平面def平面abcd.證明如下：取pc的中點f，連接de、ef、df.在pbc中，efpb.在菱形abcd中，bgde.平面def平面pgb.平面pad平面abcd，pgad.pg平面abcd.又pg平面pgb.平面pgb平面abcd.平面def平面abcd.(2) 如圖所示，abc為正三角形，ec平面abc，bdce，ecca2bd，m是ea的中點求證：(1)deda；(2)平面bdm平面eca.證明(1)如圖所示，取ec中點f，連接df.ec平面abc，bdec，bd平面abc，bdab，bdec，bdecfc，ec

8、bc.四邊形fcbd是矩形，dfec.又babcdf，rtdefrtadb，deda.(2)如圖所示，取ac中點n，連接mn、nb，m是ea的中點，mn/ec.由bd/ec，且bd平面abc，可得四邊形mnbd是矩形，于是dmmn.deda，m是ea的中點，dmea.又eamnm，dm平面eca，而dm平面bdm，平面eca平面bdm.4.射影、體積、點面距離問題例4.(1) 在正三棱柱abca1b1c1中，若ab2，aa11，則點a到平面a1bc的距離為()a. b. c. d.答案b解析解法1：取bc中點e，連接ae、a1e，過點a作afa1e，垂足為f.a1a平面abc，a1abc，abac.aebc.bc平面aea1.bcaf，又afa1e，af平面a1bc.af的長即為所求點a到平面a1bc的距離aa11，ae，af.解法2：va1abcsabc·aa1××1.又a1ba1c，在a1be中，a1e2.sa1bc×2×22.vaa1bc×sa1bc·hh.h，h.點a到平面a1bc距離為.(2)若正四棱柱abcda1b1c1d1的