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1、2sin2sin2coscos2cos2cos2coscos2sin2cos2sinsin2cos2sin2sinsin ctgctgctgctgctgtgtgtgtgtg 1)(1)(sinsincoscos)cos(sincoscossin)sin( 23333133cos3cos43cossin4sin33sintgtgtgtg 222222122212sincossin211cos22coscossin22sintgtgtgctgctgctg 和差角公式和差角公式和差化積和差化積倍角公式倍角公式第一章 習(xí)題課 本章內(nèi)容小結(jié) 本章題型小結(jié) 作業(yè)問(wèn)題 總復(fù)習(xí)題一 課堂練習(xí)第一章第一章 函數(shù)

2、與極限函數(shù)與極限本章內(nèi)容小結(jié)本章內(nèi)容小結(jié)函數(shù)函數(shù) 極限極限連續(xù)連續(xù) 概念概念性質(zhì)性質(zhì)計(jì)算法計(jì)算法 法則、準(zhǔn)則法則、準(zhǔn)則無(wú)窮小的性質(zhì)無(wú)窮小的性質(zhì)定義、左右極限定義、左右極限重要極限重要極限等價(jià)代換等價(jià)代換連續(xù)性連續(xù)性 概念概念性質(zhì)性質(zhì)(函數(shù)(函數(shù)基本初等函數(shù)基本初等函數(shù)初等函數(shù))初等函數(shù)) 基本結(jié)論基本結(jié)論初等函數(shù)的連續(xù)性初等函數(shù)的連續(xù)性閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 題型小結(jié)題型小結(jié)2.2. 極限的計(jì)算極限的計(jì)算1.1. 有關(guān)函數(shù)概念的命題有關(guān)函數(shù)概念的命題求定義域;有界性、奇偶性、單調(diào)性分析、復(fù)合函數(shù)求定義域;有界性、奇偶性、單調(diào)性分析、復(fù)合函數(shù)等。等。3.3. 連續(xù)性的討論連

3、續(xù)性的討論分段函數(shù)連續(xù)性的討論;判別間斷點(diǎn)的類型分段函數(shù)連續(xù)性的討論;判別間斷點(diǎn)的類型4.4. 其他其他無(wú)窮小的比較;無(wú)窮小的比較; 方程的根的分析方程的根的分析等。等。用定義證明極限;用定義證明極限; 不定式的極限;不定式的極限;分段函數(shù)的極限分段函數(shù)的極限 等。等。0,1,00 解解: : 4(2)(2)yxx 21,x即即 設(shè)設(shè) 13,x從而從而 于是于是 325,x4(2)(2)52yxxx 要使要使 只要只要 于是取于是取 40.001,y520.001,x0.001min 1,0.0002.5 當(dāng)當(dāng) 時(shí)時(shí), , 問(wèn)問(wèn) 等于多少等于多少, ,則當(dāng)則當(dāng)2x 時(shí)時(shí), ,40.001?y1

4、.1.習(xí)題習(xí)題13,p38. 32x 24.yx 是否唯一?是否唯一? 2. 習(xí)題習(xí)題14 ,p42,6 cos(,)yxxx 函函數(shù)數(shù)在在上上是是否否有有界界?這這個(gè)個(gè)函函數(shù)數(shù)是是否否為為時(shí)時(shí)的的無(wú)無(wú)窮窮大大?為為什什么么?分析:分析:有界有界mxfxm |)(|),(,0有有使使|() | |cos|cos,fxxxxxm 要要 使使 0 xcos1,1x 使使非非 零零 常常 數(shù)數(shù) ( 比比 如如) 的的 點(diǎn)點(diǎn) ; 取取 取取;xx使使很很大大2,0, 1, 2,kxkk 如如無(wú)界無(wú)界mxfxm |)(|),(,000使使mkxfk 2)(,),2kmxk 則則且且 只只 要要就就 有有

5、無(wú)無(wú)界界;在在),()( xf1) ,0 m2,0, 1, 2,kxkk 取取解解: 11sin01yxx , ,3.習(xí)題習(xí)題14,p42,7證明:函數(shù)證明:函數(shù) 在區(qū)間在區(qū)間 上無(wú)界,但這函上無(wú)界,但這函數(shù)不是數(shù)不是 時(shí)的無(wú)窮大。時(shí)的無(wú)窮大。0 x 1()2sin20.y xkkm 當(dāng)當(dāng)k充分大時(shí),充分大時(shí), 但但1,x 但函數(shù)不是但函數(shù)不是 時(shí)的無(wú)窮大。時(shí)的無(wú)窮大。0 x .)(1mxy0m無(wú)論正數(shù)無(wú)論正數(shù) 多小,總能找到這樣的點(diǎn)多小,總能找到這樣的點(diǎn) , 1x使使 但是但是10 x 11,(0,1,2),2xkk 例例如如可可取取=24.習(xí)題習(xí)題16,p56,4(3) 數(shù)列數(shù)列 的極限存

6、在。的極限存在。 2,22,222 , 證明:證明:.2), 2 , 1( ,211 xnxxnn() 數(shù)列數(shù)列 有界。用數(shù)學(xué)歸納法,有界。用數(shù)學(xué)歸納法, nx2nx () 數(shù)列數(shù)列 單調(diào)遞增。單調(diào)遞增。 nx,2)1)(2(22221nnnnnnnnnnnnxxxxxxxxxxxx 112,0, nnnnnxxxxx 即即。由極限存在準(zhǔn)則由極限存在準(zhǔn)則2知:知:.limaxnn 你能求出你能求出a的值嗎?的值嗎? 4.習(xí)題習(xí)題16,p56,4(4)0lim 11nxx證明:證明:0 x 討論:討論: 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí),10 x 當(dāng)當(dāng) 時(shí),時(shí),111nxx 111nxx對(duì)于上述兩種不同的情況,分別

7、應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則,即對(duì)于上述兩種不同的情況,分別應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則,即可得出結(jié)論??傻贸鼋Y(jié)論。5.習(xí)題習(xí)題16,p56,4(5)01lim1xxx 證明:證明:1x函數(shù)函數(shù) 表示不超過(guò)表示不超過(guò) 的最大整數(shù)。的最大整數(shù)。1x111 -1xxx 0 ,x 1 11x xx 利用夾逼準(zhǔn)則,得利用夾逼準(zhǔn)則,得0001limlim(1)lim 11xxxxxx 01lim1xxx 01lim1xxx 利用消去零因子求極限利用消去零因子求極限(9)解:解:),(11lim1是自然數(shù)是自然數(shù)nmxxnmx )1)(1()1)(1(lim11lim212111 xxxxxxxxxxnnmmxnmx)1()1(lim2

8、1211 xxxxxxnnmmxnm ., )1(,00:將將分分子子分分母母分分解解因因式式因因子子須須消消去去分分子子分分母母中中的的零零型型此此極極限限為為分分析析 x 利用消去零因子求極限利用消去零因子求極限(10)解一:解一:11lim31 xxx)1)(1)(1()1)(1)(1(lim11lim2131322121313231131 xxxxxxxxxxxx32 故故時(shí)時(shí)當(dāng)當(dāng)令令, 1,1),0(6 txttx)1)(1()1)(1(lim3132211 xxxxxx)1()1(lim3132211 xxxx解二:解二:11lim231 ttt原式原式 利用第一重要極限求極限利用

9、第一重要極限求極限 習(xí)題習(xí)題19,p69,3(6)解:解:axaxax sinsinlimaxaxaxax 2cos2sin2lim原式原式2coslim22sinlimaxaxaxaxax acos 6.利用第二重要極限求極限利用第二重要極限求極限 習(xí)題習(xí)題19,p69,4(5)123lim6xxxx 解:解:3 (1 )2 ( 6)631231limlim1663xxxxxxxxx 32e 7. 利用無(wú)窮小代換求極限利用無(wú)窮小代換求極限 習(xí)題習(xí)題19,p69,4(6)201tan1sinlim1sinxxxxxx解:解: 20021tan1sinlim1sintan (1cos )lim1

10、sin11tan1sinxxxxxxxxxxxxx 002tan1coslimlim1tan1sin1sin1xxxxxxxx 20212l i m1s i n2xxx1 12 212 總習(xí)題一總習(xí)題一3.選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中有一個(gè)正確的結(jié)論:選擇以下題中給出的四個(gè)結(jié)論中有一個(gè)正確的結(jié)論:設(shè)設(shè) ,則當(dāng),則當(dāng) 時(shí),有(時(shí),有( )( )232xxf x 0 x(a) 與與x 是等價(jià)無(wú)窮小是等價(jià)無(wú)窮小( )f x(b) 與與x 同階但非等價(jià)無(wú)窮小同階但非等價(jià)無(wú)窮小( )f x(c) 是比是比x 高階的無(wú)窮小高階的無(wú)窮小( )f x(d) 是比是比x 低階的無(wú)窮小低階的無(wú)窮小( )f xb解

11、:解:0232limxxxx ln2 ln3 xxxxxx13lim12lim00 5.設(shè)設(shè) 0.0, 0)(,0.0, 0)(2xxxxgxxxxf ( ), ( ), ( ), ( ).f f xg g xf g xg f x求求5.設(shè)設(shè) 0.0, 0)(,0.0, 0)(2xxxxgxxxxf( ), ( ), ( ),( ).ff xg g xf g xg f x求求解:解: 0)()(0)(0)(xfxfxfxff 000 xxx)(xf 0)()(0)(0)(xgxgxgxgf0 7 7、把半徑為、把半徑為r r的一圓形鐵片,自中心處剪去中心的一圓形鐵片,自中心處剪去中心角為角為a

12、 a的一扇形圍成一無(wú)底圓錐,試將這圓錐的的一扇形圍成一無(wú)底圓錐,試將這圓錐的體積表為體積表為a a的函數(shù)的函數(shù)解:所求體積為解:所求體積為v v,則,圓錐的底圓半徑,則,圓錐的底圓半徑22rrr圓錐的高:圓錐的高:22rrh22)22(rrrhrv23122234)2(24r)20(;)1232(lim)3(1 xxxx解:原式解:原式 121211 limxxxee 1212122121121211lim xxxx11lim(1)lim(1)xxttexte 提提示示:2121221211 lim21211 lim xxxxx9.9. (5)10lim() . (0,0,0)3xxxxxab

13、cabc解:解:11003lim()lim(1)33xxxxxxxxxxabcabc 3abc xcbaxxxx33lim0 xcxbxaxxxxxx31lim31lim31lim000 3ln3lnlnlnabccba 3lnabce 原式原式xcbacbaxxxxxxxxxxcba33330)331(lim 0 9.(6)利用第二重要極限求極限利用第二重要極限求極限(sin1)tan1tansin122lim(sin )lim (1sin1)xxxxxxxx xxxtan)1(sinlim2 xxxcot1sinlim2 )2tan(1)2cos(lim2xxx )2()2(lim22xx

14、x 0 10 e原原式式011. 01),1ln(0,)(11xxxexfx( )f x求求的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),并并指指明明間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)所所屬屬類類型型?解解:( )( )f xf x由由于于在在各各分分段段區(qū)區(qū)間間上上都都是是初初等等函函數(shù)數(shù),故故間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)只只可可能能是是使使無(wú)無(wú)定定義義的的點(diǎn)點(diǎn)或或者者分分段段點(diǎn)點(diǎn)。1111( )xxexf x 在在處處無(wú)無(wú)定定義義,顯顯然然是是的的一一個(gè)個(gè)間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。1x 所所以以為為第第二二類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。0 x 在在分分段段點(diǎn)點(diǎn)處處,1111lim( )limxxxf xe 因因?yàn)闉?1111lim)(limxxxexf0, 00lim( )li

15、m ln(1)0 xxf xx11001lim()limxxxf xee 0( )xf x 所所以以也也為為的的間間斷斷點(diǎn)點(diǎn),且且為為第第一一類類間間斷斷點(diǎn)點(diǎn)。11.證明證明. 1)12111(lim222 nnnnn12 nn. 1111lim1lim22 nnnnn證明證明:因:因 nnnn22212111nnn 2且且1111limlim2 nnnnnn故由故由數(shù)列極限的夾逼定理數(shù)列極限的夾逼定理:. 1)12111(lim222 nnnnn14. 如果存在直線如果存在直線 ,使得當(dāng),使得當(dāng) :l y kx b ()xxx 或或,時(shí),曲線時(shí),曲線y=f(x)上的動(dòng)點(diǎn)上的動(dòng)點(diǎn)m(x,y)到

16、直線到直線l的距離的距離d(m,l) 0,則稱則稱l為曲線為曲線y=f(x)的漸近線。當(dāng)直線的漸近線。當(dāng)直線l的斜率的斜率k0時(shí),稱時(shí),稱l為為斜漸近線斜漸近線(1) (1) 證明:直線證明:直線l:y=kx+b為曲線為曲線y=f(x)的漸近線的的漸近線的充要條件是充要條件是 ()lim, lim()xxxxxxfxkbfxkxx (2) 求曲線求曲線 的斜漸近線。的斜漸近線。1( 21 )xyxe xolm pcny=f(x)y=kx+byyxolm pcny=f(x)y=kx+b(1) 證明:先證證明:先證必要性必要性已知直線已知直線l:y=kx+b為曲線為曲線y=f(x)的漸近線的漸近線

17、,為了確定它,就必須求為了確定它,就必須求出其中的常數(shù)出其中的常數(shù)k與與b。為此,觀察為此,觀察曲線上動(dòng)點(diǎn)曲線上動(dòng)點(diǎn)p到漸近線的距離。到漸近線的距離。21cos()() (1)1pnpmfxkxbk 根據(jù)漸近線的定義,當(dāng)根據(jù)漸近線的定義,當(dāng) 時(shí),時(shí), ,從而由從而由(1)式應(yīng)有式應(yīng)有 x 0pn lim( )()0 (2)xf xkxb 或或 lim() (3)xfxkxb 又由又由 ( )1limlim( )00 xxf xkf xkxbxx 得到得到( )lim (4)xf xkx 于是,若曲線于是,若曲線 y=f(x)有斜漸近線有斜漸近線 y=kx+b, 則其中常數(shù)則其中常數(shù)k與與b,可

18、由,可由(4)式、式、(3)式來(lái)確定。式來(lái)確定。充分性充分性 略。略。由此可知,求曲線的斜漸近線問(wèn)題就化為求由此可知,求曲線的斜漸近線問(wèn)題就化為求(4)、(3)兩式的兩式的 極限問(wèn)題。極限問(wèn)題。解略。解略。(y=2x+1)(2) 求曲線求曲線 的斜漸近線。的斜漸近線。1( 21 )xyxe 1.1.舉例說(shuō)明舉例說(shuō)明“分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)分段函數(shù)一定不是初等函數(shù)”這種說(shuō)這種說(shuō)法法是不對(duì)的?是不對(duì)的?解:解:分段函數(shù)分段函數(shù) . 0, 0,xxxxy就是初等函數(shù)。就是初等函數(shù)。why? . 0, 0,xxxxy2xy 與與因?yàn)橐驗(yàn)槭潜硎就粋€(gè)函數(shù)。是表示同一個(gè)函數(shù)。又因又因?yàn)槌醯群瘮?shù),所以此函數(shù)為初等函數(shù)。為初等函數(shù),所以此函數(shù)為初等函數(shù)。2xy 課堂練習(xí)課堂練習(xí)例例2 2用重要極限用重要極限2 2;.)sin1tan1(lim310 xxxx 求求301sin1sintanlimxxxxx 21.21e 原式原式310)sin1tan1(limxxxx xxxxxxxsintansin10)sin1sintan1(lim exxxxxxx sintansin10)sin1sintan1(lim)sin1(sintan3xxxx 而而解:解:1 1、121sinlim22 xxxx . .

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