高中概率與統(tǒng)計(jì)復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)與題型

1、概率與統(tǒng)計(jì)知識(shí)點(diǎn)與題型3.1.1 3.1.2隨機(jī)事件的概率及概率的意義1、基本概念：(1)必然事件：在條件 S下，一定會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S的必然事件；(2)不可能事件：在條件 S下，一定不會(huì)發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件S的不可能事件；(3)確定事件：必然事件和不可能事件統(tǒng)稱為相對(duì)于條件S的確定事件；(4)隨機(jī)事件：在條件 S下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫相對(duì)于條件 S的隨機(jī)事件；(5)頻數(shù)與頻率：在相同的條件 S下重復(fù)n次試驗(yàn)，觀察某一事件 A是否出現(xiàn)，稱n次試驗(yàn)中事件 A出現(xiàn)nA的次數(shù)nA為事件A出現(xiàn)的頻數(shù)；稱事件 A出現(xiàn)的比例fn(A尸 n為事件A出現(xiàn)的概率：對(duì)于給定的隨機(jī)事件 A

2、,如果隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，事件 A發(fā)生的頻率fn(A)穩(wěn)定在某個(gè)常數(shù)上，把這個(gè)常數(shù)記作 P (A),稱為事件A的概率。nA(6)頻率與概率的區(qū)別與聯(lián)系：隨機(jī)事件的頻率，指此事件發(fā)生的次數(shù)nA與試驗(yàn)總次數(shù)n的比值n ,它具有一定的穩(wěn)定性，總在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)，且隨著試驗(yàn)次數(shù)的不斷增多，這種擺動(dòng)幅度越來(lái)越小。我們把這個(gè)常數(shù)叫做隨機(jī)事件的概率，概率從數(shù)量上反映了隨機(jī)事件發(fā)生的可能性的大小。頻率在大量重復(fù)試驗(yàn)的前提下可以近似地作為這個(gè)事件的概率3.1.3概率的基本性質(zhì)1、基本概念：(1)事件的包含、并事件、交事件、相等事件(2)若An B為不可能事件，即 An B=6,那么稱事件 A與事件B互斥；(3

3、)若An B為不可能事件，AU B為必然事件，那么稱事件 A與事件B互為對(duì)立事件；(4)當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(AU B尸P(A)+ P(B);若事件A與B為對(duì)立事件，則 AU B為必然事件，所以 P(AUB尸P(A)+ P(B)=1,于是有 P(A)=1P(B)2、概率的基本性質(zhì)：1)必然事件概率為1,不可能事件概率為 0,因此0W P(A) & 1;2)當(dāng)事件A與B互斥時(shí)，滿足加法公式：P(AUB尸P(A)+ P(B);3)若事件A與B為對(duì)立事件，則AU B為必然事件，所以P(AU B)= P(A)+ P(B)=1 ,于是有P(A)=1 P(B);4)互斥事件與對(duì)立事

4、件的區(qū)別與聯(lián)系，互斥事件是指事件 A與事件B在一次試驗(yàn)中不會(huì)同時(shí)發(fā)生，其具體包括三種不同的情形：（1）事件A發(fā)生且事件B不發(fā)生；（2）事件A不發(fā)生且事件 B發(fā)生；（3）事件A與事件B同時(shí)不發(fā)生，而對(duì)立事件是指事件A 與事件B有且僅有一個(gè)發(fā)生，其包括兩種情形；（1）事件A發(fā)生B不發(fā)生；（2）事件B發(fā)生事件A不發(fā)生，對(duì)立事件互斥事件的特殊情形。3.2.1 322古典概型及隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、（1）古典概型的使用條件：試驗(yàn)結(jié)果的有限性和所有結(jié)果的等可能性。（2 ）古典概型的解題步驟；求出總的基本事件數(shù)；A包含的基本事件數(shù)求出事件A所包含的基本事件數(shù)，然后利用公式P （A）=總的基本事件個(gè)數(shù)3.3.1 -

5、3.3.2幾何概型及均勻隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生1、基本概念：（1）幾何概率模型：如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度（面積或體積）成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型；（2）幾何概型的概率公式：構(gòu)成事件A的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體 積）P（ A）=試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域長(zhǎng)度（面積或體 積）.（1） 幾何概型的特點(diǎn)：1）試驗(yàn)中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果（基本事件）有無(wú)限多個(gè)；2）每個(gè)基本事件出現(xiàn)的可能性相等.一、隨機(jī)變量.1 .隨機(jī)試驗(yàn)的結(jié)構(gòu)應(yīng)該是不確定的.試驗(yàn)如果滿足下述條件：試驗(yàn)可以在相同的情形下重復(fù)進(jìn)行；試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)；每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些結(jié)果中的一個(gè)，但在一次

6、試驗(yàn)之前卻不能肯定這次試驗(yàn)會(huì)出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果.它就被稱為一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn).2 .離散型隨機(jī)變量：如果對(duì)于隨機(jī)變量可能取的值，可以按一定次序一一列出，這樣的隨機(jī)變量叫做離散型隨機(jī)變量.若E是一個(gè)隨機(jī)變量，a, b是常數(shù).則 a b也是一個(gè)隨機(jī)變量.一般地，若E是隨機(jī)變量，f（x）是連續(xù)函數(shù)或單調(diào)函數(shù)，則 f（）也是隨機(jī)變量.也就是說(shuō)，隨機(jī)變量的某些函數(shù)也是隨機(jī)變量.設(shè)離散型隨機(jī)變量 七可能取的值為：X1，X2，,Xi，W取每一個(gè)值X1 （i 1,2,）的概率P（ Xi） pi,則表稱為隨機(jī)變量七的概率分布，簡(jiǎn)稱 七的分布列.X1X2XiPp1p2pi有性質(zhì) pi 0,i 1,2,； pi p2Pi 1

7、.注意：若隨機(jī)變量可以取某一區(qū)間內(nèi)的一切值，這樣的變量叫做 連續(xù)型隨機(jī)變量.例如:0,5即 可以取05之間的一切數(shù)，包括整數(shù)、小數(shù)、無(wú)理數(shù) 3 .二項(xiàng)分布：如果在一次試驗(yàn)中某事件發(fā)生的概率是P,那么在n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)中這個(gè)事件恰好發(fā)生k 次的概率是：p(2 k) C：pkqnk其中 k 0,1, ,n,q 1 p于是得到隨機(jī)變量 E的概率分布如下：我們稱這樣的隨機(jī)變量E服從二項(xiàng)分布，記作 B (n-p),其中n, p 為參數(shù)，并記 Cpkqn k b(k;n p).二項(xiàng)分布的判斷與應(yīng)用.二項(xiàng)分布，實(shí)際是對(duì) n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn).關(guān)鍵是看某一事件是否是進(jìn)行n次獨(dú)立重復(fù)，且每次試驗(yàn)只有兩種結(jié)果，如果不

8、滿足此兩條件，隨機(jī)變量就不服從二項(xiàng)分布當(dāng)隨機(jī)變量的總體很大且抽取的樣本容量相對(duì)于總體來(lái)說(shuō)又比較小，而每次抽取時(shí)又只有兩種試驗(yàn)結(jié)果，此時(shí)可以把它看作獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)，利用二項(xiàng)分布求其分布列4 .幾何分布：“ k”表示在第k次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)時(shí)，事件第一次發(fā)生，如果把k次試驗(yàn)時(shí)事件 A發(fā)生記為A k ,事A不發(fā)生記為A k ,P(A k) q ,那么P(E k) P(A1 A A77a k).根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率乘法分式：P(W k) P(A1)P(A2) P(Ak 1)P(Ak) qk 1p (k 1,2,3,)于是得到隨機(jī)變量七的概率分布列123kPqqpq2pk 1q p我們稱工服從幾何分布，并記

9、 g(k, p) qk 1 p ,其中q 1 p. k 1,2,35 .超幾何分布：一批產(chǎn)品共有 N件，其中有M (Mk N)件次品，今抽取 n(1 n N)件，則其中的次品數(shù) k件，從N-M件正品中取n-k件的取法數(shù)，如果規(guī)定mv r時(shí)C/0,則k的范圍可以寫(xiě)為 k=0, 1,，n.是一離散型隨機(jī)變量，分布列為P(HCk n kM CN Mk)C(0C Nk M,0n k N M).分子是從 M件次品中取超幾何分布的另一種形式：一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，今抽取 n件(1wnwa+b),則次品數(shù)k n k上 的分布列為 P(± k) -L k 0,1, , n.Ca b超幾何

10、分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系設(shè)一批產(chǎn)品由a件次品、b件正品組成，不放回抽取n件時(shí)，其中次品數(shù)E服從超幾何分布.若放回式抽取，則其中次品數(shù)的分布列可如下求得：把 a b個(gè)產(chǎn)品編號(hào)，則抽取 n次共有(a b)n個(gè)可能結(jié)果，等可能：k k n k"k)含 Ckakbnk 個(gè)結(jié)果，故 P* k) Cna b n cn(-a-)k(1 )n k,k 0,1,2, ,n,即 B(n-a-).我 (a b) a b a ba b們先為k個(gè)次品選定位置，共 ck種選法；然后每個(gè)次品位置有a種選法，每個(gè)正品位置有b種選法可以證明：當(dāng)產(chǎn)品總數(shù)很大而抽取個(gè)數(shù)不多時(shí)，P" k) Pg k),因此二項(xiàng)分布可

11、作為超幾何分布的近似，無(wú)放回抽樣可近似看作放回抽樣.、數(shù)學(xué)期望與方差1.期望的含義：一般地，若離散型隨機(jī)變量E的概率分布為XiX2XiPpip2pi則稱EXiPi X2P2XnPn 為E的數(shù)學(xué)期望或平均數(shù)、均值.數(shù)學(xué)期望又簡(jiǎn)稱期望.數(shù)學(xué)期望反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平.2 .隨機(jī)變量a b的數(shù)學(xué)期望：E E(a b) aE b當(dāng)0時(shí),E(b) b,即常數(shù)的數(shù)學(xué)期望就是這個(gè)常數(shù)本身當(dāng)1時(shí),E( b) E b,即隨機(jī)變量七與常數(shù)之和的期望等于E的期望與這個(gè)常數(shù)的和當(dāng)0時(shí),E(a )aE ,即常數(shù)與隨機(jī)變量乘積的期望等于這個(gè)常數(shù)與隨機(jī)變量期望的乘積單點(diǎn)分布:c其分布列為：P( 1) c.兩點(diǎn)分

12、布:1 p p ,其分布列為：(p + q = 101Pqp二項(xiàng)分布:k/r/qnk np其分布列為B(n,p). (P為發(fā)生的概率)幾何分布:11其分布列為 pq(k,p). (P為發(fā)生的概率)3 .方差、標(biāo)準(zhǔn)差的定義：當(dāng)已知隨機(jī)變量E的分布列為P( xk) pk(k 1,2,)時(shí)，則稱D(X1E)匕(X2E ).(XnE)2pn為七的方差.顯然D 0 ,故行.為七的根方差或標(biāo)準(zhǔn)差.隨機(jī)變量E的方差與標(biāo)準(zhǔn)差都反映了隨機(jī)變量E取值的穩(wěn)定與波動(dòng)，集中與離散的程度.D越小，穩(wěn) 定性越高，波動(dòng)越小.4 .方差的性質(zhì)隨機(jī)變量b 的方差 D() D(a b) a2D.(a、b均為常數(shù))單點(diǎn)分布:0其分布

13、列為P(1) P兩點(diǎn)分布:pq其分布列為:二項(xiàng)分布:01Pqpnpq幾何分布:5 .期望與方差的關(guān)系.如果E和E都存在，則E( )設(shè)E和 是互相獨(dú)立的兩個(gè)隨機(jī)變量，則E()E E ,D() D D期望與方差的轉(zhuǎn)化:D E 2 (E )2(4)E( E )E( ) E(E )(因?yàn)镋為一常數(shù))E E 0.三、正態(tài)分布.1.密度曲線與密度函數(shù):a,b)內(nèi)的概率等于它與x(如圖陰影部分)的曲線叫是必然事件，故密度曲線與2.正態(tài)分布與正態(tài)曲線:圖像的函數(shù)f(x)叫做七對(duì)于連續(xù)型隨機(jī)變量 E,位于x軸上方，E落在任一區(qū)間x軸.直線x a與直線R ,為常數(shù),且 0),稱E服從參數(shù)為,的正態(tài)分布，用2)表木

14、.f(x)的表達(dá)式可簡(jiǎn)記為2N(,),它的正態(tài)分布的期望與方差：若密度曲線簡(jiǎn)稱為正態(tài)曲線N( , 2),則E的期望與方差分別為：E ,D 2正態(tài)曲線的性質(zhì).曲線在x軸上方，與x軸不相交.曲線關(guān)于直線x 對(duì)稱.當(dāng)x時(shí)曲線處于最高點(diǎn)，當(dāng) x向左、向右遠(yuǎn)離時(shí)，曲線不斷地降低，呈現(xiàn)出“中間高、兩邊低”的鐘形曲線.當(dāng)xv 時(shí)，曲線上升；當(dāng)x> 時(shí)，曲線下降，并且當(dāng)曲線向左、向右兩邊無(wú)限延伸時(shí)，以 x軸為漸近線，向x軸無(wú)限的靠近當(dāng) 一定時(shí)，曲線的形狀由確定,越大，曲線越“矮胖”.表示總體的分布越分散;越小，曲線越“瘦高”，表示總體的分布越集中3.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布：如果隨機(jī)變量 E的概率函數(shù)為(x)服從標(biāo)

15、準(zhǔn)正態(tài)分布.即N(0,1)有(x) P(x) ，(x) 1（x）求出，而P的計(jì)算則是P(a b) (b)(a).注意：當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布的（x）的X取0時(shí)，有 （x）0.5當(dāng)（x）的X取大于(x) 0.5.比如(05) 0.0793 0.5則竺必然小于0,如圖.正態(tài)分布與標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布間的關(guān)系：若常用F（x）表不，且有P"x) F(x)(T0的數(shù)時(shí)，有N（ , 2）則衛(wèi)的分布函數(shù)通習(xí)題1. 6名同學(xué)排成兩排，每排3人，其中甲排在前排的概率是A. 112B. 12C.2.有10名學(xué)生，其中4名男生，6名女生，從中任選2名，恰好2名男生或2名女生的概率是A 45B.215C.D.7_153.甲

16、乙兩人獨(dú)立的解同一道題,甲乙解對(duì)的概率分別是Pl,P2 ,那么至少有1人解對(duì)的概率A. P1P2B.P1P2 C. 1 Pi P2D.1(1P1) (1 P2)4.從數(shù)字 1,2, 3, 4, 5這五個(gè)數(shù)中，隨機(jī)抽取2個(gè)不同的數(shù)則這2個(gè)數(shù)的和為偶數(shù)的概率()A. 5B.5.有2n個(gè)數(shù)字，其中一半25日立7£可C.D.半是偶數(shù)，從中任取兩個(gè)數(shù),45則所取的兩數(shù)之和為偶數(shù)的概率是A、1 B、工 C22nn 12n 1n 12n 16.有10名學(xué)生，其中4名男生，6名女生，從中任選 2名學(xué)生，恰好是2名男生或2名女生的概率是7.2A. 452B.157C.151D.3已知P箱中有紅球1個(gè)，

17、白球9個(gè)，Q箱中有白球7個(gè),（P、Q箱中所有的球除顏色外完全相同）.現(xiàn)隨意從 P箱中取出3個(gè)球放入Q箱，將Q箱中的球充分?jǐn)噭蚝螅購(gòu)腝箱中隨意取出3個(gè)球放入P箱,則紅球從P箱移到Q箱，再?gòu)腝箱返回P箱中的概率等于1100C9 2/C10 3 乘以 C9 2/C10 38.已知集合 A=12, 14, 16, 18, 20B=11 , 13, 15,17, 19,在A中任取一個(gè)元素9.用 ai(i=1 , 2所取兩數(shù)滿足A、3, 4, 5）表示，在B中任取一個(gè)元素用3, 4, 5)表示,則a>b的概率為（）在圓周上有10個(gè)等分點(diǎn)，以這些點(diǎn)為頂點(diǎn)，每53個(gè)點(diǎn)可以構(gòu)成一個(gè)三角形，如果隨機(jī)選擇3

18、個(gè)點(diǎn)，剛好構(gòu)成直角三角形的概率是直徑有5個(gè)1A.41B.3C.D.要使這 3個(gè)次品全部被抽10 .已知10個(gè)產(chǎn)品中有3個(gè)次品，現(xiàn)從其中抽出若干個(gè)產(chǎn)品,出的概率不小于0.6 ,則至少應(yīng)抽出產(chǎn)品（）A.7 個(gè) B.8 個(gè) C.9 個(gè) D.10 個(gè)11 .甲、乙獨(dú)立地解決同一數(shù)學(xué)問(wèn)題，甲解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.8,乙解決這個(gè)問(wèn)題的概率是0.6 ,那么其中至少有1人解決這個(gè)問(wèn)題的概率是（）A 、0.48 B 、0.52 C 、0.8 D 、0.9212 .某小組有三名女生，兩名男生，現(xiàn)從這個(gè)小組中任意選出一名組長(zhǎng)，則其中一名女生小麗當(dāng)選為組長(zhǎng)的概率是13 .擲兩枚骰子，出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)之和為3的概率是 14

19、.某班委會(huì)由4名男生與3名女生組成，現(xiàn)從中選出2人擔(dān)任正副班長(zhǎng)，其中至少有1名女生當(dāng)選的概率是15 .我國(guó)西部一個(gè)地區(qū)的年降水量在下列區(qū)間內(nèi)的概率如下表所示:年降水量/mm100, 150 )150, 200 )200, 250 )250, 300 概率0.210.160.130.12則年降水量在200 , 300 (m,m)范圍內(nèi)的概率是 S 一16、向面積為 S的 ABC內(nèi)任投一點(diǎn)P,則 PBC的面積小于 丫的概率是 。217、有五條線段，長(zhǎng)度分別為 1, 3, 5, 7, 9,從這五條線段中任取三條，則所取三條線段能構(gòu)成一個(gè)三角形的概率為18、在等腰RtABC中，在斜邊 AB上任取一點(diǎn)

20、M則AM的長(zhǎng)小于 AC的長(zhǎng)的概率為 19 .甲、乙兩名籃球運(yùn)動(dòng)員，投籃的命中率分別為 0.7與0.8 .(1)如果每人投籃一次，求甲、乙兩人至少有一人進(jìn)球的概率；(2)如果每人投籃三次，求甲投進(jìn)2球且乙投進(jìn)1球的概率.20 .加工某種零件需要經(jīng)過(guò)四道工序，已知死一、二、三、四道工序的合格率分別為9 8 7 6、一、一 且各道工序互不影響10 9 8 7(1)求該種零件的合格率(2)從加工好的零件中任取3件，求至少取到2件合格品的概率(3)假設(shè)某人依次抽取 4件加工好的零件檢查，求恰好連續(xù)2次抽到合格品的概率(用最簡(jiǎn)分?jǐn)?shù)表示結(jié)果)21 .甲、乙兩名工人加工同一種零件，兩人每天加工的零件數(shù)相等，所

21、得次品數(shù)分別為£、刀，e和刀的分布列如下：£012012P613P532101010101010則比較兩名工人的技術(shù)水平的高低為思路啟迪：一是要比較兩名工人在加工零件數(shù)相等的條件下出次品數(shù)的平均值，即期望；二是要看出次品 數(shù)的波動(dòng)情況，即方差值的大小 .22 .某商場(chǎng)經(jīng)銷某商品，根據(jù)以往資料統(tǒng)計(jì)，顧客采用的付款期數(shù)的分布列為12345P0.40.20.20.10.1商場(chǎng)經(jīng)銷一件該商品，采用 1期付款，其利潤(rùn)為200元；分2期或3期付款，其利潤(rùn)為250元；分4期或5期付款，其利潤(rùn)為 300元. 表示經(jīng)銷一件該商品的利潤(rùn).(I)求事件 A : “購(gòu)買(mǎi)該商品的3位顧客中，至少有1位采用1期付款”的概率 P(A);(n)求的分布列及期望E .參考答案:1-5、BDDBC6-11、CBBBCD13.1814.5715. 0.251617、1018218、 219:解：設(shè)甲投中的事件記為A乙投中的事件記為(1)所求事件的概率為:P=P (A。B ) +P ( A B) +P (A B)=0.7 X0.2+0.3 X 0.8+0.7 X 0.8=0.94 .(2)