傅里葉變換的理解

1、湖南理工學院論文設(shè)計題目：我對傅里葉變換的一些理解系部：信息與通信工程學院 專業(yè)： 通信工程 年級： 2012級 學號： 141437 姓名： 張追 指導(dǎo)老師： 羅 2014年9月29號 目 錄 摘要.3關(guān)鍵詞.31.1 傅里葉變換的由來.31.1.1傅里葉變換的提出.31.1.2傅里葉變換的分類.41.2 傅里葉變換的雜談.51.3 歐拉公式和傅里葉變換.7追頑子【摘要】傅里葉變換是信號與系統(tǒng)分析中的重要工具，而傅里葉的變換性質(zhì)經(jīng)常用于信號求解的頻譜函數(shù)。而對于教材苦澀難懂的一個個數(shù)學表達式，你是否曾經(jīng)一度陷于絕望？而本篇文章的意義就是幫助自己疏通思維，看似復(fù)雜，其實只是我們自己被那些冰冷的

2、數(shù)學表達式嚇到了而已，為什么會被嚇到？因為我們不了解她們（注意，我用的不是“它們”）她們的美等待著我們?nèi)グl(fā)掘，并賦予她們新的生命，所謂日久生情，此之謂也。【關(guān)鍵詞】傅里葉變換；時域；頻域；更好的理解 那么跟隨我的腳步進入我所理解的傅里葉變換。首先我們必須把這兩個公式亮出來先： 正是因為這兩個公式，讓我們頭疼了一年多了。從她的外表我們可以知道，這兩個美麗的公式無非就是告訴我們：“傻小子，我們只是從時域變換到頻域，也可以從從頻域變換到時域?！倍胰绻且脠D像描述這兩種形式的話，那可能看了你會吐血而亡，所以我現(xiàn)在不準備把圖亮給你看，因為現(xiàn)在你可能還無法接受。因為一開始我就無法接受，那么如此，我們還

3、是循序漸進吧。很多事情，其實我們并不了解她的來源或者出處，而是不管三七二十一，將書上的東西生生的硬肯，而導(dǎo)致的結(jié)果便是消化不良，就像我們小學到高中一樣，每出現(xiàn)一個公式，老師就會說，你們只要記住了就行，不必證明，不必深入了解，所以，久而久之，我們變得沒什么想象力。所以學一樣?xùn)|西之前，我們必須了解她為什么會出現(xiàn)？意義又是神馬？她的出現(xiàn)能讓我們解決現(xiàn)有的實際問題嗎？因為脫離實際的東西她是不存在的。存在便是合理。好吧，帶著這些問題，我們不僅要砍樹，我們還要挖它的根！首先我們先了解傅里葉的由來。1.1傅里葉的由來1.1.1 傅里葉變換的提出首先傅里葉他是一個人名，而且是人類歷史偉大的一個科學家。為什么說

4、他偉大？憑的就是傅里葉分析的研究和應(yīng)用至今已經(jīng)經(jīng)歷了一百余年。19世紀20年代，當時的傅里葉54歲，當然當時的通訊或者說信息傳播技術(shù)沒有今天這么發(fā)達（順便說一句，現(xiàn)在的人要是沒手機和電腦的話，估計會失去活下去的勇氣），他當時研究的是熱傳導(dǎo)理論，并在當時發(fā)表了“熱的分析理論”著作，提出并證明了將周期函數(shù)展開為正弦級數(shù)的原理，奠定了傅里葉級數(shù)的理論基礎(chǔ)。后面有一大堆名人將他的理論應(yīng)用于各行各業(yè)，比如泊松和高斯等人把這一成果呢應(yīng)用于電學中去，后面的名人雖然牛逼，但是我們都知道，敢于第一個吃螃蟹的才是牛逼中的戰(zhàn)斗機！那么這么牛逼的一個理論怎么樣呢？剛提出這個理論的時候，論文里有一個頗具爭議性的決斷：任

5、何連續(xù)的周期信號可以有一組適當?shù)恼仪€組合而成。因為發(fā)表的論文不管好壞，不管有沒有人看的懂，但總要有人去審查。當時審查這個論文的其中兩位人物，那可以說是當時重量級的大人物，說來我們也并不陌生，他們就是著名的數(shù)學家拉格朗日和拉普拉斯，前者在數(shù)學、力學和天文學三個學科領(lǐng)域中都有歷史性的貢獻，其中尤以數(shù)學方面的成就最為突出，比如拉格朗日中值定理，這在我們大一高數(shù)中有提到。后者的主要成就是拉普拉斯變換，概率論，在天體力學方面也有所成就，順便說一句，他還是拿破侖的老師，所以和拿破侖結(jié)下不解之緣，當了六個星期的拿破侖的內(nèi)政部長，不僅人聰明絕頂，而且人際關(guān)系也不賴。就是這么兩個人當了他的主審人。拉普拉斯和

6、其他的審查人希望發(fā)表這篇論文，而拉格朗日卻堅決不予發(fā)表，為什么不發(fā)表呢？原因當然不是你拉格朗日頑固不化，人老眼花，他認為傅里葉變換無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)的變化斜率，這一堅持就是50年。當時的法國科學界視拉格朗日為權(quán)威，當然也就屈服了他的權(quán)威，直到拉格朗日死后15年才發(fā)表這些理論。其實非要說拉格朗日不對，那也不行，只因為他是一個數(shù)學家，一生都在追求嚴謹?shù)臄?shù)學表達，正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的信號，但卻可以用正弦曲線無限的接近的表示它。逼近到?jīng)]有沒有能量差別，基于此，傅里葉也是對的。有人說過，沒有什么對，也沒有錯，只有合理。而傅里葉就是站在合理的一方。當傅里葉被拉格朗日拒

7、絕的時候，他也沒閑著，他參加了政治運動，隨拿破侖遠征埃及，后來拿破侖失敗了，他怕會推上斷頭臺，一直在逃避。所以說他的人生也是顛沛流離的，吃盡了苦頭。我們中國有句古話：天將降大任于是人也，必先苦其心志，勞其筋骨，餓其體膚，空乏其身，行拂亂其所為，所以動心忍性，曾益其所不能。他的一生就像文章開頭那美麗的兩個公式一樣，從負無窮到正無窮神秘而又讓人畏懼，有時表現(xiàn)的像時域，時時刻刻都在變化，有時像頻域，靜止不變。老師覺得我可能廢話多了，但是我覺得要了解一個人的作品，應(yīng)該先了解他的為人，這樣我們學著也輕松，當然也是帶著感情去學習，而不是一臺機器，信號與系統(tǒng)本來很美好，但是老師們總把它當數(shù)學教，誰會有興趣？

8、數(shù)學公式的物理意義何在？數(shù)學是工具，不是全部。好吧，好像在扯淡了。那就言歸正傳吧。我們知道，分解信號的方法是無窮的，但是用正余弦分解信號會更簡單。因為正余弦擁有其它信號所不具有的性質(zhì)：保真度。輸入的是正弦信號，輸出的還是正弦信號，只有幅度和相位發(fā)生變化，這由本身硬件決定。頻率，和波的形狀是不會變化的，假如用其它的波，比如方波和三角波那是不行的，很簡單，他們沒這個性質(zhì)。1.1.2 傅里葉變換的分類傅里葉變換可以分為以下幾類：1. 非周期性連續(xù)信號->傅里葉變換（FT）2. 周期性連續(xù)信號->傅里葉級數(shù)（FS）3. 非周期性離散信號->離散時域傅里葉變換（DTFT）4. 周期性離

9、散信號->離散傅里葉變換（DFT）這些變換圖形大概是什么樣呢？從網(wǎng)上偷來一幅圖如下：這四種傅里葉變換都是針對正無窮大和負無窮大的信號，即信號的的長度是無窮大的，我們知道這對于計算機處理來說是不可能的，那么有沒有針對長度有限的傅里葉變換呢？沒有。因為正余弦波被定義成從負無窮大到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限的信號，可以把信號無限地從左右進行延伸，延伸的部分用零來表示，這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離解信號，我們就可以用到離散時域傅里葉變換的方法。還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進行延伸，這樣信號就變成了周期

10、性離散信號，這時我們就可以用離散傅里葉變換方法進行變換。這里我們要學的是離散信號，對于連續(xù)信號我們不作討論，因為計算機只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運用計算機來處理信號的。1.2 傅里葉變換的雜談當老師安排這篇論文的時候，我真不知道從何說起，因為我的傅里葉變換確實學的很爛，這一點必須承認，但是我馬上就上網(wǎng)查了一些資料，看了很多PPT，有做的好的，也有做的很深奧的，但是不管怎樣自己確實比以前更懂了，理解的更深刻了。在網(wǎng)上查的一些資料，有一些是網(wǎng)友在評論里的言論，我覺得非常好，現(xiàn)在插入一些網(wǎng)友的留言，一是讓自己了解別人思維方式，以及對事物不同角度的理解，所謂要識廬山真面目，除了親自登上廬

11、山外，如果能租一輛飛機在天上觀察那就再好不過了，而我們認清傅里葉變換，看看別人怎么理解，也許會讓我們茅塞頓開。二來，要學好一樣?xùn)|西，畢竟不像從前了，知識獲取的途徑很少，現(xiàn)在網(wǎng)絡(luò)這么發(fā)達，對信息的獲取應(yīng)該與時俱進，轉(zhuǎn)載一些有用的東西，偷也好，竊也罷，只要有利于人名群眾，不犯法的情況下，分清大是大非就行了。前陣子北大一博士抄襲外國論文，你知道這貨怎么抄襲的嗎？直接把外文翻譯成中文，注意，是直譯。這樣就不太好了。言歸正傳。在百度的搜索欄里，我輸入了“你們是如何理解傅里葉變換的”，馬上就有很多信息。其中：A說：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示不同頻率無限正弦波信號的無限的疊加而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立

12、葉變換算法利用直接測量到的原始信號，以累加方式來計算該信號中不同正弦波信號的頻率、振幅和相位。B說：連續(xù)的周期信號是由一系列的正弦波組成,他的頻譜是離散的,連續(xù)的非周期信號的頻譜是連續(xù)的，.頻譜的幅度實際上就是反映了每個正弦波的幅度。就摘錄這兩位網(wǎng)友的吧。為什么只摘錄這兩位的呢？因為夠了，多了也是廢話！首先分析A的，他的觀點很符合一直以來我們的思維方式任何信號就是可以用無限多個正弦信號的疊加，比如說矩形波，如下圖：最前面的矩形波圖便是后面無數(shù)的，不同頻率和相位的正弦波組成的，但是我們只能看到矩形波，后面那些默默付出的英雄我們卻看不到，這其實也是一種悲哀！你看現(xiàn)在的城市建的多么美好啊，又有多少人

13、知道那些進城打工的農(nóng)民工，不是他們的付出，我們的城市有這么美好嗎。更可笑的是城市人在口頭上是很尊重，但是實際的利益卻沒有拿出，比如農(nóng)民工子女的入學的問題，外來務(wù)工人員子女高考，很多地方是不允許他們異地高考的，城市這么美好，是誰的功勞，我們都好好想想吧！然后分析B的，這時請你屏住呼吸，感覺周圍的一卻都靜止了，包括上圖的無數(shù)的正弦波，這時從上圖的右側(cè)看過去或者用一個燈光映射過去每個正弦波的振幅便出現(xiàn)了，我們稱之為頻譜圖，圖如下：這幅圖真的太直觀了！不轉(zhuǎn)載就太可惜了。所以這時候我相信每個人至少明白了，時域轉(zhuǎn)頻域原來這么簡單，如果單獨拿出兩幅圖進行對比，雖然完全不一樣，但至少我們知道這個了這個過程。這

14、是從人類最原始的方法去了解一個東西，比任何方法都直觀，本文最前面的兩個公式比這復(fù)雜多了，但是我們卻不能丟下那些公式，因為公式的目的就是算出準確數(shù)。但是在用它之前，我們必須了解時域，頻域的來龍去脈，這樣才有趣。一開始我問自己：為什么時域還好的，為什么要轉(zhuǎn)化為頻域。后來接觸了高頻之后，我知道原來在實際的應(yīng)用中，我們必須將一些不需要的信號濾除掉，而這是將時域信號轉(zhuǎn)化為頻域信號，這樣就簡化了硬件電路的結(jié)構(gòu)，提高了辦事效率。還記得我一開始說的嗎？時域就是在變化。而頻域就是那個不變的東西，恒古不變。雖然我對傅里葉變換理解的肯定還不透徹，但是我試著賦予她新生命。我們往往對變化的事物了解的很透徹，比如金錢，人

15、際關(guān)系等，但是我們卻對恒古不變的東西卻知之甚少，比如“愛”，十年前，喜劇大師周星馳拍了一部關(guān)于愛的電影，名叫大話西游，里面有一段經(jīng)典臺詞，很經(jīng)典，最后一句話更是感動了無數(shù)的人，“曾經(jīng)有一份真摯的愛擺在我的面前.如果非要加一個期限，我希望是一萬年。”十年后，周星馳又拍了同樣類型的電影西游降魔篇，他卻推翻了曾經(jīng)的經(jīng)典，變成了“一萬年太久，只爭朝夕?！边@其中的苦楚，我現(xiàn)在還不了解吧。但頻域就像愛一樣，恒久不變，這是我的堅持。1.3 歐拉公式與傅里葉變換現(xiàn)在最直觀的東西我們已經(jīng)感受了，變化的時間讓我們變得越發(fā)成熟了，是時候研究一些公式了，但先莫慌，我們需要了解一些公式。這個因子：e(ix)想必我們每個

16、人都不會陌生。然會就是這個公式：e(ix)=cosx+isinx，這就是著名的歐拉公式。還有一個號稱是上帝之手創(chuàng)造的公式：e(i)+1=0,里面有自然對數(shù)的底e，圓周率，兩個單位：虛數(shù)單位i和自然數(shù)的單位1，以及數(shù)學里常見的0。其中：e(i)=cos+isin=-1。我們知道i2=-1。某數(shù)乘以一個i便是逆時針旋轉(zhuǎn)90度，再成一個i便是再逆時針旋轉(zhuǎn)90度，這些東西不是神秘，它們只是表達某種含義，僅此而已，我們無需妖魔化它們。那么歐拉公式和傅里葉變換到底有幾毛錢的關(guān)系？容我慢慢道來。傅里葉級數(shù)分析中，我們知道了： 以及根據(jù)歐拉公式知道： 這便是歐拉公式最確實的用處。聯(lián)合以上兩個公式便得到： 然后令： 綜合以上得： 傅里葉級數(shù)是傅里葉變換的一種特殊形式，所以我們可以引出傅里葉變換，這就是自然界的對稱美。所以我們就引出文章剛開頭的兩個公式： 這就是一種對比出來的公式。就像求和符號和積分符號的相似和類比。當我們引用了傅