簡單的三角恒等變換提高

1、簡單的三角恒等變換（提高）【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1能用二倍角公式推導(dǎo)出半角的正弦、余弦、正切公式；2 掌握公式應(yīng)用的常規(guī)思路和基本技巧；3了解積化和差、和差化積公式的推導(dǎo)過程，能初步運(yùn)用公式進(jìn)行互化；4通過運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒等變換，進(jìn)一步提高運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)、化歸的思想方法處理 問題的自覺性，體會(huì)換元思想的作用，發(fā)展推理能力和運(yùn)算能力；5通過公式的推導(dǎo)，了解它們的內(nèi)在聯(lián)系和知識(shí)發(fā)展過程，體會(huì)特殊與一般的關(guān)系，培養(yǎng) 利用聯(lián)系的觀點(diǎn)處理問題的能力.【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一：升（降）幕縮（擴(kuò)）角公式丿 ” _ 2 2升幕公式：1 cos2： =2cos :- ,1-cos2： - 2sin :-降幕公式:要點(diǎn)詮釋:

2、1 cos2:1 - cos2：（Xot利用二倍角公式的等價(jià)變形：1-cos，-2sin2 , 1 co - 2cos2 進(jìn)行"升、22變換，即由左邊的“一次式”化成右邊的“二次式”為“升幕”變換，逆用上述公式即為 冪”變換.要點(diǎn)二：輔助角公式1 .形如asinx bcosx的三角函數(shù)式的變形：降幕”“降asin x bcosxsin x+ =cosx令cos鳥具b2 ,sin二昇，則asin x bcosx= . a2 b2 sinxcoscosxsin=a2 b2 sin（x）（其中'角所在象限由a,b的符號(hào)確定，角的值由tan =確定， asinb 和cos°

3、共同確定.）2 .輔助角公式在解題中的應(yīng)用通 過 應(yīng) 用 公 式 asin x bcosx- a2b2 sin(x )( 或asin x+bcosx=Ja +b cos©-®),將形女口 asin x+bcosx ( a, b 不同時(shí)為零)收縮 為一個(gè)三角函數(shù) Ja? +b2 sin（x+®）（或da2 +b2 cos© -®）.這種恒等變形實(shí)質(zhì)上是將這樣做有利于函數(shù)式的化同角的正弦和余弦函數(shù)值與其他常數(shù)積的和變形為一個(gè)三角函數(shù)， 簡、求值等.要點(diǎn)三：半角公式（以下公式只要求會(huì)推導(dǎo)，不要求記憶）22-cos：2acos : 士1 cos：tan

4、J®：2 , 1 cos：以上三個(gè)公式分別稱作半角正弦、余弦、正切公式，它們是用無理式表示的.a sin a a 1 -cosa tan, ta n 21 cos ：2 sin :-以上兩個(gè)公式稱作半角正切的有理式表示.要點(diǎn)四：積化和差公式1sin :cos sin（：I ） sin（二亠 P）21cos ： sinsin（二-J-sin（二 -'）21cos ： cos cos（： - ） cos（展亠卩）21sin jsin cos（： - -）cos（-：i 1 -）2要點(diǎn)詮釋：規(guī)律1:公式右邊中括號(hào)前的系數(shù)都有丄.2規(guī)律2:中括號(hào)中前后兩項(xiàng)的角分別為 二和： _ 1

5、.規(guī)律3:每個(gè)式子的右邊分別是這兩個(gè)角的同名函數(shù).要點(diǎn)五：和差化積公式2x y2x - y cos x y x y sin x sin y =2sincos2x + y sin x sin y 二 2cos sin2c x + y cosx cos y = 2cos cosx-cosy2sinsind2 2要點(diǎn)詮釋：規(guī)律1:在所有的公式中，右邊積的系數(shù)中都有2.規(guī)律2:在所有的公式中，左邊都是角A與B的弦函數(shù)相加減，右邊都是A B與亠?2 2的弦函數(shù)相乘.規(guī)律3:在第三個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相加，右邊是兩個(gè)余弦相乘，于是得出“扣(cos )加扣等于倆扣”；而第四個(gè)公式中，左邊是兩個(gè)余弦相減，

6、右邊沒有余弦相乘，于是 得出“扣減扣等于沒扣”.規(guī)律4:兩角正弦相加減時(shí)，得到的都是正弦、余弦相乘.注意1、公式中的“和差”與“積”，都是指三角函數(shù)間的關(guān)系，并不是指角的關(guān)系.2、 只有系數(shù)絕對(duì)值相同的同名三角函數(shù)的和與差，才能直接應(yīng)用公式化成積的形式.如sin cos 1就不能直接化積，應(yīng)先化成同名三角函數(shù)后，再用公式化成積的形式.3、三角函數(shù)的和差化積，常因采用的途徑不同，而導(dǎo)致結(jié)果在形式上有所差異，但只 要沒有運(yùn)算錯(cuò)誤，其結(jié)果實(shí)質(zhì)上是一樣的.4、 為了能把三角函數(shù)的和差化成積的形式，有時(shí)需要把某些特殊數(shù)值當(dāng)作三角函數(shù)值, 如 1-cos，cosncos：2sin 衛(wèi)二 sin n二236

7、2625、三角函數(shù)式和差化積的結(jié)果應(yīng)是幾個(gè)三角函數(shù)式的最簡形式.【典型例題】類型一：利用公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行證明例1 .求證:3 -4cos2A cos4A3 4cos2A cos4A【思路點(diǎn)撥】觀察等式左右兩邊，易知運(yùn)用倍角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)換.【證法一】左邊二3-4邊"2cos：2A-13+4cos2A+2cos 2A T22cos 2A -4cos2A 2 22cos 2A 4cos2A 22cos 2A - 2 cos2A 1 2cos 2A 2cos2A 1_ (cos2A-1)2 二(2sin2 A)2(cos2A 1)2(2cos2 A)2=tan4 A=右邊-等式成立【證法二

8、】4(1 _ cos 2 A) _ (1 _ cos 4A) 4(1 +cos2A) _(1 _cos4A)29_ 4 2sin2 A -2sin2 2A2 2 28sin A-8sin Acos A4 2cos* 2 A 2sin2 2A2 2 28cos A8sin Acos A22sin A(1 - cos A) 22cos A(1 - sin A)4sin A4 tan A =右邊 cos A-等工式成立4A； 2A； A,舉一反三：【變式1】求證:a2ta n 2sin,1 +ta n2 22 ota1 - ta n2ta ncos, tan:2 a1 - ta n -22 a1 t

9、a n 2【總結(jié)升華】 證明題的一般原則是由繁到簡本題從左往右證，方法是弦化切，注意到 然后巧妙地運(yùn)用二倍角的余弦公式而獲解.【證明】sin :a2ta n 22 a1 tan2 2a=2s in cos2 2ota2sin cos22cos：2 a1 - tan2 22a1 ta n 22 « . 2a鞏cossin 2 ot 2 22=cos sin222 «. 2 acos + si n 2 2tan : sin -cos-aaa2sin cos2ta n 222_a 2 2 sin 1 - ta n 2 2 22 cos【變式2】證明:cos A cos(120 B

10、) cos(120 - B)sin B sin(120A) -sin(120 -A)2【證明】cos A cos(120 B) cos(120 -B)sin B si n(120 A) -si n(120 -A)cos A 2cos120 cosBsin B 2cos120 sin AA Bcos II 2A-B2 jA B-cos -I 2A B A B . A B A-B sinsin122丿 J 22丿-2sinsin匕2 2c A+B . AB-2cossin2 2例 2. 已知 sin v cosv-2si n：,si nv cost -si n2 ：,求證：2cos2： = cos

11、2 ：.【證明】方法一:cos2： -12sin2 ： . 2cos2： =212sin2 ： -2 4sin2：將 si nr cosv - 2si n：代入:2cos2a = 2 （sin 日 + cos日 f =2（sin2 日十2sin 日 cos日 + cos2 日）=1 一2sin日 cos日又 sin J cos v - sin2 -,. 2cos2： =12sin2 ： = cos2 :方法二： si n cos=2s in :,si nrcosr=s in2：, 又寫（sin 日 +cos j =1 +2sin日 cos日=1 + 2sin2 卩, .4sin2 二-1 2s

12、in2 :,1 cos2。 “丄小 1 -cos2P.41 22 2.2 1 -cos2 J=11 -cos2 1 ,2cos2 ： = cos2 ：【總結(jié)升華】證明條件三角恒等式要注意觀察條件和所要證的等式中角、三角函數(shù)名稱、算等方面的關(guān)系方法一用代入法把化成二，再把二化成一：；方法二中利用恒等式(sin日+cos日予=1 + 2sin cos日消去條件中sin日cos日的方法，即消元法，這是三角變換中常用的方法.類型二：利用公式對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行化簡例 3.已知 32二，試化簡 '、1 sin - 1 -sin 二.2【思路點(diǎn)撥】根據(jù)化簡的基本思想，本題需消去根式，聯(lián)想到恒等式仁s

13、i刊= Si nI 22.ee.e0sin +cos sin -cos 2 222【解析】原式3 二ec9V2e0 . sin,-1 ：: cos:422 22:v :： 2 二，2從而 sin 二-cos二:-0，2 2eesin cos 0，22(.eeW . 60 )c6二-sincos1 sin -cos-二-2sinI 22222原式【總結(jié)升華】從局部看(即每個(gè)式子本身)上述解法是唯一解法，但從整體看兩個(gè)根 號(hào)里面的式子相加得2，相乘得 cosS，因此可以“先平方暫時(shí)去掉根號(hào)”2 -，貝U sin： 0, cos ： 0，設(shè) x = .1 sin v -1 sin，貝U2x2 =2

14、2丁 1 一 sirfe = 2_d c6s = 2 cbs 又 竺 目 兀，故 sin 二422. ex = -, 2 -2 cos =2 sin2舉一反三：注意到xv 0,則0,從而【解析】原式【變式1】化簡3 二2 cos0,則由半角公式得a 又2Cos：,2 2a sin 02 ，丿二 COS：,111aa從而,- cos二 sin .即原式=sin .Y2222類型三：利用公式進(jìn)行三角函數(shù)式的求值例4.sin -sin ：=-已知3COS： -COS ：1，試求 sin(J r'-')的值.13【解析】解法一：由2+2，得2_2cos( F) ，即36口 59cos（

15、：）=72再將兩邊分別相乘，得1 1 _ _ 1sin 2 sin 2 - -sin（ _： 5 ）=2 2 61 即 sin（二】 ； ）cos（匚-）-sin（二 .-）二659將cos（-）代入上式，得sin（二亠卩）721213解法因?yàn)閏os： -cos：-2sinsin 2 22所以tan二2ot + P a - P2cos sin 2 2-，再由例1的【變式1】中的公式可得:2:二3 2 tan2sin（a +B） =sin2 丿 1+tan2 _ =122 ：_1 . 913'24【總結(jié)升華】將條件進(jìn)行加、減、乘、除以及對(duì)條件式進(jìn)行平方再進(jìn)行運(yùn)算都是常用的解題手段，當(dāng)然這

16、需要根據(jù)題設(shè)條件靈活處理.舉一反三：【變式1】若tan a +tan :103J JIJ），則 sin（2 a + ）的值為（4210B.101010【答案】A【解析】由tan a1+ 10=? （tan a 3）（3tana1） = 0 得 tan a =3或tan atan :3由aJIJttan a >1 ,故 tan a =1舍去，而sin(2JI（,-）得a +-）423472D.13C.乞122sin : cos-： cos :X 、2H以 cos a 得 sin（2 a + ）4tan ：1 -tan2:= X221 tan :-210sin 很亠 cos:-“【變式 2】

17、右=3, tan( a 3 ) = 2,貝U tan( 3 2 a )=sin g cosot4【答案】-3sin壽' cos： tan j 11【解析】.=3,. tan a = 2.sina cosatana -1又 tan( a 3 ) = 2, tan( 3 2 a ) = tan( 3 =一 tan( a 一 3 ) + a = tan(a _B) +tana =1tan(x l ：,) tan :-類型四：三角恒等變換的綜合應(yīng)用2 2例 5已知 f (x) =sin x 2sin xcosx 3cos x，求：(1)(2)f(x)的最大值以及取得最大值的自變量的集合；f(x

18、)的單調(diào)區(qū)間.【思路點(diǎn)撥】先用降幕公式降幕，然后利用asin x bcosx 二 a2 b2 sin(，x )這個(gè)公式把原式進(jìn)行變形.【答案】(1 ).22( 2 ) 單增區(qū)間【解析】,k z 單間區(qū)間xk ,5 k:IL88,k z(1) f(x)=sin 2x cos2x 2、.2si n(2x )24ji由 x R, 2x =2k 二4即 x | x = k i ，k z 時(shí)，fmax(X)"22.ji(2) 2x|= + 2k江，一+ 2k江IL 2243 二二即 xk二， k二，k 匚 z1 88f (x)是單增函數(shù).二 二3 二2X 4_2 2k，T 2"，31

19、卄兀即 x k：.,5 k二，k z8f (x)是單減函數(shù).舉一反三:二 2【變式1】設(shè)函數(shù)f(x)=cos(2x+§ )+sin x.(1)求函數(shù)f(x)的最大值和最小正周期.設(shè)A,B,C為厶ABC的三個(gè)內(nèi)角，若1cosB=,3C 1f(a)=-4，且 C為銳角，求sinA.1 cos2x3sin 2x2(2) f(C)丄 2322sin綸-丄,所以sinC343,因?yàn)镃為銳角，所以ZC3Tt，所以【答案】f(x)=cos(2x+ )+sin_x=cos2xcossin 2xsin3 33兀1C =，所以 sinA =cosB=.2cos2 x【變式2】已知函數(shù)f(x)=asinx

20、cosx-. 3a(1)寫出函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間;2:-JIja = 2 Z(2)b2 J11二1【解析】f(x) asin2x2-a(1 cos2x)仝a b2 2-asi n2x2、3a二cos2x b = a sin(2x) b23(1) 2k二二二3 二2x -一 _2k二25 二,k12311'：,k 二2 125 二11'：x 二 k 二12(2) 0 Ex , 2x，一乜 Esin(2x) 1233323f (X)min=-2, f(X)max = a b = , 3,a =2b = -2. 3類型五：三角恒等變換在實(shí)際問題中的應(yīng)用例6 .青海玉樹地震過后，當(dāng)?shù)厝嗣?/p>

21、積極恢復(fù)生產(chǎn)，焊工王師傅每天都很忙碌.今天他遇到了一個(gè)難題：如圖所示，有一塊扇形鋼板，半徑為1 m,圓心角,廠長要求王師傅按圖中所畫的那樣，在鋼板OPQ上裁下一塊平行四邊形3鋼板ABOC要求使裁下鋼板面積最大.試問王師傅如何確定 A點(diǎn)位置，才能使裁下的鋼板符合要求？最大面積為多少？【思路點(diǎn)撥】因?yàn)?A點(diǎn)是動(dòng)點(diǎn)，所以連接 OA,設(shè)/ AOP=>，然后用的三角函數(shù)來 表示平行四邊形鋼板 ABOC的面積，最后利用三角函數(shù)的知識(shí)求面積的最大值.【答案】當(dāng)A是PQ的中點(diǎn)時(shí)，所裁鋼板面積最大，最大面積為-m36【解析】連接0A,設(shè)/ AOP=：，過A作AH丄OP,垂足為H,在RtAAOH中，AH=s

22、in> ,OH=cos ：.在 Rt ABH 中，-A 二 ta n 60 二 3,所以 BH3 si n：,BH3設(shè)x .二0,f (x)的最小值是-2，最大值是.3，求實(shí)數(shù)a,b的值.OB = OH 一 BH = cosjsn：-,3設(shè)平行四邊形ABOC的面積為S,則I漿S =OB AH = cos。一 sina sinm =sina cosot I3品iin31sin 2：-2遼(1 cos2： ) in 2：6 2cos2：-61、31si n2cos2：M22丿sin2:JI+ 2丿丄十c兀由于o，所以當(dāng)2，即時(shí),362"Snax_ 1V.3遼所以當(dāng)6A是PQ的中點(diǎn)時(shí)，所裁鋼板面積