捕食者-被捕食者模型穩(wěn)定性分析

1、被捕食者捕食者模型穩(wěn)定性分析【摘要】自然界中不同種群之間還存在著一種非常有趣的既有相互依存、又有相互制約的生活方式：種群甲靠豐富的天然資源生存，種群乙靠捕食甲為生，形成食餌-捕食者系統(tǒng)，如食用魚和鯊魚，美洲兔和山貓，害蟲和益蟲等。本文是基于食餌捕食者之間的有關(guān)規(guī)律，建立具有自身阻滯作用的兩種群食餌捕食者模型，分析平衡點(diǎn)的穩(wěn)定性，進(jìn)行相軌線分析，并用數(shù)值模擬方法驗(yàn)證理論分析的正確性。【關(guān)鍵詞】食餌捕食者模型 相軌線 平衡點(diǎn) 穩(wěn)定性 一、問題重述在自然界中，存在這種食餌捕食者關(guān)系模型的物種很多。下面討論具有自身阻滯作用的兩種群食餌-捕食者模型，首先根據(jù)該兩種群的相互關(guān)系建立模型，解釋參數(shù)的意義，然

2、后進(jìn)行穩(wěn)定性分析，解釋平衡點(diǎn)穩(wěn)定的實(shí)際意義，對(duì)模型進(jìn)行相軌線分析來驗(yàn)證理論分析的正確性。二、問題分析 本文選擇漁場(chǎng)中的食餌(食用魚)和捕食者(鯊魚)為研究對(duì)象，建立微分方程，并利用數(shù)學(xué)軟件MATLAB求出微分方程的數(shù)值解，通過對(duì)數(shù)值結(jié)果和圖形的觀察，猜測(cè)出它的解析解構(gòu)造。然后，從理論上研究其平衡點(diǎn)及相軌線的形狀，驗(yàn)證前面的猜測(cè)。三、模型假設(shè)1.假設(shè)捕食者（鯊魚）離開食餌無法生存；2.假設(shè)大海中資源豐富，食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長；四、符號(hào)說明/食餌(食用魚)在時(shí)刻的數(shù)量；/捕食者(鯊魚)在時(shí)刻的數(shù)量；食餌(食用魚)的相對(duì)增長率；捕食者(鯊魚)的相對(duì)增長率；大海中能容納的食餌(食用魚)的最大容

3、量；大海中能容納的捕食者(鯊魚)的罪的容量；單位數(shù)量捕食者（相對(duì)于）提供的供養(yǎng)食餌的實(shí)物量為單位數(shù)量捕食者(相對(duì)于)消耗的供養(yǎng)甲實(shí)物量的倍；單位數(shù)量食餌（相對(duì)于）提供的供養(yǎng)捕食者的實(shí)物量為單位數(shù)量捕食者(相對(duì)于)消耗的供養(yǎng)食餌實(shí)物量的倍；捕食者離開食餌獨(dú)立生存時(shí)的死亡率。五、模型建立食餌獨(dú)立生存時(shí)以指數(shù)規(guī)律增長，且食餌(食用魚)的相對(duì)增長率為，即，而捕食者的存在使食餌的增長率減小，設(shè)減小的程度與捕食者數(shù)量成正比，于是滿足方程 (1)比例系數(shù)反映捕食者掠取食餌的能力。由于捕食者離開食餌無法生存，且它獨(dú)立生存時(shí)死亡率為，即，而食餌的存在為捕食者提供了食物，相當(dāng)于使捕食者的死亡率降低，且促使其增長。

4、設(shè)這種作用與食餌數(shù)量成正比，于是滿足 (2)比例系數(shù)反映食餌對(duì)捕食者的供養(yǎng)能力。方程(1)、(2)是在自然環(huán)境中食餌和捕食者之間依存和制約的關(guān)系，這里沒有考慮種群自身的阻滯作用，是Volterra提出的最簡(jiǎn)單的模型。下面，我們加入種群自身的阻滯作用，在上兩式中加入Logistic項(xiàng)，即建立以下數(shù)學(xué)模型： (3) (4)六、模型求解在此，我們采用MATLAB軟件求解此微分方程組中的、的圖形及相軌線圖形。設(shè)，,使用MATLAB軟件求解，程序代碼如下：1)建立M文件function y=fun(t,x)y=x(1).*(1-x(1)./3500-1.5*x(2)./500),0.4.*x(2).*(

5、-1+4.*x(1)./3500-x(2)./500)' 2)在命令窗口輸入如下命令：t,x=ode45('fun1',0,40,2000,35)得到數(shù)值解如下：t(x(1),x(2) 1.0e+003 * (單位：千克) 0 0.1033 0.2066 0.3099 0.4132 0.8079 1.2026 1.5973 1.9919 2.3806 2.7693 3.1579 3.5466 3.9353 4.3239 4.7126 5.1012 5.4167 5.7322 6.0477 6.3631 6.7446 7.1261 7.5076 7.8891 8.2967

6、 8.7042 9.1117 9.5193 10.0173 10.5153 11.0133 11.5113 12.0453 12.5793 13.1133 13.6473 14.2231 14.7989 15.3747 15.9505 16.5523 17.1541 17.7559 18.3577 19.0403 19.7229 20.4054 21.0880 21.8574 22.6268 23.3962 24.1656 25.0656 25.9657 26.8657 27.7657 28.7657 29.7657 30.7657 31.7657 32.7657 33.7657 34.765

7、7 35.7657 36.8243 37.8828 38.9414 40.00002.0000 0.0350 2.0654 0.0369 2.1276 0.0389 2.1863 0.0412 2.2412 0.0438 2.4113 0.0560 2.5111 0.0732 2.5358 0.0961 2.4870 0.1248 2.3741 0.1577 2.2127 0.1922 2.0228 0.2246 1.8247 0.2514 1.6360 0.2697 1.4727 0.2793 1.3431 0.2813 1.2427 0.2775 1.1780 0.2717 1.1294

8、0.2642 1.0951 0.2561 1.0728 0.2476 1.0599 0.2377 1.0593 0.2286 1.0684 0.2206 1.0851 0.2139 1.1094 0.2081 1.1376 0.2038 1.1676 0.2009 1.1975 0.1993 1.2313 0.1990 1.2599 0.2000 1.2815 0.2020 1.2954 0.2047 1.3022 0.2079 1.3017 0.2111 1.2958 0.2138 1.2864 0.2159 1.2745 0.2174 1.2627 0.2181 1.2529 0.2181

9、 1.2455 0.2177 1.2402 0.2169 1.2377 0.2160 1.2375 0.2151 1.2391 0.2144 1.2420 0.2138 1.2454 0.2134 1.2484 0.2134 1.2506 0.2135 1.2524 0.2137 1.2530 0.2140 1.2527 0.2142 1.2520 0.2144 1.2509 0.2145 1.2499 0.2145 1.2495 0.2144 1.2495 0.2143 1.2496 0.2143 1.2498 0.2142 1.2500 0.2142 1.2501 0.2143 1.250

10、1 0.2143 1.2501 0.2143 1.2500 0.2143 1.2500 0.2143 1.2500 0.2143 1.2500 0.2143 1.2500 0.2143 1.2500 0.2143>> plot(t,x),grid,gtext('x(t)'),gtext('y(t)')圖1.數(shù)值解，的圖形>> plot(x(:,1),x(:,2),grid,圖2.相軌線圖形從數(shù)值解及，的圖形可以看出他們的數(shù)量變化情況，隨著時(shí)間的推移，都趨于一個(gè)穩(wěn)定的值，從數(shù)值解中可以近似的得到穩(wěn)定值為：(1250,214)。下面對(duì)其平衡點(diǎn)

11、進(jìn)行穩(wěn)定性分析：由微分方程(3)、(4)得到如下平衡點(diǎn):, , 因?yàn)閮H當(dāng)平衡點(diǎn)位于平面坐標(biāo)系的第一象限時(shí)()才有意義，所以，對(duì)而言要求>0。按照判斷平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的方法計(jì)算：根據(jù)等于主對(duì)角線元素之和的相反數(shù)，而為其行列式的值，我們得到下表：平衡點(diǎn)穩(wěn)定條件<1>1 不穩(wěn)定七、模型分析與檢驗(yàn)1.平衡點(diǎn)穩(wěn)定性的分析及其實(shí)際意義：1) 對(duì)而言，有=，=，故當(dāng)<1時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則種群乙滅絕，沒有種群的共存。2)對(duì)而言，有=，=，故當(dāng)>1時(shí)，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。意義：如果穩(wěn)定，則兩物種恒穩(wěn)發(fā)展，會(huì)互相依存生長下去。3)對(duì)而言，由于， ，又有題知>0,&g

12、t;0,故<0,即是不穩(wěn)定的。2.平衡點(diǎn)的檢驗(yàn)：對(duì)于平衡點(diǎn)，把前面給出的初始值帶入，在這使用MATLAB軟件進(jìn)行簡(jiǎn)單的求解，在命令窗口輸入如下代碼：>> x(1)=(3500.*(1+1.5)./(1+1.5.*4);>> x(2)=(500.*(4-1)./(1+1.5.*4);>> x(1);x(2)ans = 1.0e+003 * 1.2500 0.2143把此處求解出的解和前面得出的數(shù)值解進(jìn)行比較可知，平衡點(diǎn)是穩(wěn)定的。八、模型的評(píng)價(jià)與推廣1.模型的評(píng)價(jià)自然界中，任何物種即使是捕食者也有自身的阻滯作用，該模型從原始的沒帶自身阻滯作用模型中加入了阻滯項(xiàng)，使得此模型更接近于生態(tài)平衡系統(tǒng)。從此模型中，我們知道兩物種同時(shí)滅絕是不穩(wěn)定的，也就是不太可能的，但兩種群有一種滅絕一種生存是完全有可能的，兩種群共存的可能也是可能的。2.模型的推廣本文只考慮兩物種模型，我們完全可以把此模型推廣到三物種的情形。自然界里長期存在的呈周