工程力學03力系等效簡化

1、攻絲時為什么要兩個手施力攻絲時為什么要兩個手施力,用一個手會有用一個手會有什么不好之處什么不好之處?3 3 力系等效與簡化力系等效與簡化. . 空間一般力系簡化空間一般力系簡化空間一般力系空間一般力系(general noncoplanar force system )： 力作用線在空間任意分布的力系力作用線在空間任意分布的力系,21nFFF,ROMF？問題：問題：xyzo1F2F3FiFnF一、力的平移一、力的平移力的平力的平移定理移定理, BABMFFFrMFFBBA,力的平移定理說明一個力和一個力偶可以進一步合力的平移定理說明一個力和一個力偶可以進一步合成為一個力。成為一個力。物理含義物

2、理含義: : 力可使物體移動和轉動力可使物體移動和轉動)F(MFdMB可以把作用于剛體上點可以把作用于剛體上點A的力的力F平行移到同一剛體上平行移到同一剛體上的任意點的任意點B，但必須同時附加一個力偶，這個附加，但必須同時附加一個力偶，這個附加力偶的矩等于原來的力力偶的矩等于原來的力F對新作用點對新作用點B的矩。的矩。 作用在同一平面內的一個力和一個力偶，總可以歸納為一個和原力大作用在同一平面內的一個力和一個力偶，總可以歸納為一個和原力大小相等的平行力。小相等的平行力。攻絲時為什么要兩個手施力攻絲時為什么要兩個手施力,用一個手會有用一個手會有什么不好之處什么不好之處?ABDCEFd問：能否將力

3、問：能否將力F從從D點移動點移動到到E點并附加力偶。點并附加力偶。 分析：不能。力的移動只分析：不能。力的移動只能在同一個剛體上；因為剛架能在同一個剛體上；因為剛架不是一個剛體，所以力不是一個剛體，所以力F不能從不能從D點平移到點平移到E點，即使是加附加點，即使是加附加力偶也不行。力偶也不行。dFMABF 問：已知力問：已知力F和力偶和力偶M，兩者可，兩者可以合成為一個力，請問該力應以合成為一個力，請問該力應該在該在A點的左側還是右側點的左側還是右側? 分析：左邊。合力應該在剛分析：左邊。合力應該在剛體上體上A點的左側。但是和原來的點的左側。但是和原來的力力F平行且距離為平行且距離為d，F(xiàn)Md

4、 F MO2F二、空間任意力系向一點簡化二、空間任意力系向一點簡化1F1M2MnFnM,21nFFF, , , 21nFFF,21nMMM,RFOM主矢主矢niinii11RFFF主矩主矩n1iiin1iiFrMMOFR 一個作用在一個作用在O點上的力點上的力, MO 一個作用在剛體上的力偶一個作用在剛體上的力偶ORFOMABCoO稱為簡化點1F2FnF思路：思路： 應用力的平移定理，將空間（平面）力系分解成兩個力系，即應用力的平移定理，將空間（平面）力系分解成兩個力系，即空間（平面）匯交力系和力偶系，然后，再將兩個力系分別合成?？臻g（平面）匯交力系和力偶系，然后，再將兩個力系分別合成。力系的

5、主矢和主矩力系的主矢和主矩 力系中各力的矢量和稱為力系的主矢。FFR 力系中各力對簡化中心之矩的矢量和稱為力系對簡化中心的主矩。)(FMMOO力系的和是決定力系對剛體作用效應（移動和轉動）的兩個基本特征量。主矢與簡化中心選擇無關。只有大小和主矢與簡化中心選擇無關。只有大小和 方向方向,沒有作用點概念沒有作用點概念.力系對簡化中心的力系對簡化中心的和簡化中心的選擇有關。和簡化中心的選擇有關。思考:力系的主矢與合力的區(qū)別?三、空間任意力系簡化的最后結果三、空間任意力系簡化的最后結果,R21OnMFFFF空間任意力系空間任意力系簡化結果簡化結果平衡平衡合力合力合力偶合力偶20, 0ROMF10, 0

6、ROMF3、0,0ROMF4 4、0,0ROMF?OOMFMFRR,0,0RFOMORFORFRFdORFOd合力合力OOMFMFRR,0,00, 0ROMF2RRFOMFdOOMFMFRR,0,0OMRFORFOd1OM2RR2RRR1)(FFOOOMFdooFFMM力螺旋力螺旋wrenchRF1OMOdRFRFRFd1OMRF2OMO1OM 力螺旋是由靜力學的兩個基本要素（力和力偶）組成的最簡單的力螺旋是由靜力學的兩個基本要素（力和力偶）組成的最簡單的力系，不能進一步合成。力螺旋的力作用線稱為該力系的中心軸。力系，不能進一步合成。力螺旋的力作用線稱為該力系的中心軸。工程中的力螺旋工程中的力

7、螺旋工程中的力螺旋工程中的力螺旋空間力系合成的可能結果為：合成為一個力偶合成為一個力偶 合成為一個力合成為一個力 合成為一個力螺旋合成為一個力螺旋平衡平衡 MA AAF3 力系合成為合力偶力系合成為合力偶 該力系的主矩不隨簡化該力系的主矩不隨簡化中心的位置而改變。中心的位置而改變。MB=MA+MB(FA)BFF則則MB=MA0F如果如果BMBBFFR=0，而而 MO 0，則原則原力系合成為一個矩為力系合成為一個矩為MO的合力偶的合力偶 。如果向點如果向點B簡化，則由力線平移簡化，則由力線平移定理有定理有jiFyxRFF)(FMMOO 平面力系向作用面內任選一點平面力系向作用面內任選一點 O簡化

8、，一般可得一個簡化，一般可得一個力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用于簡化中力和一個力偶，這個力等于該力系的主矢，作用于簡化中心心 O；這個力偶的矩等于該力系對于；這個力偶的矩等于該力系對于O點的主矩點的主矩。 平面力系向一點的簡化與合成平面力系向一點的簡化與合成 一般情況下，主矩和簡化中心的選擇有關。由于主矢只是力系一般情況下，主矩和簡化中心的選擇有關。由于主矢只是力系中各力的矢量和，與簡化中心的選擇沒有關系。中各力的矢量和，與簡化中心的選擇沒有關系。簡化結果：簡化結果：主矢主矢FR = F1 +F2+Fn=Fi主矩主矩MO = MO (Fi )代數和代數和 （2）合成為合成為力偶力偶

9、 FR = =0，MO0 此時力系主矩此時力系主矩M MO O與簡化中心無關。與簡化中心無關。（3）合成為一個作用于簡化中心的合成為一個作用于簡化中心的合力合力 F R 0， MO= =0，。此時簡化結果與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零。此時簡化結果與簡化中心有關，換個簡化中心，主矩不為零。（1）平衡平衡 FR =0， MO=0 (*)ROFMd RRRFFF 合力的大小等于原力系的主矢，合力的大小等于原力系的主矢，合力的作用線位置由公式（合力的作用線位置由公式（*）確定。）確定。（4）合成為一個合成為一個不不作用于簡化中心的作用于簡化中心的合力合力 F R 0， MO0主矢主矢 FR

10、主矩主矩 MO合成結果合成結果0 00 0平衡平衡0 0非非0 0力偶力偶非非0 00 0合力合力非非0 0非非0 0合力合力討論：討論： 例例1:1: 如圖如圖, ,求簡支梁上線性分布載求簡支梁上線性分布載荷的合力。荷的合力。 將荷載分布在線、面、體上的即為分布荷載，對應的分別為線將荷載分布在線、面、體上的即為分布荷載，對應的分別為線性分布荷載，面荷載，體荷載。性分布荷載，面荷載，體荷載。為了描述分布力，引入分布力集度為了描述分布力，引入分布力集度q( (x),),即單位長度上的力即單位長度上的力. .如圖所示的線性分布載荷，屬于平面平行力系如圖所示的線性分布載荷，屬于平面平行力系. .例例

11、 三角形分布載荷作用在水平梁上，如圖所示。最大載荷強度為qm ，梁長l。試求該力系的合力。解：解：先求合力。mqlxq lmRlqdxqF021再求合力作用線位置。l0AxdxqMlFMhRA32同向平行力系的合成lq2q1可以看作一個三角形分布力和一個均勻分布力的疊加在以后碰到分布力時，先進行簡化處理，然后在求解。 例例3: 3: 如圖，梯形分布力向一點簡化如圖，梯形分布力向一點簡化結論： 1、合力的大小等于線載荷所組成幾何圖形的面積。2、合力的方向與線載荷的方向相同。3、合力的作用線通過載荷圖的形心。qQxyxxCdx 例：例：在長方形平板的在長方形平板的O，A，B，C點上分別作用著有點上

12、分別作用著有四個力：四個力：F1=1 kN，F(xiàn)2=2 kN，F(xiàn)3=F4=3 kN，試求該，試求該力力系對系對O點的簡化結果，以及該力系的最簡合成結果。點的簡化結果，以及該力系的最簡合成結果。F1F2F3F4OABCxy2m3m3060解：解：1.1.求主矢求主矢。建立如圖坐標系建立如圖坐標系Oxy。F1F2F3F4OABCxy2m3m306030 cos60 cos432FFFxxFFRkN 598. 0yyFFR30 sin60 sin421FFFkN 768. 0jiF768. 0598. 0R RFRF FOOMMmkN 5 . 030 sin3260 cos2432FFF由于主矢和主矩

13、都不為零，故最簡合成結果是一個合力由于主矢和主矩都不為零，故最簡合成結果是一個合力FR。如圖所示。如圖所示。m R51. 0FMdO且合力且合力FR到到O點點的距離的距離RRFFOM例:已知正方體上受力情況,求向A點簡化結果FFFFFFFFzRzyRyxRx0 xzyFFR2FaMMMAzAyAx00FaMAFFAFRMA簡化結果為力螺旋簡化結果為力螺旋NmjM0B00F00A00F2211MhbFlF力偶矩矢量作用點，力作用點，力),(),(),(),(k0000)(FM111OlFFlkjikF- j000)(FM2222ObhFFhbkjikj)(FM)(FMM(F)M2O1OO1010

14、 jijiF12R100100 FFkj)(FM)(FMM(F)M2O1OO1010 jijiF12R100100 FF力螺旋力螺旋0MFoR在邊長為在邊長為 a 的立方體的的立方體的A、B頂點上作用有大頂點上作用有大小均為小均為 F 的力的力F1和和F2,試討論此力系的最后合成結果試討論此力系的最后合成結果。AB1F2Fa 空間平行力系的中心空間平行力系的中心 空間平行力系，當它有合力時，空間平行力系，當它有合力時，合力的作用點合力的作用點C 就是該力系的中心。就是該力系的中心。定義：定義：平行力系的中心坐標公式平行力系的中心坐標公式1 1）矢量形式）矢量形式由合力矩定理：xyzF1F2F3

15、Fnr1r2r3rnFRxCyCzCrCCOzy)()(iOOFMFMRnnCFrFrFrFrR2211iiinnCFFFFFFrrrrrR22112 2）直角坐標形式（投影式）直角坐標形式（投影式） 空間平行力系的中心空間平行力系的中心iiiCiiiCiiiCFzFzFyFyFxFx ,xyzF1F2F3Fnr1r2r3rnFRxCyCzCrCCOzy重心重心 物體各部分所受重力的合力就是物體的重力。由各部分所受物體各部分所受重力的合力就是物體的重力。由各部分所受重力組成的空間平行力系的中心，稱為此物體的重力組成的空間平行力系的中心，稱為此物體的重心重心。 不論物體如何放置，重心相對于物體其

16、相對位置不會改變。這不論物體如何放置，重心相對于物體其相對位置不會改變。這也是平行力系固有的特性。也是平行力系固有的特性。確定重心的物理意義： 重心的高低與支撐面的大小直接和物體穩(wěn)定性密切相關設物體由若干部分組成，其第設物體由若干部分組成，其第i部分重為部分重為Pi，重心為，重心為),(iiizyx則該物體的重心為：則該物體的重心為： iCrriPPiiiCiiiCiiiCPzPzPyPyPxPx,重心重心若以若以Pi= mi g , P=Mg 代入上式可得質心坐標公式代入上式可得質心坐標公式,iiiiiiCCCm xm ym zxyzMMM,VVVCCCx dVy dVz dVxyzMMM

17、式中 ，上式稱為積分形式積分形式重心坐標公式重心坐標公式。VMdV對于均質物體，對于均質物體， = = 恒量，恒量，其重心即是其幾何中心其重心即是其幾何中心形心。形心。重心重心對稱法：具有對稱點對稱軸對稱面的均質物體，其重心就在其對對稱法：具有對稱點對稱軸對稱面的均質物體，其重心就在其對稱點對稱軸對稱面上。稱點對稱軸對稱面上。分割組合法分割組合法 例例7 7：已知均質等厚已知均質等厚Z Z 形截面，尺形截面，尺寸如圖。求：該截面的重心位置。寸如圖。求：該截面的重心位置。重心的求法重心的求法解：將該截面分割為三部分，解：將該截面分割為三部分，取取OxyOxy直角坐標系，如圖。直角坐標系，如圖。2

18、111cm0 . 3,cm5 . 4,cm5 . 1Syx2222cm0 . 4,cm0 . 3,cm5 . 0Syx2333cm0 . 3,cm5 . 0,cm5 . 1Syxcm2 . 03435 . 135 . 04)5 . 1(3321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 23435 . 0334)5 . 4(3321332211SSSySySySAyAyiiC重心的求法重心的求法負面積法（負體積法）負面積法（負體積法）解：解： Z 形截面可視為由面積為形截面可視為由面積為S1的的大矩形和面積分別為大矩形和面積分別為S2及及S3的小矩形的小矩形三部分組成，三部分組成，

19、 S2及及S3是應去掉的部是應去掉的部分，面積為負值。分，面積為負值。2111cm30cm,5 . 2, 0Syx2222cm12cm,0 . 2cm,5 . 1Syx2333cm8cm,0 . 3cm,0 . 2Syx重心的求法重心的求法cm2 . 0)8()12(302)8()5 . 1()12(030321332211SSSxSxSxSAxAxiiCcm7 . 2)8()12(303)8(2)12(5 . 230321332211SSSySySySAyAyiiC負面積法（負體積法）負面積法（負體積法）重心的求法重心的求法積分法積分法 例例8：求半徑為求半徑為R，頂角為，頂角為2 的均質圓

20、弧的重心。的均質圓弧的重心。解：由于對稱關系，該圓弧重心必在解：由于對稱關系，該圓弧重心必在Ox 軸上，即軸上，即yC=0。取微段取微段dRdL2cos 2LCx dLxLRdRsinRxC重心的求法重心的求法求：圖示偏心塊重心的位置。求：圖示偏心塊重心的位置。 例例9：已知已知mm100Rmm13bmm17r解：解： 應用分割組合法，將偏心塊應用分割組合法，將偏心塊看成是由三部分組成，則看成是由三部分組成，則mm01.40321332211AAAyAyAyAyC0Cx（由于對稱性）（由于對稱性）ry22Ry2103y其中：其中：積分法積分法重心的求法重心的求法實驗法實驗法懸掛法懸掛法稱重法稱

21、重法01CxPlP稱PlPxC1稱()0BMF 由適用于非均質、形狀不規(guī)則等一般物體適用于非均質、形狀不規(guī)則等一般物體重心的求法重心的求法以上確定重心的方法根據實際情況具體選用，對于以上確定重心的方法根據實際情況具體選用，對于常見幾何形體常見幾何形體（三角形、扇形等）重心位置可以直接查表（三角形、扇形等）重心位置可以直接查表，無需計算。，無需計算。重心的求法重心的求法空間力系的簡化問題，是力系中最復雜的情況。研究方法空間力系的簡化問題，是力系中最復雜的情況。研究方法與平面力系的研究方法相同，也采用將力系向一點簡化的與平面力系的研究方法相同，也采用將力系向一點簡化的方法。可在掌握平面力系的簡化的基礎上，結合空間力系方法?？稍谡莆掌矫媪ο档暮喕幕A上，結合空間力系的特點去加以領會。在學習時，既要注意空間力系與平面的特點去加以領會。在學習時，既要注意空間力系與平面力系之間的相似之處，又必須注意它們之間的差別，達到力系之間的相似之處，又必須注意它們之間的差別，達到前后聯(lián)系、融會貫通的效果。前后聯(lián)系、融會貫通的效果。學習方法及注意問題學習方法及注意問題AB固定端約束 固定端（插入端）約束的約束力固定端（插入端）約束的約束力 約束給約束物體的約束力實際上是一個約束給約束物體的約束力實際上是一個分布力分布力。在平面。在平面問題中，它是一個平面任意力系；在空間問題中，