中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)知識點總結(jié)及相關(guān)題型北師大版[寶典]

1、二次函數(shù)知識點總結(jié)1. 定義：一般地，如果yax 2bxc(a,b,c 是常數(shù)， a0) ，那么 y 叫做 x 的二次函數(shù) .2. 二次函數(shù)（ 2）函數(shù)yax2的性質(zhì):1yax2 的頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是y 軸.（ ）拋物線yax2的圖像與 a 的符號關(guān)系 .當(dāng) a0 時拋物線開口向上頂點為其最低點；當(dāng) a0 時拋物線開口向下頂點為其最高點 .y 軸的拋物線的解析式形式為yax20）（ 3）頂點是坐標(biāo)原點，對稱軸是（ a.3.二次函數(shù)y ax2bxc 的圖像是對稱軸平行于（包括重合）y 軸的拋物線 .4.二次函數(shù) yax 2bxc 用配方法可化成： y a xh2k 的形式，其中 hb ，

2、k4acb2.2a4a5.二次函數(shù)由特殊到一般，可分為以下幾種形式： yax2； yax 2k ； y2； y2a x ha x hk ； y ax2bxc .6.拋物線的三要素：開口方向、對稱軸、頂點. a 的符號決定拋物線的開口方向：當(dāng)a0 時，開口向上；當(dāng)a0 時，開口向下；a 相等，拋物線的開口大小、形狀相同 .平行于y 軸（或重合）的直線記作xh . 特別地，y 軸記作直線x0.7. 頂點決定拋物線的位置 . 幾個不同的二次函數(shù)，如果二次項系數(shù) a 相同，那么拋物線的開口方向、開口大小完全相同，只是頂點的位置不同 .8. 求拋物線的頂點、對稱軸的方法b2b 2b4acb 2b（ 1）

3、公式法：24ac，頂點是（y axbx c a x4a2a，），對稱軸是直線 x.2a4a2a（ 2）配方法：運用配方的方法，將拋物線的解析式化為ya x h 2k 的形式，得到頂點為( h , k ) ，對稱軸是直線x h .（ 3）運用拋物線的對稱性：由于拋物線是以對稱軸為軸的軸對稱圖形，所以對稱軸的連線的垂直平分線是拋物線的對稱軸，對稱軸與拋物線的交點是頂點.9. 拋物線 yax 2bx c 中， a,b, c 的作用（ 1） a 決定開口方向及開口大小，這與yax2 中的 a 完全一樣 .（ 2） b 和 a 共同決定拋物線對稱軸的位置. 由于拋物線 yax2bxc 的對稱軸是直線xb

4、，故： b0 時，對稱軸為y 軸； b0 （即 a 、 b 同號）時，對稱軸在y 軸左側(cè)； b0（即 a 、2aaab 異號）時，對稱軸在y 軸右側(cè) .（ 3） c 的大小決定拋物線 yax 2bxc 與 y 軸交點的位置 .當(dāng) x0 時， y c ，拋物線 yax2bx c 與 y 軸有且只有一個交點（ 0， c ）： c0 ，拋物線經(jīng)過原點 ; c0 , 與 y 軸交于正半軸；c0 , 與 y 軸交于負(fù)半軸 .以上三點中，當(dāng)結(jié)論和條件互換時，仍成立. 如拋物線的對稱軸在y 軸右側(cè)，則b0 .a10. 幾種特殊的二次函數(shù)的圖像特征如下：函數(shù)解析式開口方向?qū)ΨQ軸頂點坐標(biāo)yax2x0（ y 軸）

5、（0,0 ）yax 2kx0（ y 軸）(0,k )當(dāng) a 0時ya x2開口向上xh(h ,0)h當(dāng) a 0 時y a x h 2開口向下x h(h ,k )kyax2bxcxbb4ac b 22a(，)2a4a11. 用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式（ 1）一般式： yax2bxc . 已知圖像上三點或三對x 、 y 的值，通常選擇一般式 .（ 2）頂點式： ya xh 2k . 已知圖像的頂點或?qū)ΨQ軸，通常選擇頂點式.（ 3）交點式：已知圖像與x 軸的交點坐標(biāo) x1 、 x2 ，通常選用交點式： y a x x1 x x2 .12. 直線與拋物線的交點（ 1） y 軸與拋物線 yax2bx

6、c 得交點為 (0,c ).（ 2）與 y 軸平行的直線xh 與拋物線 y ax 2bx c 有且只有一個交點 ( h , ah 2bh c ).（ 3）拋物線與 x 軸的交點 : 二次函數(shù) yax2bxc 的圖像與 x 軸的兩個交點的橫坐標(biāo)x1 、 x2 ，是對應(yīng)一元二次方程ax 2bx c 0的兩個實數(shù)根 . 拋物線與 x 軸的交點情況可以由對應(yīng)的一元二次方程的根的判別式判定：有兩個交點0拋物線與 x 軸相交；有一個交點（頂點在x 軸上）0拋物線與 x 軸相切；沒有交點0拋物線與 x 軸相離 .（ 4）平行于 x 軸的直線與拋物線的交點同（ 3）一樣可能有0 個交點、 1 個交點、 2 個

7、交點 . 當(dāng)有 2 個交點時，兩交點的縱坐標(biāo)相等，設(shè)縱坐標(biāo)為k ，則橫坐標(biāo)是 ax 2bxck 的兩個實數(shù)根 .（ 5 ） 一 次 函 數(shù) ykx n k 0 的 圖 像 l 與 二 次 函 數(shù) y ax2bx c a0的圖像G 的交點，由方程組ykx n的解的數(shù)目來確定：方程組有兩組不同的解時l 與 G 有兩個交點 ; 方程組只有一組解時yax2bx cl 與 G 只有一個交點；方程組無解時l 與 G 沒有交點 .（ 6）拋物線與 x 軸兩交點之間的距離：若拋物線y ax 2bx c 與 x 軸兩交點為 A x1，0 ，B x2，0 ，由于 x1 、 x2 是方程 ax 2bx c0的兩個根

8、，故x1x2b , x1 x2caa24cb2ABx1x2x1x22x1x224x1 x2b4acaaaa第二部分典型習(xí)題 . 拋物線 y x2 2x 2 的頂點坐標(biāo)是（ D）A.（ 2， 2）B.（ 1， 2）C.（ 1， 3）D. （ 1， 3） . 已知二次函數(shù) y ax2bxc 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（C） ab 0， c 0 ab0， c 0 ab0， c 0 ab 0， c0AEFBDC第 , 題圖第 4題圖 . 二次函數(shù) yax2bxc 的圖象如圖所示，則下列結(jié)論正確的是（ ）A a 0， b 0， c0B a 0， b 0，c 0C a 0， b 0， c0D a

9、0， b 0，c 0 . 如圖，已知ABC 中， BC=8，BC上的高 h4 ， D為 BC上一點， EF / / BC ，交 AB 于點 E，交 AC于點 F（ EF 不過 A、B），設(shè) E 到 BC的距離為 x ，則DEF 的面積 y 關(guān)于 x 的函數(shù)的圖象大致為（）y4444O24xO24O24O24ABCDEF 4 xEF 8 2x, yx24x84 . 拋物線 yx22x3與 x 軸分別交于 A、 B 兩點，則 AB 的長為 46. 已知二次函數(shù)y kx2(2k1) x1與 x 軸交點的橫坐標(biāo)為x1 、 x2 （ x1x2 ），則對于下列結(jié)論：當(dāng)x 2時， y2、；， x 1；當(dāng)時，

10、 y 0；方程 kx k x 有兩個不相等的實數(shù)根；x x2(2 1) 10x1x2x11214k2x2x1 1，其中所有正確的結(jié)論是（只需填寫序號） k7. 已知直線 y2xb b0與 x 軸交于點 A，與 y 軸交于點 B；一拋物線的解析式為yx 2b10 xc .（ 1）若該拋物線過點B，且它的頂點P 在直線 y2xb 上，試確定這條拋物線的解析式；（ 2）過點 B 作直線 BCAB 交 x 軸交于點 C，若拋物線的對稱軸恰好過C點，試確定直線y2xb 的解析式 .解：（ 1） yx 210 或 yx 24x6將（0， b) 代入，得 cb . 頂點坐標(biāo)為 ( b10 ,b216b 10

11、0 )，由題意得2 b10bb216b100，2424解得 b110,b26 .（2） y2x 28. 有一個運算裝置， 當(dāng)輸入值為 x 時，其輸出值為 y ，且 y 是 x 的二次函數(shù)， 已知輸入值為2,0, 1時,相應(yīng)的輸出值分別為 5, 3,4 （ 1）求此二次函數(shù)的解析式；（ 2）在所給的坐標(biāo)系中畫出這個二次函數(shù)的圖象, 并根據(jù)圖象寫出當(dāng)輸出值 y為正數(shù)時輸入值 x 的取值范圍 .解：（ 1）設(shè)所求二次函數(shù)的解析式為yax2bxc ,a( 2) 2b(2) c5c3a1則 a 02b 0 c3 , 即 2ab 4 , 解得 b2a bc4ab1c3故所求的解析式為 : yx 22x3.

12、（ 2) 函數(shù)圖象如圖所示 .由圖象可得，當(dāng)輸出值y 為正數(shù)時，輸入值 x 的取值范圍是x1 或 x3 9. 某生物興趣小組在四天的實驗研究中發(fā)現(xiàn)：駱駝的體溫會隨外部環(huán)境溫度的變化而變化，而且在這四天中每晝夜的體溫變化情況相同他們將一頭駱駝前兩晝夜的體溫變化情況繪制成下圖請根據(jù)圖象回答：第一天中，在什么時間范圍內(nèi)這頭駱駝的體溫是上升的? 它的體溫從最低上升到最高需要多少時間?第三天12 時這頭駱駝的體溫是多少?興趣小組又在研究中發(fā)現(xiàn)，圖中 10 時到22 時的曲線是拋物線，求該拋物線的解析式解：第一天中，從4 時到 16 時這頭駱駝第 9 題的體溫是上升的它的體溫從最低上升到最高需要12小時第

13、三天 12 時這頭駱駝的體溫是39 y1 x 22x24 10x2216410. 已知拋物線 yax2(3a) x4 與 x 軸交于 A、3B 兩點，與 y 軸交于點 C是否存在實數(shù) a，使得 ABC為直角三角形若存在，請求出a 的值；若不存在，請說明理由解：依題意，得點C 的坐標(biāo)為（ 0， 4）設(shè)點 A、 B的坐標(biāo)分別為（x1 ， 0），（ x2 ， 0），由 ax2( 43a) x40 ，解得x13， x24343a點 A、 B 的坐標(biāo)分別為（ -3 ， 0），（， 0）43aAB |3|， ACAO2OC 25 ，3aBCBO2OC2|4 |242 3aAB2 |43 |2162 349

14、1689 ，3a9a23a9a2aAC 225， BC21616 9a2當(dāng) AB2AC 2BC 2時， ACB 90°由 AB2AC 2BC2，得 168925( 1616) 9a2a9a 2解得a11416 ， 0）， AB2625400當(dāng) a時，點 B 的坐標(biāo)為（， AC225， BC24399于是 AB2AC 2BC 2當(dāng) a1時， ABC為直角三角形4當(dāng) AC 2AB 2BC 2 時， ABC 90°由 AC2AB 2BC 2，得 25( 1689) (1616) 49a 2a9a2解得a944當(dāng) a43，點 B（-3， 0）與點 A 重合，不合題意時，3a4939

15、當(dāng) BC 2AC 2AB 2 時， BAC 90°由 BC2AC 2AB2，得164 不合題意9a 2解得 a9綜合、，當(dāng) a11. 已知拋物線 y x2 mx m 2.1681625(29)9aa1時， ABC為直角三角形4（ 1）若拋物線與x 軸的兩個交點A、 B 分別在原點的兩側(cè)，并且AB5 ，試求 m的值；（ 2）設(shè) C 為拋物線與y 軸的交點， 若拋物線上存在關(guān)于原點對稱的兩點M、N，并且 MNC的面積等于27，試求 m的值 .解 : (1)（ x1，0） ,B(x 2，0) .則 x1 ， x2 是方程 x 2 mx m 2 0 的兩根 . x1 x2 m , x 12

16、x2 =m 2 0 即 m 2 ;又 AB x1 x2 （2,x1+ ）4 x1 x25x2 m2 4m 3=0 .解得： m=1或 m=3(舍去 ) , m的值為 1 .y（2） M(a，b) ，則 N( a， b) .CM、 N 是拋物線上的兩點 ,a2m2b,maMa2m2b.max得： 2a2 2m 4 0 . a2 m2 .O當(dāng) m 2 時，才存在滿足條件中的兩點M、 N.N a2 m .這時 M、 N到 y 軸的距離均為2m ,又點 C 坐標(biāo)為（ 0， 2 m） , 而 S M N C = 27 ,12解得 m= 7 .12. 已知：拋物線 yax24axt 與 x 軸的一個交點為

17、 A（ 1，0）（ 1）求拋物線與 x 軸的另一個交點 B 的坐標(biāo)；（ 2） D 是拋物線與y 軸的交點， C 是拋物線上的一點，且以AB 為一底的梯形ABCD的面積為9，求此拋物線的解析式；（ 3） E 是第二象限內(nèi)到x 軸、 y 軸的距離的比為5 2 的點，如果點 E 在（ 2）中的拋物線上，且它與點A 在此拋物線對稱軸的同側(cè)，問：在拋物線的對稱軸上是否存在點P，使 APE的周長最小 ?若存在，求出點P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由解法一：（ 1）依題意，拋物線的對稱軸為x 2 拋物線與 x 軸的一個交點為 A（ 1， 0），由拋物線的對稱性，可得拋物線與x 軸的另一個交點B 的坐標(biāo)為（3

18、，0）（2）拋物線 y ax24ax t 與 x 軸的一個交點為A（ 1， 0 ），a(1) 24a(1) t0 t 3ayax24ax3a D （ 0，3a）梯形 ABCD中， AB CD，且點 C 在拋物線yax24ax3a 上， C （ 4， 3a） AB 2， CD 4 梯形 ABCD的面積為9，1 ( AB CD) OD91 (24) 3a9 22 a ± 1所求拋物線的解析式為y x24x3或 yx2 4ax 3 （3）設(shè)點 E 坐標(biāo)為（x0 ， y0 ） . 依題意， x00 ， y00 ，y055且y0 x0 x022設(shè)點E 在拋物線 yx24x3 上， y0x024

19、x03 y05x0 ,x0 6，x01 ，2得2解方程組y015； y0 5y0x024x034 點 E 與點 A 在對稱軸 x 2的同側(cè)，點 E 坐標(biāo)為（1，5）24設(shè)在拋物線的對稱軸 x 2 上存在一點 P，使 APE的周長最小 AE 長為定值， 要使 APE的周長最小，只須 PAPE最小 點 A 關(guān)于對稱軸 x 2 的對稱點是 B（ 3， 0），由幾何知識可知，P 是直線 BE與對稱軸x 2 的交點設(shè)過點 E、B 的直線的解析式為y mx n ，1 5,m 1 ,2m n42解得 3 0.n.3m n2直線 BE的解析式為 y 1 x 3 把 x 2 代入上式，得y 1 222點 P 坐

20、標(biāo)為（2，1）2設(shè)點 E 在拋物線 y x 24x3 上，y0x024x0 3 y05x0 ,消去 y0 ，得 x 023 x 030 解方程組2y0x024x03.2 0 .此方程無實數(shù)根綜上，在拋物線的對稱軸上存在點P（ 2， 1 ），使 APE的周長最小2解法二：（ 1）拋物線 yax24axt 與 x 軸的一個交點為A（ 1， 0），a(1)2 4a(1)t0 t 3ayax24ax3a 2令 y 0，即 ax 4ax3a0 解得x11， x23 （ 2）由 y ax24ax3a ，得 D（ 0，3a） 梯形 ABCD中， AB CD，且點 C 在拋物線yax24ax3a 上， C （

21、 4， 3a） AB 2， CD 4梯形 ABCD的面積為9，1 ( AB CD ) OD 9 解得 OD 32 3a 3 a ± 1 所求拋物線的解析式為 y x24x3或 y x24x3 （ 3）同解法一得， P 是直線 BE與對稱軸 x 2 的交點如圖，過點 E 作 EQ x 軸于點 Q設(shè)對稱軸與x 軸的交點為 F由 PF EQ，可得 BF PF 1PF PF 1BQEQ55224點 P 坐標(biāo)為（2，1）2以下同解法一13. 已知二次函數(shù)的圖象如圖所示（ 1）求二次函數(shù)的解析式及拋物線頂點M的坐標(biāo)（ 2）若點 N為線段 BM上的一點，過點N 作 x 軸的垂線，垂足為點Q當(dāng)點 N

22、在線段BM上運動時（點N 不與點 B，點 M重合），設(shè) NQ的長為 l ，四邊形 NQAC的面積為 S，求 S 與 t 之間的函數(shù)關(guān)系式及自變量t 的取值范圍；（ 3）在對稱軸右側(cè)的拋物線上是否存在點P，使 PAC為直角三角形 ?若存在，求出所有符合條件的點P 的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；（ 4）將 OAC補成矩形，使 OAC的兩個頂點成為矩形一邊的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這一邊的對邊上，試直接寫出矩形的未知的頂點坐標(biāo)（不需要計算過程）解：（ 1）設(shè)拋物線的解析式y(tǒng)a(x 1)( x2) ，2 a 1 ( 2) a 1yx 2x2其頂點 M的坐標(biāo)是1 ， 924（ 2）設(shè)線段 BM所在的

23、直線的解析式為ykxb ，點 N 的坐標(biāo)為 N（t ， h），02k b，391解得 k，b3b.24k2 線段 BM所在的直線的解析式為y3 x33 t 3 ，其中1211 (22 t3 t 21 tht2 s123)t12222342 s與 t間的函數(shù)關(guān)系式是S3 t 21 t1，自變量 t的取值范圍是1t2 422（ 3）存在符合條件的點P，且坐標(biāo)是 P157， P23，52，244設(shè)點 P 的坐標(biāo)為 P(m， n) ，則 nm2m2 PA2( m 1) 2n2 ， PC 2m2(n 2)2，AC 25 分以下幾種情況討論：i ）若 PAC 90°，則 PC2PA2AC2 nm

24、 2m2，m2(n2)2( m1) 2n 25.解得： m151（舍去）點 P157， m22，24ii ）若 PCA 90°，則 PA2PC2AC 2nm2m 2，(m1)2n2m2( n 2) 25.解得： m33 ， m40 （舍去）點 P23， 5224iii ）由圖象觀察得，當(dāng)點P 在對稱軸右側(cè)時， PAAC ，所以邊 AC的對角 APC不可能是直角（ 4）以點 O，點 A（或點 O，點 C）為矩形的兩個頂點，第三個頂點落在矩形這邊OA（或邊 OC）的對邊上，如圖a，此時未知頂點坐標(biāo)是點 D（ 1， 2），以點 A，點 C為矩形的兩個頂點， 第三個頂點落在矩形這一邊AC的對

25、邊上，如圖 b，此時未知頂點坐標(biāo)是12，E，55F 4， 8 55圖 a圖 b14.已知二次函數(shù) yax22 的圖象經(jīng)過點（1， 1）求這個二次函數(shù)的解析式，并判斷該函數(shù)圖象與x 軸的交點的個數(shù)解：根據(jù)題意，得a 2 1. a 1 這個二次函數(shù)解析式是yx22因為這個二次函數(shù)圖象的開口向上，頂點坐標(biāo)是（0， 2），所以該函數(shù)圖象與 x 軸有兩個交點15.盧浦大橋拱形可以近似看作拋物線的一部分在大橋截面1 11000 的比例圖上，跨度 AB 5 cm，拱高 OC 0.9 cm ，線段 DE表示大橋拱內(nèi)橋長， DE AB，如圖（ 1）在比例圖上，以直線AB 為 x 軸，拋物線的對稱軸為y 軸，以

26、1 cm作為數(shù)軸的單位長度，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖（2）（ 1）求出圖（ 2）上以這一部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式，寫出函數(shù)定義域；（ 2）如果 DE與 AB 的距離 OM 0.45 cm ，求盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長（備用數(shù)據(jù)：2 1.4 ，計算結(jié)果精確到1 米）解：（1）由于頂點 C 在 y 軸上，所以設(shè)以這部分拋物線為圖象的函數(shù)解析式為y ax2 9 105552 9，得 a 18 因為點 A（， 0）在拋物線上，所以 a(， 0）（或 B（0)101252218955 ) 2因此所求函數(shù)解析式為yx 2(x1251022（ 2）因為點 D、 E 的縱坐標(biāo)為9，所以 9 18x2 9 ，得

27、 x52 2020125104所以點 D 的坐標(biāo)為（ 52 ， 9），點 E 的坐標(biāo)為（ 52 ，9）420420所以 DE 55 5 242 (2 )24因此盧浦大橋拱內(nèi)實際橋長為52110000.012752385 （米）216. 已知在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)，O 為坐標(biāo)原點，A、 B是x 軸正半軸上的兩點，點A 在點B 的左側(cè)，如圖二次函數(shù)y ax2 bxc （ a0）的圖象經(jīng)過點A、 B，與y 軸相交于點C（ 1） a、 c 的符號之間有何關(guān)系 ?（ 2）如果線段 OC的長度是線段 OA、 OB長度的比例中項，試證a、 c 互為倒數(shù)；（ 3）在（ 2）的條件下，如果 b 4， AB4 3 ，求 a、 c 的值解 :（ 1） a、 c 同號 或當(dāng) a 0 時， c 0；當(dāng) a 0 時， c 0（ 2）證明：設(shè)點 A 的坐標(biāo)為（ x1 ，0），點 B 的坐標(biāo)為（ x2 ， 0），則 0 x1 x2 OAx1 ， OBx2 ， OCc 據(jù)題意，x1 、 x2 是方程ax2 bxc0(a0) 的兩個